|
Algebraik tenglamalar sistemasini yechishning
matritsa va Gauss usullari
|
| bet | 3/7 | | Sana | 21.12.2023 | | Hajmi | 299,33 Kb. | | #126126 |
Bog'liq Srukturada kurs ishi namunasi (2)Algebraik tenglamalar sistemasini yechishning
matritsa va Gauss usullari
Chiziqli algebraaik tenglamalar tizimlarini echish usullarini ko’rib
chiqiladi, unda tenglamalar soni noma’lum o’zgaruvchilar soniga teng va bitta echim
mavjud. Birinchidan, biz ikkinchisiga e’tibor qaratamiz, ikkinchidan, biz tenglamalar
tizimini echish usulini ko’rsatamiz, uchinchidan, Gauss usulini (noma’lum
o’zgaruvchilarni izchil chiqarib tashlash usuli) tahlil qilamiz.
Kalit so’zlar: Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli, chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss - Jordan modifikatsiyasi, chiziqli tenglamalar sistemasining bazis yechimlari.
1.Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning matritsa usuli. Ushbu n noma’lumli n ta chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi berilgan boʻlsin:
(1)
tenglamalar sistemada quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
A= , X= ,
Bu yerda, A - noma’lumlar oldida turgan koeffitsiyentlardan tuzilgan matritsa;
X -noma’lumlardan tuzilgan matritsa; B - ozod hadlardan tuzilgan matritsa. U holda (1) tenglamalar sistemasini.
AX=B
koʻrinishda ifodalash mumkin.
Faraz qilamiz, det boʻlsin. U holda A matritsa uchun teskari matritsa
mavjud. AX=B tenglikning har ikkala tomonini ga chapdan koʻpaytiramiz:
AX=
Hosil boʻlgan ifoda chiziqli tenglamalar sistemasini matritsalar usulibilan yechish formulasidan iborat.
1-misol. Chiziqli tenglamalar sistemasini matritsalar usuli bilan yeching:
Yechish. A, X, B matritsalarni tuzib olamiz:
A= , X= , B=
Bundan, det Teskari matritsani topamiz:
= =-2 , = =2, = =4, = =-5
= =11, = =4, = =-1, = =-5, = =-4. Bu yerda
Bundan: . = = =
Demak =1, =0, =-1 yoki X= .
Agar sistema matritsasining rangi tenglama noma’lumlari sonidan kichik bo’lsa
ham uning yechimini teskari matritsa usulida topish mumkin. Buni quyidagi misolda
ko’rib chiqamiz.
2-misol. Quyidagi tenglamani yeching:
X =
Yechish. Tenglamaga quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
A=
U holda berilgan tenglama: A ko’rinishni oladi.
Agar AXB ifodaning chap tomondan va oʻng tomondan ga koʻpaytirsak, hamda A =E , EX =X , B E va XE =X ekanligini hisobga olsak quyidagi yechimga ega boʻlamiz:
X= = =
Agar sistemada m n va r (A) m boʻlib, r (A)= r( A B) boʻlgan holda ham
teskari matritsa usulidan foydalanib uning yechimini topsa boʻladi.
2.Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli:
n noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan boʻlsin:
(1)
n noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yechish ikki bosqichda (dastlab chapdan oʻngga, soʻngra oʻngdan chapga qarab) amalga oshiriladi.
1-bosqich. (1) sistemani uchburchak koʻrinishga keltirishdan iborat. Buning uchun, 0, deb (agar = 0 boʻlsa, 1- tenglamani 0 boʻlgan i - tenglama bilan oʻrin almashtiriladi) birinchi tenglamaning chap va oʻng tomoni ga boʻlinadi. Soʻngra, 1 tenglama ga koʻpaytirilib, i -tenglamaga qoʻshiladi. Bunda, sistemaning 2-tenglamasidan boshlab noma’lum yoʻqotiladi. Bu jarayonni
n -1 marotaba takrorlab quyidagi uchburchaksimon sistema hosil qilinadi:
2-bosqich. Oxirgi sistemani yechishdan iborat. Bunda, dastlab sistemaning oxirgi tenglamasidan topilib, undan oldingi tenglamaga qoʻyiladi va undan topiladi. Shu jarayon davom ettirilib, nihoyat 1-tenglamadan topiladi. Sistema Gauss usuli bilan yechilganda uchburchaksimon shaklga kelsa u yagona yechimga ega boʻladi. Agar sistema pog’onasimon shaklga kelsa u cheksiz koʻp yechimga ega boʻladi yoki yechimga ega boʻlmaydi. Tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli noma’lumlarni ketma-ket yoʻqotish usuli, deb ham ataladi. Bu jarayonni kattaroq teglamalar sistemasiga qoʻllash mumkin, chunki bu juda samarali. Quyidagi misolni koʻrib chiqamiz:
misol. Chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yeching:
Yechish. Chiziqli tenglamalar sistemasidagi noma’lumlarni ketma-ket yoʻqotib topamiz :
|
=1 qiymatni ikkinchi tenglamaga qо’yib = -1qiymatni hosil qilamiz.
=1 va = -1 qiymatlarni birinchi tenglamaga qо’yib = -2 qiymatni olamiz.
Shunday qilib, sistema yagona (-2;1;-1)yechimga ega.
|
| |
