|
Fazaviy sinxronizm sharoitida IGG tenglamalarini yechish
|
| bet | 3/4 | | Sana | 05.06.2024 | | Hajmi | 131,95 Kb. | | #260602 |
Bog'liq Ikkinchi garmonika generatsiyasi va uning tenglamalariFazaviy sinxronizm sharoitida IGG tenglamalarini yechish
Fazaviy sinxronizm sharti bajarilganda va (10.16) tizimda umumlashgan fazaning hosilasini inobatga olganda garmonikalarning amplitudalari uchun quyidagi tenglamalarni olamiz:
,
, (10.18)
.
Olingan tenglamalar sistemasi harakat integraliga (yechimga) ega. Keling, buni ko‘rib chiqamiz.
Tizimdagi (10.18) birinchi tenglamani , ikkinchisini ga ko‘paytirib va ularni qo‘shsak, quyidagini olamiz:
. (10.19)
Bu shuni ko‘rsatadiki, har qanday z uchun qavs ichidagi yig‘indi doimiy bo‘ladi. Bu doimiyni orqali belgilab, quyidagini yozamiz:
(10.20)
Doimiy nochiziqli muhit chegarasidagi (kirishda) amplitudalar qiymatlari bilan ifodalanishi mumkin (z = 0 da):
. (10.20)
(3.32) munosabat tenglamalar tizimidan noma’lum ( amplitudalardan birini tizimdan chiqarib tashlash va ikkita tenglamalar tizimiga o‘tamiz. Biz birinchi navbatda, ikkinchi garmonikani o‘zgarishiga e’tibor berib, ni tizimdan chiqarib quyidagi tenglamalarni olamiz:
,
(10.21)
.
Endi (10.21) tizimni konkret hollar uchun tahlil qilishga o‘tamiz.
Nochiziqli muhitning kirishida ikkinchi garmonika nurlanishi bo‘lmagan hol
(10.21) tizimdagi ikkinchi tenglamani ko‘rib chiqamiz, o’z o‘qi bo‘ylab umumlashtirilgan fazaning o‘zgarishini ifodalaydi. IGG jarayoniga xos bo‘lgan ideal holatda ikkinchi garmonika chastotadagi maydon yo‘q (u muhit sirtidan qaytgan nurlanishni tarkibida bo‘lishi mumkin deb hisoblanganda) yoki uning amplitudasi birinchi garmonikaning amplitudasidan ancha past deb hisoblanadi. Unda va cos ning noldan farqli qiymatlari uchun hosila katta bo‘ladi. Bu shuni anglatadiki, umumlashtirilgan faza tez o‘zgaradi va qiymatga erishishga intiladi va
cos = 0 va d /dz=0
o‘rinli bo‘ladi. Bu faza qiymati yetarlicha katta masofada z barqaror bo‘ladi, har qanday holatda, ikkinchi garmonik amplitudaning kattaligi birinchi garmonika amplitudasi bilan taqqoslanadigan qiymatlariga yetguncha o‘rinli va (10.21) ikkinchi tenglamaning yechimi hisoblanadi. Umumlashtirilgan fazaning bunday o‘zgarishi fazani qamrab olish deb ataladi va uni quyida batafsil muhokama qilamiz.
Shunday qilib, tizim (10.21) = qiymatdagi ikkinchi garmonikaning amplitudasi uchun alohida differensial tenglamaga aylanadi:
, (10.22)
uning yechimi qiyin emas: chunki u jadvalli integ-ral orqali ifodalanadi va chegaraviy shartni qanoatlantiradigan qiymatlar yechimi giperbolik tangens funksiyasi orqali ifodalanishi mumkin: ,
. (10.23)
Shu tenglikni inobatga olib, keyin (3.33) tenglamani qayta yozamiz:
, (10.24)
(10.20) ifodadan foydalanib, bundan asosiy to‘lqin amplitudaning ifodasini topamiz:
. (10.25)
3.3-rasmda birinchi (asosiy) va ikkinchi garmonikalarning normallashtirilgan ( ) amplitudalarni kristallning keltirilgan uzunligiga =Z/ bog‘liqligi ko‘rsatilgan.
10.2-rasm. IGG jarayonining samaradorligini kristallning keltirilgan uzunligiga bog‘liqligi. Nuqtali egri chiziq IGGning samaradorligini va nuqta-punktir chiziq asosiy garmonikaning amplitudasini kristall uzunligi bo‘yicha kamayishini ko‘rsatadi.
(10.24) va (10.25) ifodalardan ko‘rinib turibdiki, asosiy garmonika nurlanishini ikkinchi garmonik nurlanishga to‘liq aylantirish mumkin. Shu bilan birga, samarali energiya almashinuvi kristallning uzunligi bo‘ylab sodir bo‘ladi
, (10.26)
va ushbu jarayon xarakterli uzunlikning nochiziqli o‘zaro ta’sir uzunligi deb ataladi va uning qiymati asosiy nurning kristallga kirishidagi amplitudasiga va muhitning chiziqli hamda nochiziqli optik xususiyatlariga bog‘liq. Shuni ham ta’kidlash joizki, uzunlikda IGG jarayonining samaradorligi taxminan 50% ni tashkil etadi. Ushbu uzunlik amalda bir necha santimetrni tashkil etadi.
Olingan munosabatlar IGG jarayoni asosiy nurlanish energiyasini ikkinchi garmonika energiyasiga o‘tkazish (konvertatsiya) jarayoni ekanligini va uning qaytmasligini ko‘rsatadi. Ideal holda konvertatsiyaning samaradorligi 100% ni tashkil etishi mumkinligi 10.2-rasmda ko‘rsatilgan (nuqtali egri chiziq).
Biroq yuqorida aytilgan natijalar umumlashgan fazaning = =const ideal qiymatida o‘rinlidir. Amalda esa (z) ni qiymati kristallning uzunligi ortishi bilan o‘zgarib, optimal qiymatidan chetlashadi, bu esa o‘z navbatida, teskari jarayonni IGG energiyasining asosiy garmonika energiyasiga aylanishiga olib keladi. Shu sababli yuqorida keltirilgan natijalar (10.2-rasm ) z< bajarilganda, ya’ni kristallning uzunligi nochiziqli uzunlikdan kichik bo‘lgan masofalarda o‘rinli bo‘ladi. Agar z> bo‘lsa, u holda (10.21) tizim sanoqli usulda yechiladi.
|
| |
