II bob. Matematik fizika tenglamalarining fundamental yechimlari
2.1. To’lqin tarqalish tenglamasining fundamental yechimi.
To’lqin tenglamasi uchun Koshi masalasi yechimining yagonaligi.
Ushbu
( 2.1.1)
to’lqin tenglamasini tekshiramiz. (2.1.1) tenglamaning xarakteristikalari tenglamasi
dan iboratdir. Tekshirib ko’rish qiyin emaski, uchi nuqtada bo’lgan xarakteristik konus deb ataluvchi
(2.1.2)
sirt (2.1.1) tenglamaning xarakteristikasidir. Endi xarakteristik sirtga o’tkazilgan tashqi n normalning yo’nalishini topamiz.
Soddalik uchun a = 1 deb hisoblaymiz. Bu normal t o’q bilan o’tkir burchak hosil qilib, bu burchakning kosinusi musbat bo’ladi. (2.1.2) tenglikning chap tomonini ω(x, t) orqali belgilab olsak, differentsial geometriyadan ma’lum bo’lgan formulaga asosan
Bu tenglikdan quyidagi muhim munosabt kelib chiqadi
Yoki
(2.1.3)
Demak, n tashqi normal xarakteristik konusning Ot o’qi bilan 45° burchak tashkil qilar ekan. Bundan darxol, xarakteristik konus yasovchilarining xam Ot o’q bilan 45° burchak tashkil qilishi kelib chiqadi.
t=const tekisliklar ( 2.1.1) tenglama uchun xarakteristik sirt bo’lmagani sababli, t = const da Koshi shartlarini berish mumkin.
Koshi masalasi . Shunday u(x, t) funksiya topilsinki, u sinfga tegishli bo’lib, t>0 yarim fazoda ( 2.1.1) tenglamani va t = + 0 da
(2.1.4)
boshlang’ich shartlarni qanoatlantirsin.
Bu masala yechimining yagonaligini ko’rsatamiz.
Faraz qilaylik, fazodagi biror yopiq, sharda ( 2.1.1) tenglama uchun qo’yilgan ikkita Koshi masalasining boshlangich funksiyalari ustma-ust tushsin.
Agar ikkala masala ham birinchi va ikkinchi tartibli hos ilalari bilan uzluksiz bo’lgan yechimga ega bo’lsa, u holda bu yechimlar t > 0 yarim fazoda uchi nuqtadagi xarakteristik konusning ichida va chegarasida ustma-ust tushadi.
Bu ikki yechimni orqali belgilasak, bu funksiyalar ( 2.1.1) tenglamani va (2.1.4) boshlang’ich shartlarni qanoatlantiradi. U holda bularning ayirmasi, ya’ni
funksiya
(2.1.5)
tenglamani (a = 1 deb hisoblaymiz) va
|
