a) Koshi masalasi. Bu masala, asosan, giperbolik va parabolik tipdagi tenglamalar uchun qo’yiladi; G sohada butun fazo bilan ustma-ust tushadi, bu holda chegaraviy shartlar bo’lmaydi.
b) Chegaraviy masala elliptik tipdagi tenglamalar uchun qo’yiladi;S da chegaraviy shartlar beriladi, boshlang’ich shartlar,tabiiy bo’lmaydi.
v) Aralash masala giperbolik va parabolik tipdagi tenglamalar uchun qo’yiladi; bo’lib, boshlang’ich va chegaraviy shartlar beriladi.
Yuqorida aytilgan masalalarni har bir tipdagi tenglama uchun qanday qo’yilishini alohida ko’ramiz.
2.Koshi masalasi va uning qo’yilishida xarakteristikalarning roli. (1.1.1) tenglama uchun (giperbolik tip) Koshi masalasi bunday qo’yiladi:
sinfga tegishli, t>0 yarim fazoda (1.1.1) tenglamani va t=+0 da
(1.2.1)
boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi u(x,t) funksiya topilsin.
(1.1.8) diffuziya tenglamasi uchun (parabolik tip) Koshi maslasi quyidagicha qo’yiladi:
sinfiga tegishli t>0 yarim fazoda (1.1.8) tenglamani t=+0 da
(1.2.2)
boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi u(x,t) funksiya topilsin.
Keltirilgan Koshi masalasini umumlashtirish mumkin. Shu maqsadda o’zgaruvchili ikkinchi tartibli ushbu kvazi chiziqli differensial tenglamani tekshiramiz:
(1.2.3)
Yetarli silliq sirt va bu sirtga urinma bo’lmagan, uning har bir nuqtasida biror l yo’nalish berilgan bo’lsin. S sirtning biror atrofida (1.2.3) tenglamani va
(1.2.4)
Koshi boshlang’ich shartlarini qanoatlantiruvchi u(x) funksiya topilsin.
Boshlang’ich shartlardan foydalanib, S sirt izlanayotgan funksiyaning barcha birinchi tartibli hosilalarini topish mumkin. Endi oldimizga bunday masala qo’yamiz. (1.2.3) va (1.2.4) shartlardan foydalanib, S sirtda u(x) funksiyaning ((1.2.3) tenglamaning u(x) yechimi mavjud deb faraz qilamiz) ikkinchi tartibli hosilalarini topish mumkinmi?
Avvalo boshlang’ich shartlar gippertekislikda ( o’lchovli yevklid fazosidagi (n-1) o’lchovli tekislik gippertekislik deyiladi; n=3 da gippertekislik oddiy tekislikdan, n=2 esa to’g’ri chiziqdan iboratdir) berilgan holni ko’ramiz:
(1.2.5)
bu yerda l yo’nalish sifatida normal olinayapti. (1.2.5) shartlar asosida gippertekislikda hosildan tashqari u(x) funksiyaning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarini aniqlash mumkin ni aniqlash uchun (1.2.3) tenglamadan foydalanishimiz kerak. Bunda ikki hol bo’lishi mumkin:
1)holda gippertekislikda birdan-bir aniqlash mumkin;
2)holda esa aniqlab bo’lmaydi. Endi umumiy holni, ya’ni boshlang’ich shartlar biror S:
sirtda berilgan holni ko’ramiz. S sirt atrofida o’zgaruvchilar o’rniga yangi o’zgaruvchilarni kiritamiz:
(1.2.6)
Shu bilan birga, funksiyalar yetarli silliq va (1.2.7) almashtirishning yakobiani noldan farqli qilib tanlab olindi. Yangi o’zgaruvchilarga nisbatan (1.2.3) tenglamaning koeffisiyentlarini orqali belgilab olsak,
Tenglikni e’tiborga olib, (1.2.3) tenglamani quyidagi ko’rinishda yozib olishimiz mumkin:
(1.2.8)
S sirt tenglamasi esa dan iborat bo’ladi, ya’ni bu holda masala avvalgi xususiy holga keladi:
Agar S sirt (1.2.3) tenglamaning xarakteristik sirti bo’lmasa, bo’ladi. Bu holda (1.2.7) tenglama kirgan barcha hosilalarni da hisoblash mumkin. Agarda S xarakteristik sirt bo’lsa, bo’ladi. Natijada (1.2.7) tenglamada
hosila ishtirok etmaydi. (1.2.7) dan boshlang’ich shartlarga asosan y=0 bo’lganda ushbu
tenglik hosil bo’ladi.
Bu tenglikdan darhol shu narsa kelib chiqadiki, agar S xarakteristik sirt bo’lsa, boshlang’ich shartlarda berilgan va funksiyalar o’zaro bog’langan bo’lib qoladi. Demak, xarakteristik sirtda boshlang’ich shartlarni ixtiyoriy berilishi mumkin emas. Bu holda Koshi masalasi umuman yechimga ega bo’lmasligi mumkin yoki yechimga ega bo’lsa ham u yagona bo’lmaydi.
Misol. Ushbu
tenglamaning
boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.
Ravshanki, x=const, y=const to’g’ri chiziqlar oilasi, jumladan y=0 ham berilgan tenglamaning xarakteristikalaridan iborat. Demak, boshlang’ich shartlar xarakteristikada berilyapti. Tekshirilayotgan tenglmaning umumiy yechimi
dan iborat. Umumiylikka ziyon yetkazmay deb hisoblashimiz mumkin.
Boshlang’ich shartlarga asosan
.
Agar bo’lsa, oxirgi tenglikning bajarilishi mumkin emas, bu holda Koshi masalasi yechimga ega bo’lishi mumkin. Bu holda uchun ushbu funksiyani olishimiz mumkin:
bu yerda sinfga tegishli va shartlarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy funksiya.
Agar bo’lsa, Koshi masalasining haqiqatdan ham yechimi mavjud bo’lib, u yechim
formula bilan aniqlanadi, lekin yechim yagona emas.
|
