2.3.1-misol. funktsiya uchun tenglama uchun fundamental yechim bo’lishligini isbotlang.
Isbot . Berilgan funksiya bo’lganda x bo’yicha ham bo’yicha ham berilgan tenglamani qanoatlantiradi. Haqiqatan hamma
Bu ifodalarni berilgan tenglamaning chap tomoniga qo’yib, (2.3.10) ga ko’ra quyidagiga:
ega bo’lamiz. Shunday qilib, funktsiya bo’lganda berilgan Laplas tenglamasini qanoatlantiradi.
Demak,2.3.1- ta’rifga ko’ra funktsiya fundamental yechimdir.
2.3.2-misol. funksiya Koshi –Riman operatorining fundamental yechimi ekanligini isbotlang.
Isbot. funktsiya da Koshi- Riman tenglamasini qanoatlantiradi.
Haqiqatan,
Ifodalarga ko’ra
Ega bo’lamiz. Shunday qilib, funksiya Koshi- Riman tenglamasini qanoatlantiradi. Demak bu funksiya fundamental yechimdir. Ushbu yechimdan Laplas tenglamasiga qo’yiladigan masalalarni yechishda foydalanish mumkin.
Laplas tenglamasi uchun Dirixle va Neyman masalalari .
1. Dirixle va Neyman masalalarining qo’yilishi hamda ular yechimlarining yagonaligi. fazoda chekli soha bo’lib, uning chegarasi S bo’laklari silliq, sirtdan iborat bo’lsin ni , orqali belgilab olamiz, ya’ni
.
Dirixlening ichki masalasi. D sohada garmonik da uzluksiz va
(2.3.6)
chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi funksiya topilsin.
Dirixlening tashki masalasi. sohada garmonik shunday funksiya topilsinki, u S da berilgan uzluksiz qiymatlarni qabul qilib, ya’ni
(2.3.7)
da n >2 bo’lgan xolda dan sekin bo’lmay nolga intilsin, n =2 da esa chekli limitga intilsin.
Neymanning ichki masalasi. D soxada garmonik, da o’zining birinchi tartibli xosilalari bilan birga uzluksiz bo’lgan funksiya topilsinki, uning normal bo’yicha olingan xosilasi S da avvaldan berilgan qiymatlarga teng bo’lsin, ya’ni
(2.3.7)
bu yerda n — S ga o’tkazilgan normal.
Neymanning tashqi masalasi. soxada garmonik shunday funksiya topilsinki, uning normal bo’yicha olingan hosilasi S da avvaldan berilgan qiymatlarni qabul qilsin, ya’ni
(2.3.8)
hamda funksiyaning o’zi cheksiz uzoqlashgan nuqtada n>2 bo’lgan holda nolga, n =2 da esa chekli limitga intilsin.
Dirixlening ichki va tashqi masalalari bittadan ortiq yechimga ega bo’lmaydi.
Haqiqatan ham, bu masalalar bir xil chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi ikkita va echimga ega bo’lsin. U holda, funksiya (2.3.1)tenglamani va shartni qanoatlantiradi. Avval ichki masalani ko’ramiz. Ekstrimum prinsipining ikkinchi natijasiga ko’ra barcha D sohada bo’ladi, demak .Endi tashqi masalani tekshiramiz.
Avval n>2 bo’lsin. Shartga asosan funksiya sohada garmonik, shu bilan birga va x nuqta koordinata boshidan yetarli uzoqlashganda ,
tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Markazi koordinata boshida va radiusi R ga teng bo’lgan hamda S sirtni to’la o’z ichiga oluvchi sferani olamiz. u(x) funksiyani S sirt va sfera bilan chegaralangan DR sohada qaraymiz. Agar radius yetarli katta bo’lsa, sferada
tengsizlik bajariladi. Ixtiyoriy sonni olamiz va R ni shunday katta qilib tanlaymizki, tengsizlik bajarilsin. DR sohada funksiya o’zining eng katta va eng kichik qiymatlariga yoki S da, yoki da erishadi, demak, bu qiymatlar modul bo’yicha dan katta emas. sohaning ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin. Yetarli katta R da bu nuqta DR ga tushadi, shuning uchun ham
. Ammo —ixtiyoriy musbat son bo’lganligi sababli , demak:
. Agar n=2 bo’lsa, konform almashtirish (masalan kasr chiziqli) natijasida cheksiz sohani chekli sohaga o’tkazish mumkin. Bunda Laplas tenglamasi yana Laplas tenglamasiga, cheksiz sohada garmonik bo’lgan u(x) funksiya esa chekli sohada garmonik bo’lgan funksiyaga o’tadi va bu funksiya sohaning chegarasida nolga teng bo’ladi. Shunday qilib, cheksiz soha uchun Dirixle masalasi echimining yagonaligi isbot qilingan chekli sohadagi Dirixle masalasiga keladi.
Laplas tenglamasi uchun Neymanning ichki masalasi o’zgarmas son aniqligida topiladi, ya’ni masalaning ikkita yechimi bir-biridan o’zgarmas son bilan farq qiladi.
Faraz qilaylik, bu masala bir xil (2.3.8) shartlarni qanoatlantiruvchi ikkita u1(x) va u2(x) yechimga ega bo’lsin.
U holda, bu yechimlarning ayirmasi u(x)=u1(x)- u2(x)funksiya (2.3.1) tenglamani va shartni qanoatlantiradi.
Oxirgi shartni qanoatlantiruvchi garmonik funksiya 2-banddagi 2)xossaga asosan barcha D sohada o’zgarmas songa teng bo’ladi, ya’ni u(x)=const yoki u1(x) = u2(x) =const. Neymanning ichki masalasi hamma vaqt ham yechimga ega bo’la vermaydi. 2- banddagi 3) xossaga asosan
(2.3.10)
bo’lishi kerak. Bu shart Neyman ichki masalasining yechimga ega bo’lishi uchun zaruriy shartdir. Keyinchalik (2.3.10) ning yetarli shart ekanini ham ko’rsatamiz.
Agar fazoning o’lchovi n>2 bo’lsa, u holda Neymanning tashqi masalasi bittadan ortiq yechimga ega bo’lmaydi.
Bu fikrning to’g’riligiga ishonch hosil qilish uchun yuqorida kiritilgan chegaralari S va SR dan iborat bo’lgan DR sohaga (8) formulani qo’llaymiz:
(2.3.11)
SR sfera bo’yicha olingan integralni baholaymiz. R yetarli katta bo’lganda 1- § ning 6- bandidagi lemmaga asosan
tengsizliklar o’rinli bo’ladi. U holda
bo’lgani uchun (2.3.11) formuladagi S bo’yicha olingan integral nolga teng. Shunday qilib, da
Demak, . Ammo da uchun, ekanligi kelib chiqadi.
Agar bo’lsa, Neymanning tashqi masalasi o’zgarmas son aniqligida topiladi.
Bu holda ham xuddi yuqoridagidek, u = const tenglikka ega bo’lamiz. Chekli uzoqlashgan nuqtada n=2 da garmonik funksiya chegeralangan bo’lgani uchun, yuqoridagi fikrimizning to’g’riligiga darhol ishonch hosil qilamiz.
Xulosa.
Matematik fizikaning aosiy tenglamalaridan to’lqin tarqalish tenglamasi, issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi, Laplas tenglamalarining fundamental yechimi keltirib chiqarilgan. Fundamental yechim asosida Koshi masalasining yechimi qurilgan. Fundamental yechimlarni keltirib chiqarishda zarur bo’lgan teorema va lemmalar isboti bilan o’rganilgan.
|
