|
sinfdan shunday funksiya topilsinki, bu funksiya , da
tenglamani va quyidagi boshlang‘ich shartni qanoatlantirsin:
bu yerda - berilgan funksiyalar.
Bu masalaga issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasi uchun Koshining klassik masalasi deyiladi.
Agar funksiya va uning barcha ikkinchi tartibigacha hosilalari har bir sohada chegaralangan, funksiya chegaralangan bo‘lsa, u vaqtda Koshining klassik masalasining yechimi mavjud, yagona va quyidagi Puasson formulasi orqali topiladi:
. (2.2.15)
Quyidagi formuladan ham foydalansa bo‘ladi:
. (2.2.16)
Masala. ut=4uxx+t+et, u|t=0=2. Koshi masalasini yeching.
Ushbu misolni yechish uchun (2.2.15) formuladan foydalanamiz. Bizning holimizda , , - berilganlar. Shu qiymatlarni (2.2.15) formulaga etib qo‘yamiz:
, (2.2.17)
bu yerda
va
.
Integrallarni alohida-alohida hisoblaymiz.
demak, .
- bu integralni hisoblashda ham yuqoridagi kabi fikr yuritib, hisoblashlarni bajaramiz va quyidagi natijani olamiz: . Ikkala integralni etib (2.2.17) ga qo‘yamiz, natijada quyidagi yechimni olamiz: .
Koshi masalasi
(2.2.18)
tenglama uchun quyidagicha qo’yiladi : t> 0 yarim fazoda (2.2.18) tenglamaning sinfga tegishli bo’lgan va
(2.2.19)
Boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin, bu yerda berilgan uzluksiz chegaralangan funksiya.
1. Koshi masalasi yechimining yagonaligi. (2.2.18) tenglama (2.2.19) boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi bittadan ortiq, chegaralangan yechimga ega bo’lmaydi.
Haqiqatan ham, agar bunday yechimlar ikkita va bo’lsa, ularning ayirmasi ) ( 2.2.19 ) tenglamani va
(2.2.20 )
boshlang’ich shartni qanoatlantiradi. Bu funksiya ikkita chegaralangan funksiyalar ayirmasi bo’lgani uchun chegaralangan bo’ladi, ya’ni .
t=0 tekislikda (ya’ni En fazoda) markazi koordinata boshida , radiusi R ga teng bo’lgan WR sharni qaraymiz. Bu sharning chegarasi SR bo’lsin.
Yasovchilari t o’qda parallel va yo’naltiruvchisi SR bo’lgan silindrik sirt yasaymiz. Bu sirtning t>0 bo’lgan qismini V orqali belgilaymiz. fazoda chegarasi bo’lgan sohani Q orqali belgilab , ushbu
yordamchi funksiyani tekshiramiz.
Bu funksiya (2.2.19) tenglamani qanoatlantirishini tekshirib ko’rish qiyin emas. So’ngra
(2.2.20) tenglikka asosan
va nihoyat,
.
Oxirgi ikki tengsizlikdan
tengsizlikka ega bo’lamiz.
Bundan darhol miqdorlarning har biri manfiy emasligi kelib chiqadi. Bundan tashqari bu miqdorlarning har biri (2.2.19) tenglamani qanoatlantiradi. U holda, ekstremum prinsipiga asosan, yopiq QT sohada, bunda yig’indi ham, ayirma ham minimum qiymatni da qabul qiladi , shu bilan bu minimumlar manfiy emas.
Demak ,
.
Shunday qilib , da
ya’ni
x va t ni ixtiyoriy belgilab (aniqlab), R ni cheksizlikka intiltiramiz. Bu holda, oxirgi tengsizlikdan
ya ‘ni .
Shu bilan Koshi masalasi yechimining yagonaligi isbotlandi. Koshi masalasi yechimi yagonaligining isbotlash usulidan uning turg’unligi ham kelib chiqadi. Issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasining fundamental yechimi. Ushbu
funksiya t>0 yarim fazoning barcha (x,t) nuqtalarida
tenglamaning yechimidan iboratdir.
Haqiqatdan ham,
(2.2.20) funksiya englamaning fundamental yechimi deyiladi.
|
