O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI AXBOROT TEXNOLOGIYALARI VA KOMMUNIKATSIYALARINI RIVOJLANTIRISH VAZIRLIGI
MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI
TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI
“Algoritmlarni loyihalash”
fanidan
Mustaqil ish
Mavzu: Algebraik va transtendent tenglamalarni taqribiy yechishda oraliqni
teng ikkiga bo’lish va vatarlar usullarini samaradorlik bo’yicha
taqqoslash
Bajardi:
Tekshirdi:
TOSHKENT 2024
Algebraik va transtendent tenglamalarni taqribiy yechishda oraliqni teng ikkiga bo’lish va vatarlar usullarini samaradorlik bo’yicha taqqoslash
Reja:
Kirish
1. Algebraik va transtendent tenglamalarni taqribiy yechish usullari
2. Vatar usulini samaradorlik bo’yicha taqqoslash
3. Tenglamalarni yechishning oraliqni ikkiga bo’lish usuli
Xulosa
Foydalanilgan adabiyotylar:
Kirish
Noma’lum qatnashgan tenglikka tenglama deyiladi.
f(x)=g(x) tenglikdan noma’lum x ni qiymatini topish, tenglamani yechish deyiladi.
Tenglama - bu ikki funksiyaning qiymatlari f (x, y, ...) = g (x, y, ..) ga teng bo'lganda, argumentlarning qiymatlarini topish muammosining analitik yozuvidir.
Bu funksiyalarga bog'liq bo'lgan argumentlar odatda noma'lum deb ataladi va funksiyalar qiymatlari teng bo'lgan noma'lum qiymatlari yechimlar yoki ildizlar deb ataladi.
Algebraik tenglama quyidagi ko’rinishga ega:
P(x1,x2,..xn)=Q(x1,x2,…xn)
Bu yerda P va Q – ratsional sonli koeffitsentlar bilan berilgan ko’phadlar.
Chiziqli tenglama – noma’lumning birinchi darajasi qatnashgan tenglamadir. Chiziqli tenglama quyidagi ko’rinishda bo’lishi mumkin. ax+b=0. a,b, berilgan sonlar.
Agar tenglamalarni yechishda aniq yechim topilmasa taqribiy usullar qo’llaniladi. Masalan, takrorlanadigan yondashuvlar usullari bilan taqribiy yechimni olish mumkin.
. 1-teorema . Aytaylik,
f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz va (a,b) intervalda hosilaga ega bo‘lsin;
f(a).f(b)<0, ya’ni f(x) funksiya kesmaning chetlarida har xil ishoraga ega bo‘lsin;
fґ(x) hosila (a,b) intervalda o‘z ishorasini saqlasin.
U holda, tenglama [a,b] oraliqda yagona yechimga ega bo‘ladi.
Hozirgi paytda chiziqsiz tenglamalarni yechish uchun oldingi o’ringa sonli-taqribiy usullar chiqib oldi. Bu usullar o’zlarining umumlashgani, tenglamani yetarli aniqlikda yecha olishi bilan ajralib turadi. Shuning uchun chiziqsiz tenglamalarni yechishning sonli-taqribiy usullari uchun dastur ta’minotlarini yaratilishi muhim va aktual masala hisoblanadi.
Chiziqsiz tenglamalardan na’munalar:
x3-3x2 +7x-6=0
x2 -sin x =0
ln |7x|-cos 6x=0
e2x-x=0
Bizga quyidagi umumiy holda yozilgan chiziqsiz tenglama berilgan bo’lsin:
Algebraviy Funksiyalarning Grafiklari: Algebraviy funksiyalarning ko'nikmalariga ko'ra, ularning grafiklarini chizish odatda sodda bo'ladi. Misol uchun, to'g'ri chiziqli funksiyalar y = mx + b shaklida ifodalangan bo'lsa, ularning grafiklari to'g'ri chiziq bo'ladi.
Transtendent Funksiyalarning Grafiklari: Bu turlar esa sodda geometrik ko'rinishga ega emas, chunki ular algebraviy ifodalar bilan yechim topa olmaydigan funksiyalar hisoblanadi. Misol uchun, trigonometrik funksiyalar (sind, kosin, tangent) yoki eksponentsiyal funksiyalar (2^x, e^x) o'zgaruvchan bo'lganda, ularning grafiklari qayg'usiz ko'rilmaydi. Bunday funksiyalarning grafiklarini taqribiyroq chizish kerak bo'ladi.
Mana shu maqsadda, sizga ko'rsatilgan funksiya uchun tasavvur qilinayotgan grafiklarni chizishda yordam beruvchi eng oddiy usullardan biri - elektronlar yordamida grafik yaratish - haqida tushuntirishim mumkin. Ushbu usul onlayn ko'rsatgichlarni ishlatib yaratilgan grafiklarga qarab funksiyalar yechimlarini aniqlab olishda yordam beradi.
Keyin, yuqoridagi ma'lumotlarga asosan, kerakli funksiyani belgilash orqali, uni grafik sifatida elektron grafik yaratuvchilarda yaratishingiz mumkin. Agar sizga kerak bo'lsa, men sizga eng yaxshi elektron grafik yaratuvchilarni tavsiya qilishim mumkin. Bunday veb-saytlar, masalan, Desmos yoki GeoGebra. Bu veb-saytlarda, algebraviy va transcendent funksiyalar uchun grafiklar yaratishga imkoniyat beriladi. Siz funksiyani kiritasiz va so'ng shu funksiyaga oid grafikni ko'rish uchun "plot" tugmasini bosing. Bu, ko'p qiyinliklarni engellab, taqribiy yechimni aniqlashga yordam beradi.
Misol. 𝑥𝑙𝑛(𝑥)=1 tenglamani grafik usulda yechishni qaraymiz.
Yechish. Berilgan tenglamani quyidagi ko`rinishda yozamiz: ln (𝑥)=1/𝑥. U holda berilgan tenglamaning ildizlarini φ(x)=ln(𝑥) va ψ(x)=1/x egri chiziqlarning kesishish nuqtalarining abstsissalari sifatida topish mumkin. Funktsiyalar grafikalarini tuzamiz va ildizni ajratish oralig'ini aniqlaymiz
Chizmadan ko`rinadiki, tenglama ildizi [1,2] kesmada joylashganbo`ladi. Ushbu ildizning boshlang`ich qiymati sifatida x = 1,5
sonni olish mumkin:
Mos funksiya tanlash: Vatar usulini qo'llab-quvvatlash uchun, asosiy funksiya tanlash juda muhimdir. Bu, o'zgaruvchilar vaqti o'qib olish uchun kerakli ma'lumotlarni beradi. Agar o'zgaruvchilarni aniqlash uchun yaxshi ko'rib chiqish kerak bo'lsa, mos funksiya soddalashgan bo'lishi va to'g'ri taqribiy yechimni olishga imkon berishi kerak.
Vatar usulini amalga oshirish: Vatar usulining samaradorligini baholash uchun, mos funksiya va vaqtincha o'zgaruvchilarni aniqlanganidan so'ng, Vatar usulini yaxshi yechim olish uchun qo'llab-quvvatish kerak. Bu usulni dastlabki yechimlarni aniqlashda yoki funksiyalarni o'rganishda ishlatish yordamchi bo'ladi.
Nyuton usuli bo’yicha
Taqqoslash uchun mos funksiya tanlash: Nyuton usulini qo'llab-quvvatlash uchun, asosiy funksiya tanlash muhimdir. Bu funksiya, asosiy funksiya bilan yaxshi mos keluvchi vaqtincha o'zgaruvchilarni topishda yordam beradi.
Asosiy funksiyaning yechimlarini topish: Nyuton usulida, asosiy funksiyaning belgilangan nuqtalardagi qiymatlari yechiladi. Bu qiymatlar funksiyaning qarshiliklarini belgilash uchun ishlatiladi.
Nyuton qarshiliklari orqali yechimni topish: Nyuton qarshiliklari yordamida funksiyaning vaqtincha o'zgaruvchilari uchun taqribiy yechimni topish. Bu qadamda, Nyuton qarshiliklari hisoblanadi va ulardan foydalanib, vaqtincha o'zgaruvchilarni belgilangan nuqtalarda yechish uchun yordam beradi.
Mana shu maqsadda, sizga ko'rsatilgan funksiya uchun tasavvur qilinayotgan grafiklarni chizishda yordam beruvchi eng oddiy usullardan biri - elektronlar yordamida grafik yaratish - haqida tushuntirishim mumkin. Ushbu usul onlayn ko'rsatgichlarni ishlatib yaratilgan grafiklarga qarab funksiyalar yechimlarini aniqlab olishda yordam beradi.
Keyin, yuqoridagi ma'lumotlarga asosan, kerakli funksiyani belgilash orqali, uni grafik sifatida elektron grafik yaratuvchilarda yaratishingiz mumkin. Agar sizga kerak bo'lsa, men sizga eng yaxshi elektron grafik yaratuvchilarni tavsiya qilishim mumkin. Bunday veb-saytlar, masalan, Desmos yoki GeoGebra. Bu veb-saytlarda, algebraviy va transcendent funksiyalar uchun grafiklar yaratishga imkoniyat beriladi. Siz funksiyani kiritasiz va so'ng shu funksiyaga oid grafikni ko'rish uchun "plot" tugmasini bosing. Bu, ko'p qiyinliklarni engellab, taqribiy yechimni aniqlashga yordam beradi.
C ++ dasturlash tilida vatar usulini dastur kodi:
Yuqoridagi kod berilgan x ni qiymatini vatar usulini hisoblab beradi
Xulosa
Foydalingan adabiyotlar:
1. Mirzayev A. N., Abduraxmanova Yu. M. “Iqtisodiy matematik usullar va modellar” o„quv qo„llanma. Tafakkur nashriyoti. Toshkent-2015.
2. Исроилов M. Ҳисоблаш методлари. 2-кисм. “Iqtisod-moliya”, Tошкент, 2008, 320 б.
3. M. Raisov. Matematik programmalashtirish. Toshkent-2013.
4. N. R. Beknazarova, X. N. Jumayev. Matematik programmalashtirish va optimallashtirish usullari. Toshkent “Iqtisodiyot” - 2011
|
