|
Iteratsion jarayonni qurish prinsiplari
|
| bet | 1/5 | | Sana | 29.04.2023 | | Hajmi | 285.15 Kb. | | #54898 |
Asqaraliyev Islomjon -g.
Mustaqil ish.
MT 3.
M: Chiziqli algebraic tenglamalar sistemasini taqribiy yechishni Zeydel usuli.
Reja:
Iterasion jarayonni qurish prinsiplari.
Gauss-Zeydelmetodi.
Iteratsion jarayonni qurish prinsiplari.
Bugunda turli tamoyil (printsip)larga asoslangan juda ko`plab iteratsion usullar mavjud. Umuman, bu usullarning, o`ziga xos tomonlaridan biri shundan iboratki, yo`l qo`yilgan xatoliklari har qadamda to`g’rilanib boradi. Aniq usullar bilan ishlayotganda, agar biror qadamda xatoga yo`l qo`yilsa, bu xato oxirgi natijaga ham ta`sir qiladi. Yaqinlashuvchi iteratsion jarayonning biror qadamida yo`l qo`yilgan xatolik esa faqat bir necha iteratsiya qadamini ortiqcha bajarishgagina olib keladi xolos. Biror qadamda yo`l qo`yilgan xatolik keyingi qadamlarda to`zatilib boriladi. Boz ustiga bu usullarning hisoblash tartibi sodda bo`lib, ularni EHM larda hisoblash qulaydir. Lekin har bir iteratsion usulning qo`llanish soxasi chegaralangandir. CHunki iteratsiya jarayoni berilgan tizim uchun o`zohlashi yoki shuningdek, sekin yaqinlashishi mumkinki, buning oqibatida amalda yechimni qoniqarli aniqlikda topib bo`lmaydi.
Shuning uchun ham iteratsion usullarda faqat yaqinlashish masalasigina emas, balki yaqinlashish tezligi masalasi ham katta ahamiyatga egadir. Yaqinlashish tezligi dastlabki yaqinlashish vektorining qulay tanlanishiga ham borliqdir.
Bu paragrafda avval iteratsion usullarning umumiy xarakteristikasini ko`rib chiqamiz, so`ngra esa hisoblash amaliyotida keng qo`llaniladigan iteratsion usullarni keltiramiz.
Faraz kilaylik,
Ax = b (3.24)
tizim biror usul bilan
x + Cx + f (3.25)
ko`rinishga keltirilgan bo`lsin, bu erda S — qandaydir matritsa, f - vektor ustun. Dastlabki yaqinlashish vektori x(0) biror usul bilan (masalan, x(0) = 0) topilgan bo`lsin. Agar keyingi yaqinlashishlar
x(k+1) = Cx(k) + f (k=0,1,2, …)
rekkurent formula yordamida topilsa, bunday usul oddiy iteratsiya usuli deyiladi.
Agarda S matritsa elementlari
(3.26)
va
(3.27)
shartlardan birortasini kanoatlantirsa, u xolda iteratsion jarayon berilgan tenglamaning x echimiga ixtiyoriy boshlangich x(0) vektorda yaqinlashishi isbotlangan, ya`ni
Shunday kilib, tizimning aniq echimi cheksiz qadamlar natijasida -hosil qilinadi va hosil kilingan ketma-ketlikning ixtiyoriy vektori taqribiy echimni beradi. Bu taqribiy echimning xatoligini quyidagi formulalardan biri orqali ifodalash mumkin:
(3.28)
agarda (3.26) shart bajarilsa, yoki
(3.29)
agarda (3.27) shart bajarilsa. Bu baxolarni moc ravishda quyidagicha kuchaytirish mumkin:
eki
Iteratsion jarayonlarni yuqoridagi baxolar oldindan berilgan aniqlikni kanoatlantirganda tugallaydilar.
Boshlangich x(0) vektor, umuman olganda, ixtiyoriy tanlanishi mumkin. Ba`zan x(0) = f deb olishadi. Ammo x(0) vektorning komponentlari sifatida noma`lumlarning ko`pol taxminlarda aniqla-ngan qiymatlari olinadi.
(3.24) tizimni (3.25) ko`rinishga keltirishni bir necha xil usullarda amalga oshirish mumkin. Faqat (3.26) yoki (3.27) shartlardan birortasining bajarilishi lozim. Shunday usullardan ikkitasiga tuxtalamiz.
"Birinchi usul. Agarda A matritsaning diagonal elementlari noldan farqli bo`lsa, ya`ni
aii 0 (I=1,2,…, n)
u xolda berilgan tizimni
(3.30)
ko`rinishda yozish mumkin. Bu xolda S matritsa elementlari quyida-gicha aniqlanadi:
hamda (3.26) va (3.27) shartlar mos ravishda quyidagi ko`rinishni qabul kiladi:
(3.31)
(3.32)
(3.31) va (3.32) tengsizliklar A matritsaning diagonal elementlari
(3.33)
shartlartlarni kanoatlantirganda urinli bo`ladi.
Ikkinchi usul. Bu usulni quyidagi misol orqali namoyish kilamiz.
Umuman olganda, har qanday keltirilmagan matritsali tizim uchun yaqinlashuvchi iteratsion usullar mavjud, ammo ularning barchasi kisoblash uchun qulay emas.
Agarda iteratsiya usuli yaqinlashuvchi bo`lsa, u xolda bu usul yuko-rida kurilgan usullardan quyidagi afzalliklarga ega bo`ladi:
1. Iteratsion jarayon tezrok yaqinlashsa, ya`ni tizimning echimini aniqlash uchun p dan kamrok iteratsiya talab kilinsa, u xolda vaktdan yutiladi, chunki arifmetik emallar soni p2 ga mutanosib (proportsional) (Gauss usuli uchun esa bu son p3 ga mutanosib).
2. Yaxlitlash xatoliklari iteratsiya usulida natijaga kamrok ta`-sir etadi. Bundan tashqari iteratsiya usuli o`z xatoligini to`g’rilab boruvchi usuldir.
3. Iteratsiya usuli tizimning muayyan koeffitsientlari nolga teng bo`lgan kolda juda ham qulaylashadi. Bunday tizimlar xususiy hosilali differentsial tenglamalarni echganda ko`prok uchraydi.
4. Iteratsiya jarayonida bir xil turdagi amallar bajariladi, bu esa eX.M uchun programmalashtirishni osonlashtiradi.
|
| |
