|
O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
BUXORO DAVLAT UNIVERSITETI
AXBOROT TEXNOLOGIYALARI FAKULTETI
“KOMPYUTER ILMLARI VA DASTURLASH TEXNOLOGIYALARI” YO’NALISHI
DISKRET MATEMATIKA VA MATEMATIK MANTIQ FANIDAN
MUSTAQIL ISH
Mavzu:Monoton funksiyalar sinfi
Bajardi: 1-2-KIDT-23 guruh talabasi Toxirov Feruz
Tekshirdi: Jumayeva Ch.
1.Monoton fuksiya haqida.
2.Monoton funksiyalarning uzluksizligi va uzilish nuqtasi.
3. Uzluksiz funksiyaning nolga aylanishi haqidagi teorema.
4. Uzluksiz funksiyaning oraliq qiymatlari haqidagi teorema
5. Teskari funksiyaning mavjudligi va uzliksizligi.
6. Tekis uzluksiz funksiya. Kantor teoremasi.
1. Matematikada monoton funktsiya butunlay ortib borayotgan yoki butunlay kamayuvchi funktsiyani bildiradi. Funktsiya monoton ravishda ortib borayotgan deyiladi, agar uning sohasidagi har qanday ikkita nuqta uchun mustaqil o'zgaruvchining ortishi bilan mos keladigan bog'liq o'zgaruvchi ham ortadi. Boshqacha qilib aytganda, agar x1 < x2 bo'lsa, f(x1) ≤ f(x2). Bunda funksiya grafigi chapdan o'ngga ko'tariladi. Aksincha, funktsiya monoton kamayib boradi, agar o'z sohasining istalgan ikkita nuqtasi uchun mustaqil o'zgaruvchining ortishi bilan mos keladigan bog'liq o'zgaruvchi kamaysa. Boshqacha qilib aytganda, agar x1 < x2 bo'lsa, f(x1) ≥ f(x2). Bunda funksiya grafigi chapdan o'ngga tushadi. Monotonlik tushunchasi funktsiya butun sohada doimiy ravishda ortib borishi yoki kamayishi kerakligini anglatadi. Agar funktsiya ortib borayotgan va kamayuvchi mintaqalarga ega bo'lsa, u monoton deb hisoblanmaydi. Funktsiyaning monotonligini aniqlash odatda uning hosilasini tekshirish yoki grafigining qiyaligini tahlil qilish orqali amalga oshiriladi. Agar hosila musbat bo'lsa, funktsiya ortib boradi, agar hosila manfiy bo'lsa, funktsiya kamayadi. Monotonik funktsiyalar matematikaning turli sohalarida, jumladan, matematik tahlil, optimallashtirish va statistikada muhim rol o'ynaydi. Monotonlik xususiyati funksiyalarning xatti-harakatlarini tushunish, muammolarni hal qilish va natijalarni ℯsharhlash uchun foydali vositadir.
|
|
|
Monoton kamayuvchi va monoton ortib boruvchi funksiya
|
Mantiq algebrasidagi monoton funksiyalar
Monoton funksiya. Qivmatlar satriniug oldin kelishi. monoton funksiyalar
superpozitsiyasi. KNSh (DNSh) ко 'rinishidagi funksiyaning monoton funksiya
bo 'fish sharti.
Tartiblash. 0 1 munosabati orqali {0,1} to ‘plamini tartib-
lashtiramiz. va qiymatlar satrlari bo‘lsin.
1- t a ’rif. Agar tengsizlik herb bo'tm aganda bitta i uchun
bajarilsa yoki (X va /3 qivm atlar satrlari ustm a-ust tushsa, it holda (X
qiymatlar satri /3 qiymatlar satridan oldin kcladi deb avtam iz va (X -< /3
shaklda yozam iz.
2-ta'rif . A g a r a < m unosabatdan f((X}___a n ) < / (/3,.......Д ,)
tengsizlikning bajarilishi kclih t hiqsa. и liolda f ( v , x n ) funksiya
monoton funksiya deb ataladi
3- ta’rif A gar (X /3 munosahatdiin / ((Xl,...JXu ) > / ( / 3 , /3n)
tengsizlikning bajarilishi kelih i lut/sa. и holda / ( . v , x n ) nomonoton
funksiya deb ataladi.
Asosiy elemental' mantiqiy lunksiyalardan 0, 1, x , x y , x v y
funksiyalar monoton. x , v —> r , x + y funksiyalar esa
nomonoton funksiyalardir.
1- teorema. M onoton funksiyalarning superpozitsiyasidan hosil
qilingan funksiya ham monoton junksiva bo 'ladi.
Isboti. monoton funksiyalar sistemasi boisin. Shu sistemadagi
funksiyalar superpozitsiyasidan hosil qilingan funksiya monoton b o ‘lishini
isbot qilish kerak. Matematik induksiya usulini qoilaymiz. Baza: 0 rangli
superpozitsiya uchun bu tasdiqning to‘g ‘riligi ravshan, chunki
sistemadagi hamma funksiyalar monoton funksiyalardir.
Induksion o ’tish. rangli superpozitsiya uchun teoremadagi tasdiq
to ‘g ‘ri bo 4 sin. Bu tasdiqning + 1 rangli superpozitsiya uchun ham
to'g'riligini isbotlaymiz.
9( V.........' .M.r, v ......... Yi; );
233
ㅤㅤㅤ, [11/21/2023 1:59 AM]
F U 'l ........V, ..Y, i l ....: .VA, V,,..., Y; ) =
Ф< ' .......V,.................... .1 ). ........ V„)
funksiyalaming monoton ekanligim isbotlash kerak. Bu yerda v va у,-
o'zgaruvchilar x j o ‘zgaruvchilarning birortasi bilan mos kelishi mumkin.
Ф funksiyaning monolonligidan (Ж y ......v _v..y , .v. ) funksiyaning
monoton funksiya ekanligi kelib chiqadi. F funksiyaning monotonligini
isbotlaymiz. Buning uchun F funksiyaning ikkita y' va y"
taqqoslanadigan qiymatlar satrini ko'rib chiqamiz:
y'= ( a , .... a . ..... a ,/3....../i 1 :
/'-(a" ....(/ .....a., .....(/ ./)’ .....A")
va y'M a’lumki.
F { y ')~ (p (8 '). bu yerda j = i bo' Iganda 8 '= a '. 5 = у/ ([3 ’);
F(y” ) =(p{8” ), bu yerda j=i bo'lganda 8'' = a ' ' . S" = y/((3").
у/ monoton funksiya va y'uchun 8'<8" b o ‘ladi, y a ’ni
ф monoton funksiyadir.
ekanligidan (/c + 1) rangli superpozitsiya uchun teoremadagi tasdiq
isbotlandi. ■
K o n ’yunksiya va diz’yunksiya monoton funksiya b o iganligi uchun, 1-
teoremaga asosan, ularning superpozitsiyasidan hosil qilingan funksiya
ham monoton bo'ladi.
2- t e o r e m a . Agar /'(. y ,..... x , , ) e .V / b o ‘Isa. 11 hokla inulan
argum ent/ari о ‘rniga 0. 1 va x funksiyani qo ‘yish usu/i bilan X fim ksiyani
hosil qilish mumkin.
2. Monoton funksiyalarning uzluksizligi va uzilish nuqtasi.
Teorema. Agar f(x) funksiya X oraliqda (qat'iy) monoton funksiya bo'lsa,u shu oraliqning istalgan nuqtasida uzluksiz bo'ladi yoki faqat birinchi turuzilishga (sakrashga) ega bo'ladi.
Isbot. f(x) funksiya X oraliqda o'suvchi bo'lsin. X0 nuqta X ning ichkinuqtasi, ya'ni x0 nuqtaning biror (x0 - π; x0+ π ) atrofil X ga tegishli bo'lsin. f(x)funksiya o'suvchi bo'lgani uchun barcha x < x0 f(x) 0) yani funksiyayuqoridan chegaralangan. Shuning uchun u cheklif f(x0- 0)≠ f(x0) limitga ega.Xuddi shu kabi chekli f(x0 + 0) limit mavjud bo'lib, f (x0 + 0) ne f(x0) bo'ladi.
Agar f(x0- 0) = f(x0) = f(x0+ 0) bo'lsa, funksiya x0 nuqtada uzluksizbo'ladi. Aks holda f(x0 + 0) < f(x0 + 0) bolib, x0 funksiyaning birinchi tur uzilishnuqtasi bo'ladi.
Monoton kamayuvchi funksiya uchun ham shu kabi isbotlanadi.
Teorema. Agar f(x) funksiya X oraliqda monoton bo'lib, uning qiymatlaribiror Yoraliqdan iborat bo'lsa, u holda funksiya X oraliqda uzluksiz bo`ladi.
Isbot. f(x) funksiya X oraliqda o'suvchi bo'lsin. Faraz qilaylik funksiyaning biror nuqtada uzilishga ega bo'lsin. U holda yuqoridagi teoremaga binoan f(x0 -0)< f(x0+ 0) bo'lib, (f(x0 + 0), f(x0 + 0)) f(x0) to'plamdagi sonlarning hechbiri funksiyaning qiymati bo'lmaydi, ya'ni funksiya qiymatlari Y oraliqdan iboratbo'lmaydi. Teorema isbotlandi.
Uzluksiz funksiyalarning oraliq qiymatlari haqida teoremalar. Teskarifunksiyaning uzliksizligi. Kesmada uzluksiz bo'lgan funksiyalarning tekis uzluksizligi.
Uzluksiz funksiyaning nolga aylaUzluksiz funksiyaning nolga aylanishi haqidagi teorema.
1. Agar f(x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz bo'lsa, u holda x ning x0 gayetarlicha yaqin qiymatlarida f(x) funksiya chegaralangan bo'ladi.
2. Agar f(x)funksiyanuqtada uzluksiz, f(x0) > 0 f(x0) < 0 bo'lsa, uholda x ning xo ga yetarlicha yaqin qiymatlarida f(x) > 0 (f(x) < 0) bo'ladi.
Teorema. (Bolsano-Koshining birinchi teoremasi). Agar f(x) funksiya [a;b]segmentda uzluksiz bo'lib, kesmaning chetki nuqtalarida qarama-qarshi ishoraliqiymatlarga ega bo'lsa, u holda f(c) = 0 tenglikni qanoatlantiradigan
c(a < c < b) son topiladi.
Isbot. f(a)>0, f(b)<0 bo'lsin, (a;b) ni teng ikki qismga bo'lamiz. Agar bo'lsa, teorema Isbot qilingan bo'ladi.
1) biror(a(n) + b(n))/2nuqtada f(x) funksiya 0 ga teng bo'ladi, yoki
2) Barcha n uchun f ((a(n) + b(n))/2) ≠0 bo`lib, bu jarayon cheksiz davom etadi.Bunda 1) holda teorema isbot qilingan bo'ladi;
holda esa [a1; b1] [a2; b2] [an; bn] ichma-ich joylashgan segmentlarketma-ketligi hosil bo'ladi. Bunda f(a_{n}) > 0 f(b_{n}) < 0 n = 1, 2 bo'ladi. Ichma-ich Joylashgan segmentlar haqidagi teoremaga binoan funksiya uzluksiz bo'ladi
Bu teoremadan tenglamalarning yechimi mavjudligini ko'rsatishda foydalanish mumkin.
Misol. x 7 + x 3+ 1 = 0 tenglamaning [-1;0] segmentda yechimga ega ekanligini
ko'rsating.
f(x) = x 7 + x 3+ 1 = 0 deb olsak, f(- 1) = - 1 < 0, f(0) = 1 > 0 bo'ladi. f(x) funksiya [-1;0] segmentda uzluksiz bo'lganligidan yuqoridagi teoremaga binoan birorta c €(-1;0) son topilib, f(c) = 0 bo'ladi.
2. Uzluksiz funksiyaning oraliq qiymatlari haqidagi teorema:
Teorema. (Bolsano-Koshining ikkinchi teoremasi)Agar f(x) funksiya [a;b]segmentda uzluksiz bo'lib, f(a) = A f(b) = B va AIsbot. Yordamchi µ(x) = f(x) - C funksiyani olamiz. µ(X) Bolsano-Koshiningbirinchi teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Haqiqatan, 1) µ(X)funksiya [a; b] da uzluksiz, chunki f(x) funksiya [a;b] da uzluksizdir.
2) q(a) = f(a) - C < 0, q(b) = f(b) - C > 0
Shuning uchun(a; b) da shunday c nuqta topiladiki, µ(c) = 0 yoki f(c) - c = 0 yani f(c) = C bo'ladi.
Demak, [a;b] da uzluksiz bo'lgan funksiya ozining ikki qiymati orasidagibarcha qiymatlarni qabul qiladi.
Natija. Agar f(x) funksiya X oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo'lsa, uning
qiymatlari biror Y oraliqni tutash to'ldiradi.
Teorema: (Veyershtrassning birinchi teoremasi).
Agar f(x) funksiya [a;b] segmentda aniqlangan va uzluksiz bo'lsa, funksiya shu segmentda chegaralangan bo'ladi.
Isbot: Teoremani teskaridan faraz qilish orqali isbotlaymiz. Faraz qilaylik
f(x) funksiya yuqoridan chegaralanmagan bo'lsin. U holda ixtiyoriy n€N son uchun f(xn) > n ni qanoatlantiradigan x∈ [a; b] nuqta topiladi. Bolsano-Veyershtrassteoremasiga binoan f (xn) ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi (xn) qismiy ketma-ketlik ajratib olish mumkin deylik. Funksiya uzluksiz bo'lganligi uchun f(xn ) f(x0) bo'ladi. Ikkinchi tomondan f (x n )>n dan f(xn ) infty kelib chiqadi. Bu qarama-qarshilik farazimizning noto'g'ri ekanligini ko'rsatadi.
Eslatma: Teoremadagi har bir shart muhim bo'lib, ularning birortasi
bajarilmasa teoremaning xulosasi ham o'rinli bo'lmasligi mumkin.
4. Teskari funksiyaning mavjudligi va uzliksizligi
Teorema. Agar f(x) funksiya X oraliqda aniqlangan, uzluksiz va qat'iy o'suvchi (qat'iy kamayuvchi) bo'lsa, bu funksiyaning qiymatlar to'plami Y da unga teskari funksiya mavjud bo'lib, u uzluksiz va qat'iy o'suvchi (qat’iy kamayuvchi) bo'ladi.
Isbot. f(x) funksiya uzluksiz bo'lgani uchun Bolsano-Koshining ikkinchi teoremasiga binoan uning qiymatlari oraliqni tutash to'ldiradi. Shuning uchun har bir mos keladigan X0€X topilib, f(x)=y bo'ladi. Bu tenglikni qanoatlantiruvchi x0 yagona bo'ladi. Haqiqatan, o dan farqli x₁ nuqta olsak, f(x) funksiya monoton bo'lib, x, bolgani uchun f(x) f(x) bo'ladi. Shunday qilib Y oraliqdan olingan har bir y ga X da f(x)=y tenglikni qanoatlantiradi gan yagona x mavjud. Demak, Y oraliqda y=f(x) funksiyaga teskari bo'lgan x=(y) funksiya mavjud.
y=f(x) funksiya o'suvchi bo'lsa, x=q (y) ni ham o'suvchi bo'lishini ko'rsatamiz, ya'ni y₁Teskarisini faraz qilaylik: yix bo'lsin. U holda y=f(x) funksiya qat'iy o'suvchi bo'lganligi uchun f(x)>f(x), yani y,>y, bo`ladi. Bu esa yMonoton funksiyaning uzluksizligi haqidagi teoremaga binoan, x= funksiya Y oraliqda uzluksiz bo'ladi.y=f(x) funksiya kamayuvchi bo'lganda ham teorema yuqoridagidek Isbotlanadi.
5. Tekis uzluksiz funksiya. Kantor teoremasi
y = f(x) funksiya X to'plamda uzluksiz va X 0 x bo'lsin. U holdauzluksizlik ta'rifiga ko'ra har bir epsilon > 0 uchun shundaytengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha x \in X lar uchuno'rinli bo'ladi.
Ba'zi bir funksiyalar mavjudki, topilayotgan son faqat > 0 ga bog'liqbo'lib, x 0 nuqtaga bog'liq emas.
Ta'rif: Agar har bir f(x0)>0 son uchun shunday > 0 son topilib, | x’ -x’’ |< f(x0)delta tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha x' x^ prime prime in X nuqtalar uchun | f (x’ )-f(x’’ )|< tengsizlik o'rinli bo'lsa, f(x) funksiya X to plamda tekis uzluksiz deyiladi.
Ta'rifdan ko'rinadiki X to'plamda tekis uzluksiz bo'lgan funksiya shuto'plamda uzluksiz bo'ladi, aksinchasi har doim togri bolavermaydi. Ya'nishunday uzluksiz funksiyalar mavjudki, lekin tekis uzluksiz emas.
Demak, f(x) = funksiya tekis uzluksiz emas.
Endi, uzluksiz funksiyalar qaysi vaqtda tekis uzluksiz bo'ladi degan savol tug'iladi, bu savolga ushbu teorema Javob beradi.
Teorema (Kantor teoremasi) Agar f(x) funksiya [a;b] segmentda uzluksiz bolsa, u holda f(x) funksiya shu segmentda tekis uzluksiz bo'ladi.
|
