Ehtimollikning xossalari
Kolmogorov aksiomalarning tatbiqi sifatida quyidagi xossalarni keltiramiz.
1.Mumkin bolmagan hodisalarning ehtimoli nolga teng
P=0
2. Qarama qarshi hodisalarning ehtimolliklari yigindisi birga teng.
P(A)+P(A)=1
3. Ixtiyoriy hodisalarning ehtimolligi uchun quyidagi munosabatlar orinli.
0
(A)<1
4. Agar A《 B bolsa , u holda P(A)< P(B).
5.Agra birgalikda bolmagan A..A..A hodisalar tola guruppani tashkil etsa u holda
1 P( A ) = 1.
Isboti:
1. A + 0 = A, A -0 = 0 tengliklardan A3 aksiomaga k o ‘ra
P(A) + P (0 ) = P(A) ^ P (0 ) = 0
2. A + A = Q A - A = Q tengliklardan P(A) + P(A) = P(Q) hamda A2 va A3
aksiomalardan esa P ( A) + P( A) = 1 tenglik kelib chiqadi.
3. 2-xossaga ko‘ra P(A) = 1 - P(A) va A1 aksiomaga asosan 0 < P (A) < 1.
4. A с ekanligidan В = (В - A) + A va (B - A)A = 0 . A3 aksiomaga ko‘ra
P(B) = P (В - A) + P(A), ammo P(B - A) > 0 bo‘lgani uchun P(A) < P (B ).
5. A + A + ••• + A =Q tenglik, A2 va A3 aksiomalarga ko‘ra
P(A1 + A2 + ••• + An ) = P(A1 ) + P(A2 ) + ••• + P(An ) .
A va B hodisalar biror tajribadagi hodisalar bo‘lsin.
S B hodisaning A hodisa ro ‘y bergandagi shartli ehtimolligi deb,
P(A' B) (P(A) * 0) (1.11.1) P(A) v >
nisbatga aytiladi. Bu ehtimollikni P(B / A) orqali belgilaymiz.
Shartli ehtimollik ham Kolmogorov aksiomalarini qanoatlantiradi:
1. P( / A) > 0;
2 P(Q / A) = P(Q- A) = = 1-
P( A) P( A) ’
Ehtimolning klassik ta ’rifiga ko‘ra Q - elementar hodisalar fazosi
chekli b o ‘lgandagina hisoblashimiz mumkin. Agar Q cheksiz teng
imkoniyatli elementar hodisalardan tashkil topgan bo‘lsa, geometrik
ehtimollikdan foydalanamiz.
O ‘lchovli biror G soha berilgan
bo‘lib, u D sohani o ‘z ichiga olsin.
G sohaga tavakkaliga tashlangan X
nuqtani D sohaga tushishi ehtimolligini
hisoblash masalasini k o ‘ramiz. Bu yerda
X nuqtaning G sohaga tushishi muqarrar
va D sohaga tushishi tasodifiy hodisa
bo‘ladi. A = {X e D} -X nuqtaning D sohaga tushish hodisasi bolsin.
A hodisaning geometrik ehtimolligi deb, D soha o ‘lchovini G soha
o‘lchoviga nisbatiga aytiladi, y a ’ni
P(A) = mes{D} ,
mes{G} ’
bu yerda mes orqali uzunlik, yuza, hajm belgilangan.
Birinchi bo‘lak uzunligini x,
ikkinchi bo‘lak uzunligini bilan
belgilasak, uchinchi bo‘lak uzunligi l-x-y
bo‘ladi. Bu yerda Q = {(x,>’) : 0 'ya’ni o’uzunliklarining barcha b o ‘lishi mumkin
bo‘lgan kombinatsiyasidir. Bu
bolaklardan uchburchak yasash
mumkin b o lish i uchun quyidagi shartlar
* bajarilishi kerak: x+ y> i-x-y,
x + l - x - y > y, y + l - x - y > x .
Bulardan x < 1 , y < 1 , x + y > 1 ekanligi kelib chiqadi.
Bu tengsizliklar 7-rasmdagi b o ‘yalgan sohani bildiradi. Ehtimollikning
geometrik ta ’rifiga ko‘ra:
1 1 1
mes{A} _ 2 2 2 = 1
4 ’
P( A) =
mes{G} 1
Birinchi kishi kelgan momentni x, ikkinchisinikini y bo‘lsin:
0 < x < 60, 0 < y < 60 U holda ularning
uchrashishlari uchun |x - y < 15
tengsizlik bajarilishi kerak.
Demak, Q = {(x,y):0 < x < 60,0 < y < 60},
A = {(x,y): |x - y < 15}. x va y larni Dekart
koordinatalar
tasvirlaymiz
U holda
tekisligida
1
P( A) =
( 602 - 2 — • 45 • 45 _ mes{A} _ 2 _ '
mes{G} 602
Ehtimollar nazariyasini aksiomatik qurishda A.N. Kolmogorov
tomonidan 30-yillarning boshlarida asos solingan.
Q - biror tajribaning barcha elementar hodisalar to ‘plami, S-hodisalar algebrasi bolsin.
S hodisalar algebrasida aniqlangan, haqiqiy qiymatlar qabul qiluvchi
P(A) fuksiya ehtimollik deyiladi, agar u uchun quyidagi aksiomalar o ‘rinli
bo‘lsa:
A1: ihtiyoriy A e S hodisaning ehtimolligi manfiy emas P(A) > 0
(nomanfiylik aksiomasi);
A2: muqarrar hodisaning ehtimolligi birga teng P(Q) = 1
(normallashtirish aksiomasi);
A3: juft-jufti bilan birgalikda bo‘lmagan hodisalar y ig ‘indisining
ehtimolligi shu hodisalar ehtimollari y ig ‘indisiga teng, y a’ni agar
At • Aj = 0 , i j bo‘lsa, u holda
P(U A,-) = I P( A ,)
k k
(additivlik aksiomasi);
(Q, S , P) uchlik ehtimollik fazosi deyiladi, bu yerda Q-elementar
hodisalar fazosi, S-hodisalar algebrasi, P- A1-A3 aksiomalarni
qanoatlantiruvchi sanoqli funksiya
Klassik ta ’rifdan foydalanib, ehtimollik hisoblashda kombinatorika
elementlaridan foydalaniladi. Shuning uchun kombinatorikaning ba’zi
elementlari keltiramiz. Kombinatirikada qo‘shish va ko‘paytirish qoidasi
deb ataluvchi ikki muhim qoida mavjud.
a = {a, a ,.., an} va в = {Ъ, Ъ2,..., Ъи} chekli to ‘plamlar berilgan bo‘lsin.
S Q o ‘shish qoidasi: agar A to ‘plam elementlari soni n va B to ‘plam
elementlari soni m bo‘lib, A • в = 0 ( A va to ‘plamlar kesishmaydigan)
bo‘lsa, u holda A +в to ‘plam elementlari soni n+m bo‘ladi.
S K o ‘paytirish qoidasi: A va B to ‘plamlardan tuzilgan barcha ( a , })
juftliklar to ‘plami C = { (a,b ) : * = 1,n j = 1,m} ning elementlari soni n m
bo‘ladi.
n ta elementdan m (0 < m < n )tadan tanlashda ikkita sxema mavjud:
qaytarilmaydigan va qaytariladigan tanlashlar. Birinchi sxemada olingan
elementlar qayta olinmaydi(orqaga qaytarilmaydi), ikkinchi sxemada esa
har bir olingan element har qadamda o ‘rniga qaytariladi.
A hodisa n ta bog‘liqsiz tajribalarda nA marta ro ‘y bersin. nA son A
n
hodisaning chastotasi, — munosabat esa A hodisaning nisbiy chastotasi
n
deyiladi.
Nisbiy chastotaning statistik turg‘unlik xossasi deb ataluvchi xossasi
mavjud, y a’ni tajribalar soni oshishi bilan nisbiy chastotasi m a’lum
qonuniyatga ega b o ‘ladi va biror son atrofida tebranib turadi.
Misol sifatida tanga tashlash tajribasini olaylik. Tanga A={Gerb}
tomoni bilan tushishi hodisasini qaraylik. Byuffon va K.Pirsonlar
tomonidan o ‘tkazilgan tajribalar natijasi quyidagi jadvalda keltirilgan:
Tajriba
o ‘tkazuvchi
Tajribalar soni, n Tushgan gerblar
soni, nA
Nisbiy chastota,
nA/n
Byuffon 4040 2048 0.5080
K.Pirson 12000 6019 0.5016
K.Pirson 24000 12012 0.5005
Jadvaldan ko‘rinadiki, n ortgani sari nA/n nisbiy chastota - = 0.5 ga yaqinlashar ekan.
Agar tajribalar soni etarlicha k o ‘p bo‘lsa va shu tajribalarda biror A
hodisaning nisbiy chastotasi biror o ‘zgarmas son atrofida tebransa, bu
songa A hodisaning statistik ehtimolligi deyiladi.
A hodisaning ehtimolligi P(A) simvol bilan belgilanadi. Demak,
n n lim = P(A) yoki yetarlicha katta n lar uchun - P(A).
Statistik ehtimollikning kamchiligi shundan iboratki, bu yerda
statistik ehtimollik yagona emas. Masalan, tanga tashlash tajribasida
ehtimollik sifatida nafaqat 0.5, balki 0.49 yoki 0.51 ni ham olishimiz
mumkin. Ehtimollikni aniq hisoblash uchun katta sondagi tajribalar
o ‘tkazishni talab qiladi, bu esa amaliyotda k o ‘p vaqt va xarajatlarni talab
qiladi.
Statistik ehtimollik quyidagi xossalarga ega:
1. 0 < P(A) < 1;
2. P(0) = 0;
3. p (Q) = 1;
4. A • B = 0 bo‘lsa, u holda P (A + B) = P(A) + P (B );
nA
Isboti. 1) Ihtiyoriy A hodisaning chastotasi uchun 0 < а < n ^ 0 < — < 1.
Etarlicha katta n lar uchun — - P(A) bo‘lgani uchun 0 < P(A) < 1 bo‘ladi.
2) M umkin bo‘lmagan hodisa uchun nA=0.
3) M uqarrar hodisaning chastotasi nA=n.
4) Agar A • в = 0 bo‘lsa, u holda nA+B = nA + nB va
P(A + B) - PА+В = P + Pв = PА + PВ - P(A) + P(B)
Natijasi tasodifiy bo'lgan biror tajriba o'tkazilayotgan bo'lsin. Q -tajriba
natijasida ro 'y berishi mumkin bo'lgan barcha elementar hodisalar
to'plam i elementar hodisalar fazosi deyiladi; tajribaning natijasi © esa
elementar hodisa deyiladi.
XULOSA
Xulosa qilib shuni aytish mumkinki, Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika ”Hosil qiluvchi funksiyalar. Ehtimolning polynomial taqsimoti” mavzusidagi kurs ishini yozish jarayonida Ehtimollik nazariyasida polynamial taqsimot ning ornini hosil qiluvchi funksiyalarning oddiy xossalarini Ehtimollik nazariyasining dastlabki predmetlari va matematika fani rivojlanishida ehtimollik nazariyasini organgan olimlarni Geometrik va aksometrik tarkibni ehtimollikning statistikasi va xossalari kabi boshlang’ich tushinchalari kabi tushunchalar o‘rganildi.
Bundan tashqari Ehtimollik nazariyasi mavzusi ham to‘laligicha tushinildi. Bu mavzuga doir xossalari, ikki o’lchovli diskret tasodifiy miqdorlar va ularning xossalari, uzluksiz tasodifiy miqdorlar ularning xossalari kabi tushunchalarga alohida to‘xtalib o‘tildi. Barchasini ta’rif , teorema, lemmalar yordamida o‘quvchiga tushintirildi. Ba’zi bir isbotlarni o‘quvchilarga hovali qilindi.
Bundan tashqari turli xil ta’rif va teoremalar haqida yetarlicha ma’lumotlar berildi. Teoremalarning isbotlari tushinildi va o‘qib o‘rganildi . Misol va masalalarning ishlanish jarayonlari bilan tanishildi.
|
