|
M. M. Qosimova "Boshlang’ich matematika kursi nazariyasi" fanidan o‘quv qo‘llanma oliy ta’limning boshlang’ich ta’lim asoslari yo‘nalishida belgilangan dts talablari va "Boshlang’ich matematika kursi nazariyasi" o‘q
|
| bet | 59/67 | | Sana | 05.01.2024 | | Hajmi | 1,8 Mb. | | #130621 |
Bog'liq BOSHLANG’ICH MATEMATIKA KURSI NAZARIYASI OQUV QOLLANMA 2020тайёрVI- modul SANOQ SISTEMALARI
Sanoq sistemasi tushunchasi. Pozitsion va nopozitsion sanoq sistemalari
Son tushunchasi juda qadimiy tushunchalardan biridir. Sonlarning nomlanishi, joylashishi, yozilishi turli davrlarda, turli mamlakatlarda turlicha bo‘lgan.
Matematikada sonlarning o‘qilishi, yozilishi, ular ustida bajariladigan amallar tiliga sanoq sistemalari deb ataymiz.
Barcha sanoq sistemalari o‘zining “grammatik qurilishi” jihatidan pozitsion bo‘lmagan (nepozitsion) va pozitsion sanoq sistemalariga bo‘linadi.
Dastlab pozitsion bo‘lmagan sanoq sistemalar to‘g’risida fikr yuritaylik.
So‘zimizni eng qadimgi sanoq sistemalardan biri- Misr sanoq sistemasidan boshlaymiz. U ehtimol bundan 5000 yil muqqaddam paydo bo‘lgandir. Misr sanoq sistemasida son ishoralari qanday tasvir etilgan va ular yordamida sonlar qanday qilib yozilgan, shuni ko‘rib o‘taylik.
Misr sanoq sistemasida bir, o‘n, yuz,. ming, o‘n ming, yuz ming, million sonlari uchun maxsus ishoralar (ierogliflar) bo‘lgan.
Bular quyidagilardir.
1 10 100 1000 10000 100000
79-rasm
Masalan, butun son 23145 ni qadimgi Misr sanoq sistemasida ifodalaylik:
80-rasm
Buni yozish uchun o‘n minglikni ifodalovchi ikkita iyeroglifni, so‘ngra mingni ifodalovchi uchta ieroglifni yuzlikni ifodalovchi 1 ta ieroglif, o‘nlikni ifodalovchi 4 ta, birni ifodalovchi 5 ta ieroglifni qator qilib yozganlar .
Shunday qilib, son yozishda har bir iyeroglif ko‘pi bilan to‘qqiz marta takrorlanishi mumkin edi. Misr sanoq sistemasida nol uchun ishora bo‘lmagan.Qadimgi sanoq sistemalaridan yana biri bu qadimgi Grek sanoq sistemasidir.Qadimgi Gretsiyada foydalanilgan, Attik yoki Gerodian sistemasi deb atalgan sanoq sistemasidagi ba’zi sonlarni quyidagicha belgilardan foydalanganlar.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 20 3 0 40 50
N G X G M
100 500 1000 5000 10000 81-rasm
-belgi 47 sonini
belgi 69 sonini
82-rasm
Bu ikki ko‘rinishdagi sanoq sistemalardan shu narsani ko‘rish mumkinki, har bir raqam qaysi o‘rinda kelishidan qatiy nazar doim bitta sonni ifodalaydi. Eramizdan oldingi III asrda Gretsiyada Attik sanoq sistemasi o‘rniga IONIYa sanoq sistemasi deb ataladigan sistema vujudga keldi.
Bu sistemada butun sonlar grek alfaviti harflari bilan tasvirlangan. Shu bilan birga sonlarni ifodalovchi harflarning teppasiga chiziqcha chizib qo‘yiladi . Bunday sanoq sistemasi alfavit sanoq sistemasi deb ataladi. Ioniya alfavit sanoq sistemasi 27 harfdan iboratdir. Harfdan farqlash uchun harf tepasida chiziqcha qo‘yilib sonlar yozilgan.
Pozitsion bo‘lmagan sanoq sistemalaridan yana biri va hozir ham qo‘llaniladigan sistema bu Rim sanoq sistemasidir.
Rim raqamlari bilan butun sonlarni yozish uchun quyidagi 7 ta asosiy sonlarning tasvirlarini esda saqlash kerak.
I V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1000
83-rasm
Shu sonlar bilan 4000 gacha istalgan butun sonni yoza olamiz. Shu bilan birga , bir sonda bu raqamlardan ba’zilari (I, X, C, M) uch martagacha takrorlanishi mumkin. Sonlarni rim raqamlarida yozishda kichikroq raqam katta raqamning o‘ng tomonida turishi mumkin. Bu holda kichik raqam katta raqamga qo‘shiladi. Masalan, 283 soni rim raqamlarida SSLXXXIII Misolimizda yuzlikni ifodalovchi raqam 2 marta o‘nlik va birlikni ifodalovchi raqamlar 3 martadan takrorlangan. Bu sanoq sistemasida kichik raqam katta raqamning chap tomoniga yozilishi mumkin. Bunday xollarda kichik raqamni katta raqamdan ayirish kerak bo‘ladi. Masalan:XSIV=100-10+5-1=94 ni ifodalaydi. Bu sistemada ham nolni ifodalovchi ishora yuq. Masalan: 1809 ni MDSSSIX belgi ishlatish mumkin. Rim raqamlari yordamida katta raqamlarni ham yozish mumkin.Buning uchun ming sonini yozgan o‘ng tomondan pastga lotin m harfi qo‘yiladi.
Masalan: SDXVIIm CMLXXXVI – 417986 ni ifodalaydi. Pozitsion bo‘lmagan sanoq sistemasi shu bilan xarakterlanadiki, berilgan sistemada sonlarni belgilash uchun qabul qilingan belgilar to‘plamining har bir belgisi sonning yozuvida bu belgining qanday joylashishiga bogliq bo‘lmagan holda hamma vaqt 1 ta va faqat 1 ta sonni ifodalaydi.
Ko‘rinib turibdiki, pozitsion bo‘lmagan sanoq sistemalarida sonning yozilishi juda murakkablik tug’diradi. Yozuvlar juda ko‘p joyni oladi. Yozuvlar qaysi sanoq sistemasida qulay?
Buning uchun pozitsion sanoq sistemalarini qaraylik. Pozitsion sanoq sistemasida har bir belgi turgan o‘rniga qarab (pozitsiyasiga qarab) turli sonlarni ifodalaydi.
Birinchi pozitsion sanoq sistemalari qadimgi Vavilonda vujudga kelgan bo‘lib, ular 60 lik sanoq sistemalaridir. Vavilonliklar asosan 2 ta ishora 1ni “ ifodalovchi pona va o‘nni bildiruvchi gorizontal pona) yordamida ifodalangan. Bunday ponalar uchburchakli prizma shaklidagi egilgan tayoqchalarni loydan yasalgan yassi to’garakchalarga yozilar edi. Qadimiy vavilonliklar yozuvining ‘’Pona xat’’ deb atalishi ana shundan kelib chiqqan.
Yuqoridagi 2 ta ishora yordamida 1 dan 59 gacha hamma butun sonlar o‘nlik sistemada xuddi Misr sanoq sistemasidagicha yozilar edi; ya’ni sonda nechta o‘nlik va nechta birlik bo‘lsa, o‘n va bir ishoralari o‘shancha marta takrorlangan.
60 soniga kelganda u xuddi 1 sonidek yoziladi. Lekin bu ishora boshqa ishoralar orasida kattaroq oraliq qo‘yiladi.Keyinchalik yuqoridagi 1-belgi nafaqat 1va 60 sonlari uchun, balki 60 ning darajalari 602 , 603 ,….. uchun ham ishlatiladi.
60 lik sanoq sistemalari hozirgacha (bu eramizdan oldin 2000 yil oldin vujudga kelgan bo‘lsa ham ) saqlanib kelinmoqda . 1 soat =60 minut , 1minut=60sekund, to‘liq burchak 3600 va hokazo.
Eng ko‘p tarqalgan sanoq sistemasi bu 10 lik sanoq sistemasidir. Bu birinchi bo‘lib Hindistonda VI asrda vujudga kelib , keyin arablar orqali Yevropaga tarqalgan. Hozirgi paytda ham jahonda 10 lik sanoq sistemasidan keng foydalanilyapti.
Bu sistemaning dastlabki sonlari ;
[ 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9] lar
Bu to‘plam o‘nlik sanoq sistemasining alfavitidir. Bu sanoq sistemasi asosan IX asrda o‘rta osiyolik olim Al-Xorazmiyga mansub. U o‘zining ‘’Hind sonlari haqida’’ degan asarida buni keng bayon qilgan.
Endi “ n natural sonning o‘nli yozuvi qanday?” degan savolga javob beramiz.
Ta’rif: n natural sonning n=nk10k+nk-110k-1+…+n110+n0 ko‘rinishdagi yozuviga sonning 10 lik sanoq sistemasidagi yozuvi deb aytiladi. Bunda nk, nk-1, …n0 , -lar manfiy bo‘lmagan butun sonlar bo‘lib, 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 raqamlaridan birortasini ifodalovchi sonlardir.
Sonning unli sanoq sistemasidagi yozuvini qisqacha
n= nk, nk-1, …n0 , deb yozadilar.
Masalan: 3749=3·103+7·102+4·10+9
Quyidagi tasdiqni isbotsiz qabul qilamiz “ Har qanday natural sonning o‘nli yozuvi mavjud va bu yozuv yagonadir”.
Sonning o‘nlik sanoq sistemasidagi yozuvi sonlarni o‘qish uchun, ularni taqqoslash uchun qulaydir. Masalan, n va m sonlarning o‘nli sanoq sistemasidagi yozuvi berilgan bo‘lsin:
n=nk10k+nk-110k-1+…+n110+n0 (nk0)
m=me10e +me-110e-1+…+m110+m0 (mk0)
Agar quyidagi hollardan
а)kб) k>e, nke
в) k=e, nk=me, … ns=ms, ns-1s-1
aqalli bittasi o‘rinli bo‘lsa, u holda n Demak, agar n va m sonlari turli xildagi sonlar bo‘lsalar, u holda ular uchun a)-v) shartlardan bittasi o‘rinlidir.
Masalan: I. 1) 5973=5·103+9·102+7·10+3 va
325=3·102+2·10+5
k=3, e=2 3>2 bo‘lgani uchun 5973>325
II. 1) 259=2·102+5·10+9
2) 243= 2·102+4·10+3
5>4 bo‘lgani uchun 259>243
4. Biz yuqorida o‘nli sanoq sistemalaridan tashqari yana 60 lik, 12 lik, 20 lik sanoq sistemalaridan foydalanishlarini ko‘rib chiqdik. Hozirgi paytda tez hisoblash EXM lari 2 lik va 8 lik sanoq sistemalarida asoslangan holda ishlaydi. Shuning uchun biz umumiy bo‘lgan qlik sanoq sistemasini qaraymizki, u qaraydigan 10 lik , 8 lik, 12 lik sanoq sistemalari uning xususiy hollari bo‘lsin. Bu sistemalarning hammasida son yozuvi bir xil printsipga buysunadi. Birdan katta bo‘lgan sanoq sistemaning asosi q-natural son tanlanadi.Xuddi sonning o‘nlik sanoq sistemasidagi yozuvi singari istalgan natural sonni faqat bir xil usulda quyidagi yigindi shaklida ifodalash mumkin: n=nkqk+nk-1qk-1+…+n1q+n0 (nk0) , bunda
0 nk q-1
0 nk-1q-1
0n0q-1.
N=nk·qk +nk-1·qk-1+…+n1·q+n0 (nk0) ,bunda
Bu yozuvni qisqacha quyidagicha yozish ham mumkin:
n=nknk-1…n0 (q)
Masalan: n=475(8)-bu son sakkizlik sanoq sistemasida berilgan.Bu son yoyilmasi: n=4·82+7·8+5 . q sonining o‘zi q lik sanoq sistemasida q=1·q+0 bo‘lib, u 10(q) deb yoziladi. Ba’zi natural sonlarning o‘z sanoq sistemasida ifodalanishini quyidagi jadvalda yaqqol ko‘ramiz:
Q=1 |
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
Q=2
|
1
|
10
|
11
|
100
|
101
|
110
|
111
|
1000
|
1001
|
1010
|
1011
|
1100
|
Q=3
|
1
|
2
|
10
|
11
|
12
|
20
|
21
|
22
|
100
|
101
|
102
|
110
|
Q=4
|
1
|
2
|
3
|
10
|
11
|
12
|
13
|
20
|
21
|
22
|
23
|
30
|
Q=5
|
1
|
2
|
3
|
4
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
20
|
21
|
22
|
Q=6
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
20
|
Q=7
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
Q=8
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
Q=9
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
10
|
11
|
12
|
13
|
Q=11
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
|
10
|
11
|
Q=12
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
|
|
10
|
84-rasm
q=11 da -10 ni ifodalaydi.
Q=12 da -10, -11 ni ifodalaydi.
Turli sanoq sistemalarida sonlarni taqqoslash xuddi o‘nli sanoq sistemasidagiga o‘xshash bo‘ladi. Lekin sonlar bir xil sanoq sistemasiga nisbatan olinishi shart.
Agar sonlar turli sanoq sistemalarida berilgan bo‘lsa, u holda bir sanoq sistemasidan 2-sanoq sistemasiga o‘tishga to‘g’ri keladi.
Bir sanoq sistemasidan ikkinchi bir sanoq sistemasiga o‘tish uchun oldin birinchi sanoq sistemasidan o‘nlikka o‘tib, undan esa izlangan sanoq sistemasiga o‘tish mumkin va bir sanoq sistemasidan ikkinchi bir sanoq sistemasiga to‘g’ridan-to‘g’ri o‘tish mumkin. Hozir quyida shu 2 masalani qarab chiqamiz:
1-masala: n sonining q lik sanoq sistemasidagi yozuvi n=nknk-1…n0 (q)
bo‘lsin. Bu sonning o‘nlik sanoq sistemasidagi yozuvini toping.
Ta’rifga ko‘ra n=nknk-1…n0 (q)=nkqk+nk-1qk-1+…+n1q+n0
Bu sonlar ustida amallarni bajarib, hosil qilgan son izlangan son bo‘ladi.
Masalan: 1) n=362(7) sonni o‘nlik sanoq sistemasidagi yozuvini toping. 362(7) = 3·72+6·7+2=191. Demak, 362(7) =191
2) 4(12) son uchun o‘nli yozuvni topaylik, bu yerda -12 lik sanoq sistemasida 10 sonini -12 lik sanoq sistemasida 11 sonini ifodalaydi.
4(12)=10122+412+11=1499.
2-masala: Berilgan unli sanoq sistemasidagi sonni q lik sanoq sistemasidagi yozuvini topaylik,
n= nkqk+nk-1qk-1+…+n1q+n0 berilgan bo‘lsin. Bu sonni quyidagicha yozish mumkin; N=q(nkqk-1+nk-1qk-2+…+n1)+n0 , bu erda 0n0q
Bu yozuvdan ko‘rinadiki, n0-n sonini q soniga bo‘lganda bo‘lishdan chiqqan qoldiqdir. Xuddi shunday n1 qoldiq topiladi va hokazo.
Natijada bu protsess to bo‘linma nolga teng bo‘lguncha davom ettiriladi, so‘ngra qoldiqlar qator qilib oxiridan yozib chiqilsa, hosil bo‘luvchi son q lik sanoq sistemasida sonning yozuvi bo‘ladi.
Masalan: 1) 46 sonining 2 lik sanoq sistemasidagi yozuvini toping.
Demak, 46=101110(2) natijani to‘g’riligini tekshiramiz: 101110(2)=1·25+0·24+1·23+1·22+1·2+0=46
Birinchi sanoq sistemasidan ikkinchi sanoq sistemasiga to‘g’ridan-to‘g’ri o‘tish uchun kishida ko‘proq shu sistemalar ustida amallarga doir malakalar hosil bo‘lishi kerak. Bu usulni kelasi darsda ko‘rib o‘tamiz.
Agar berilgan 1-sanoq sistema asosi 2-sanoq sistemaning asosi darajalaridan iborat bo‘lsa, berilgan sanoq sistemasidan 2-siga o‘tish ancha oson.
Amaliyotga keng tarqalgan EHMlarda olib boradigan 2 lik va 8 lik sanoq sistemalarini qaraylik. 2 lik sanoq sistemasidan 8 lik sanoq sistemasiga o‘tish va aksincha juda oson. Quyidagi jadvalda buning guvohi bo‘lasiz:
2 5460(8) Х(2) 85-rasm
25460(8)=10101100110000(2)
Bu EHMlarida programmalar 8 lik sanoq sistemasiga moslab beriladi, hisoblashlar 2 lik sanoqsistemasida olib boriladi.
Shunday qilib, xulosa qilsak, har bir sanoq sistemasi o‘zining qurilishi jihatidan pozitsion-nopozitsion sanoq sistemalariga bo‘linadi . Pozitsion bo‘lmagan sanoq sistemalari shu bilan xarakterlanadiki, bu sistemaga kiruvchi har bir belgi o‘rniga (pozitsiyasiga) bog’liq emas, qayerda turgan bo‘lsa, bari bir, bir xil sonni ifodalaydi.
Pozitsion sanoq sistemalari bundan mustasno. Sonning 10 lik sanoq sistemasidagi yozuvi sonning qlik sanoq sistemasidagi yozuvining xususiy holi q=10 bo‘lgan holdagi yozuvdir.
Demak, har bir son turli sanoq sistemalarida turlicha sonlarni ifodalar ekan.
O‘tilgan mavzu bo‘yicha topshiriqlar:
1) 9471; 9847 sonlarni Rim raqamlari yordamida yozing;
2) MMDCXLVII; MMMDCCCLXXI- sonlar arab raqamlarda yozilsin.
|
|
Bosh sahifa
Aloqalar
Bosh sahifa
M. M. Qosimova "Boshlang’ich matematika kursi nazariyasi" fanidan o‘quv qo‘llanma oliy ta’limning boshlang’ich ta’lim asoslari yo‘nalishida belgilangan dts talablari va "Boshlang’ich matematika kursi nazariyasi" o‘q
|
