Uzluksiz kanallar orqali axborot uzatish
Quyidagi o’zgarmas parametrli uzluksiz kanalni ko’rib chiqamiz. Gauss xalaqiti ta’sirida buzilgan s(t) signal kanal chiqishida quyidagicha ifodalanadi:
, (7.34)
bunda, s(t) kanal chiqishidagi foydali signal, w(t) – additiv xalaqit.
Uzluksiz xabar manbai chiqishidagi entropiyani aniqlashga o’xshash usul bilan uzluksiz aloqa kanali chiqishidagi axborot miqdorini aniqlaymiz. Buning uchun va signallar qiymatlarini va aniqlikda kvantlaymiz. Bu holda ularning ehtimolliklari taqsimoti quyidagi ko’rinishni oladi:
,
. (7.35)
Kirishdagi va chiqishdagi simbvollarning bir vaqitda diskretlangan kanal chiqishida paydo bo’lish ehtimolligi quyidagicha aniqlanadi:
. (7.36)
va larni nolga intiltirib ( uzluksiz va lar orasidagi o’zaro axborot miqdorini quyidagicha aniqlaymiz:
. (7.37)
ni e’tiborga olib (7.37) ifodani quyidagi shakilga keltiramiz:
(7.38)
.
(7.38) ifodani birinchi tashkil etuvchisi avval ham aniqlangan bo’lib (2.27-ifodaga qarang), uni differentsial entropiya deb atalgan , ikkinchi qismi shartli differentsial entropiya deb ataladi. Bu ifodani tahlil qilib uzliksiz kanal orqali axborot uzatishda quyidagi qonuniyatlarni aniqlash mumkin:
- . Agar aloqa kanalining kirish va chiqishi bir-biri bilan o’zaro bog’lanmagan, yani uzilgan bo’lsa , bo’ladi;
- , bu kanalning o’zaro axborot uchun simmetriklik xossasidan kelib chiqadi;
- . Bu hol kanal xalaqitdan holi bo’lganda , yani bo’lganda o’rinli bo’ladi.
Aloqa kanalning o’zaro axborot uchun simmetriklik xossasiga asoslanib quyidagi ifodani olish mumkin:
, (7.39)
(7.39) ifoda ko’rilayotgan addetiv xalaqitli aloqa kanali uchun quyidagi ko’rinishni oladi:
, (7.40)
Bu erda addetiv xalaqit differentsial entropiyasi.
(7.40) ifodadan quyidagi hulosani chiqarish mumkin. Agar uzatilayotgan signal ma’lum bo’lsa, unung qabul qilishda noaniqligi faqat kanaldagi xalaqitga bog’liq bo’ladi.
O’tkazish polosasi Fn bo’lgan uzluksiz aloqa kanalini axborot o’tkazish ko’rsatgichlarini aniqlaymiz. Kanal orqali axborot uzatish tezligi va kanalning o’tkazuvchanlik qobilyati ta’rifga asosan mos ravishda quyidagi ifodalar bilan aniqlanadi:
,
. (7.41)
Kanalning o’tkazuvchanlik qobilyatini uning kirishi va chiqishidagi signallarni oralig’idagi oniy qiymatlari asosida amalga oshiramiz. Dastlab vaqtga to’g’ri keluvchi axborot miqdorini, so’ngra esa davomiyligi bo’lgan signal olib kelishi mumkin bo’lgan axborot miqdorini uning ta oniy qiymatlari axborot o’tkazish imkoniyatli yig’indisi ko’rinishida aniqlaymiz.
Kirish signalining ehtimolligi turli taqsimotlari orqali unung bitta oniy qiymati axborot o’tkazish imkoniyati maksimal qiymatini aniqlaymiz:
. (7.42)
Aloqa kanalidan o’tayotgan foydali signal quvvatini va ushhbu kanaldagi xalaqit ga teng hisoblab, aloqa kanalini axborot o’tkazish imkoniyatini hisoblaymiz. Buning uchun Gauss tasodifiy kattaliklarining differentsial entropiyasidan foydalanamiz (2.o ifodaga qarang), ya’ni
(7.43)
(7.42) ifodani hisobga olib (7.43) ifoda quyidagi ko’rinishga keladi:
. (7.44)
Signal va xalaqit o’zaro bog’liq bo’lmagani uchun ularning kanal chiqishidagi dispertsiyasi teng bo’ladi. Xalaqitning differentsial entropiyasi ma’lum bo’lsa, u xolda aloqa kanalining maksimal axborot uzatish imkoniyati Gauss taqsimot qonuniga to’g’ri keladi. Bu holat xalaqit va signal Gauss taqsimotiga bo’ysunganda o’rinli bo’ladi . Ma’lumki ikki tasodifiy miqdor Gauss taqsimotiga bo’ysunsa ularning yug’indisi ham Gauss taqsimoti qonuniga bo’ysunadi. Demak
teng. U holda
. (7.45)
Yuqorida takidlab o’tilganidek, uzluksiz aloqa kanalining to’liq axborot o’tkazish imkoniyati, Kotelnikov teoremasiga asosan uning ta oniy diskret qiymatlari axborot uzatish imkoniyatlari yig’indisi sifatida aniqlaymiz, yani
. (7.46)
(7.46) formula xalaqitli uzluksiz kanal uchun Shennon formulasi deyiladi. Bu formula yordamida kanalning o’tkazish polosasi Fn , foydali signal o’rtacha quvvati ps va xalaqit quvvati px bo’lgan uzluksiz Gauss kanali orqali uzatiladigan axborot miqdori aniqlanadi. Formuladan ko’rinib turibdiki, kanalning axborot o’tkazosh imkoniyati uning o’tkazish polosasiga to’g’ri proportsional – chiziqli bog’lanishga ega va signal va shovqin quvvatlari nisbatiga logorimik bog’langan. Shuning uchun signal quvvatini cheklab aloqa kanali o’tkazish polosasini kengaytirish samarali hisoblanadi.
Bu masalani chuqurroq o’rganish uchun kanalning o’tkazosh polosasi kengligidagi Fn shovqin quvvatini uning bir tomonlama spektr quvvati zichligi N0 orqali ifodalaymiz .
Bu ifodani Shennon formulasiga qo’yib quyidagi ifodani olamiz:
. (7.47)
(7.47) ifodaning tahlili shuni ko’rsatadiki, kanalning o’tkazish polosasi Fn oshib borgan sari kanalning axborot uzatish imkoniyati dastlab tes o’sib boradi, so’ngra axborot uzatish imkoniyati eng katta qiymatiga yaqinlashgan sari sekinlashadi:
bit/s.
Bu ifoda shuni ko’rsatadiki, aloqa kanalining o’tkazuvchanlik (uzatish) qobilyati cheksiz katta emas, balki u doimiy kattalikka intiladi (7.4a- rasm).
Chiqishidagi signal va shovqin w(t) Gauss (normal) qonunga bo’sunsa, kirishi signali ham shu qonunga bo’ysunadi. Bundan shunday hulisa qilish mumkin, maksimal axborot uzatish tezligiga erishish uchun normal qonunga bo’ysunuvch va spektori bir tekis taqsimlangan signallash zarur.
.4 b-rasmda kanalning o’tkazuvchanlik qobiliyati C va energetik spektri N0 o’zgarmas bo’lganda ps ni Fn bog’likliqligi ko’rsatilgan. Bundan shunday hulosa qilish mumkin: signal spektrini o’tkazish polosasi kengligi oshirish hisobiga uning quvvatini kamaytirish mumkin.
(7.47) ifoda spektri bir tekis taqsimlangan signal va shovqin uchun o’rinli. Umumiy holda bu ifodani spektori notekis taqsimlangan signallar uchun ham qo’llqsh uchun chastota spektorida signal Gs(f) va shovqin (xalaqit) Gw(t) spektorlari o’zgarmas bo’lgan tor polosani tanlab olamiz. Tanlab olingan polosa uchun (7.47) ifodaga asosan kanalning o’tkazuvchanlik qobilyati quyidagicha aniqlanadi:
, (7.48)
Bu yerda va
Kanalning to’liq o’tkazuvchanlik qobilyati (7.48) ifodani signalning butun chastota spektori kengligidagi integral orqali hisoblanadi:
. (7.49)
(7.49) ifodaddan berilgan shovqin spektorida Gw(t) va signalning chegaralangan quvvatida kanalning o’tkazuvchanlik qobilyati quyidagi shart bajarilganda eng katta qiymatiga erishadi:
. (7.50)
Yani, shovqin quvvqti kichik bo’lgan chastotalarda signal quvvati oshirilishi zarur va teskari. (7.50) shart bajarilganda bir teks taqsimlangan shovqin, yani “oq shovqin” bo’ganda kanalning aloqa kanalining o’tkazuvchanlik qobilyati eng kichik bo’ladi. “Oq shovqin” aloqa kanallari uchun eng hafli xalaqit hisoblanadi.
| 