2.2 Nochiziqli optika masalalarini matematik modellashtirish.
Muhitdan o‘tayotgan yorug‘lik dastasi ta’sirida muhitning optik xarakteristikalari o‘zgaradimi, degan savolga lazerlar paydo bo‘lgunga qadar salbiy javob berilar edi. Haqiqatan ham, atom ichidagi maydonlar 10M012 tartibidagi kuchlanganliklar bilan xarak- terlangani holda, lazermas yorug‘lik manbalaridan chiqayotgan yorug‘lik to‘lqini maydonining elektr kuchlanganligi 105 dan ortmaydi.
Shu sababli yorug‘lik to‘lqini amalda atom ichidagi maydon- larga va, demak, muhit xarakteristikalariga ta’sir ko‘rsata olmaydi. Bunday hollarda muhitning optik xususiyatlari va ko‘pgina optik hodisalar xarakteri yorug‘likning intensivligiga bog‘liq bo‘lmaydi.
Muhitning P qutblanish vektori tashqi maydon E kuchlanganligi bilan P= E chiziqli bog‘lanishda ekanligi ma’lum, bunda — muhitning dielektrik qabul qiluvchanligi. Bundan hozirda lazerlar ishlatilishidan avvalgi optikaga nisbatan «chiziqli optika» atamasi qo‘llanila boshlangan.
Yorug‘likning kvant generatorlari yaratilgandan so‘ng optikada vaziyat keskin o‘zgardi. Lazer nurlanishining yuqori darajadagi kogerentligi yorug‘lik quwatini g‘oyat kuchli konsentratsiyalash imkonini beradi. Lazerlar kuchlanganligi 1010^1011 bo‘lgan yorug‘lik maydonlarini beradi. Bunday kuchli yorug‘lik oqimlari moddada tarqalganda superpozitsiya prinsipidan keskin chetlanishlar ro‘y beradi, muhitda tarqalayotgan to‘lqinlar bir-biriga ta’sir etadi, fizikjarayonlar nochiziqiy qonunlarga bo‘ysunadi. Endi muhitning dielektrik qabul qiluvchanligi Ekuchlanganlikkabog‘liqbo‘lib qoladi, natijada P ning E ga bog‘lanishi nochiziqiy bo‘ladi. Masalan, agar X = Xo + X^ bo‘lsa, u holda P = E = E + E2 bo‘ladi. Bundan «nochiziqiy optika», «nochiziqiy qutblanish», «Nochiziqiy qutblanishli muhit» degan atamalar kelib chiqqan.
Nochiziqiy optika intensiv lazer nurlanishi ta’sirida muhitning nochiziqiy qutblanishi bilan bog‘liq bo‘lgan bir qator nochiziqiy optik hodisalarni o‘rganadi. Bu hodisalarning ba’zilarini kelti- ramiz.
1. Yorug‘likning nochiziqiy qaytishi. Yorug‘lik intensivligi katta bo‘lganda qaytgan yorug‘likda tushuvchi yorug‘likning chastotasiga teng chastotali nur bilan birga 2 chastotali nur ham bo‘ladi. Ulaming yo‘nalishi bir xil emas.
2. Optikaviy garmonikalar. Quwatli yorug‘lik dastalari suyuqlik va kristallarda sochilganda tushuvchi yorug‘lik chastotasiga teng ro chastotali yorug‘likdan tashqari 2 , 3 va hokazo chastotali sochilgan yorug‘liklar ham kuzatiladi. Sochilgan yorug‘likning bu spektral komponentlari optikaviy garmonikalar deyiladi.
3. Yorug‘likning o‘z-o‘zidan fokuslanishi. Yorug‘lik dastalari suyuqliklar va ba’zi kristallardan o‘tganda dastaning quvvati ortishi bilan yoyilishi kamayadi, kritik quvvat deb ataladigan quvvatda dasta hech yoyilmasdan (kengaymasdan) tarqaladi. Quvvat kritik quvvatdan katta bo‘lganda dasta qisiladi — yorug‘lik o‘z-o‘zidan fokuslanadi. Aniqlanishicha, E kuchlanganlik ortganda n sindirish ko‘rsatkichi ham ortadi, dasta egallagan muhit optikaviy zich bo‘lib qoladi. Bu esa nurlarning dasta o‘qiga tomon egilishiga, demak dastaning qisilishiga olib keladi. Dasta go‘yo ingichka kanal bo‘ylab tarqaladi va o‘ziga xos optik to‘lqin o‘tkazgich bo‘lib qoladi.
4. Ko‘p fotonli jarayonlar. Yorug‘lik yutilishining kvant nazariyasiga ko‘ra odatdagi manbadan nurlanayotgan yorug‘lik oqimi bilan modda o‘zaro ta’sirlashgandagi har bir elementar aktda bitta foton yutiladi va shuning uchun hamjarayon bir fotonli hisoblanadi. Modda yorug‘likning katta quwatli oqimi bilan nurlatilganda bitta elementar aktda bir necha foton yutilishi mumkin, ya’ni:
bunda: N — yutilgan foton soni, va Wn lar mos ravishda atomning normal va uyg‘ongan holati energiyalari.
Bu kod, foydalanuvchi tomonidan kiritilgan qiymatlarni qabul qilib, formulaga qo'yish va natijani chiqarish uchun dastur yaratadi:using System;
class Program
{
static void Main()
{
Console.WriteLine("Optika masalasini yechish uchun qiymatlarni kiriting.");
Console.Write("Yorug'lik uzunligi (lambda)ni kiriting: ");
double lambda = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());
Console.Write("Kiritilgan ichki tarqalgan zonaning oraliq masofasi (d)ni kiriting: ");
double d = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());
Console.Write("Nochizqlar orqali o'tib ketish burchagi (theta)ni kiriting gradusda: ");
double thetaDegrees = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());
// Gradusdan radianga o'tkazish
double thetaRadians = Math.PI * thetaDegrees / 180.0;
// Bragg nochizqlarining formulasi
double n = 2 * d * Math.Sin(thetaRadians) / lambda;
Console.WriteLine($"Natija: n = {n}");
}
}Ushbu kod foydalanuvchi tomonidan kiritilgan qiymatlarni qabul qilib, Bragg nochizqlarining formulasi bo'yicha hisoblashni amalga oshiradi va natijani chiqaradiю
Kod quyidagicha ishlaydi:using System;
class Program
{
static void Main()
Console.WriteLine("Optika masalasini yechish uchun qiymatlarni kiriting.");
// Siz kiritgan qiymatlar
double lambda = 3; // Yorug'lik uzunligi
double d = 6; // Ichki tarqalgan zonaning oraliq masofasi
double thetaDegrees = 12; // Nochizqlar orqali o'tib ketish burchagi
// Gradusdan radianga o'tkazish
double thetaRadians = Math.PI * thetaDegrees / 180.0;
// Bragg nochizqlarining formulasi
double n = 2 * d * Math.Sin(thetaRadians) / lambda;
// Natijani ekranga chiqarish
Console.WriteLine($"Natija: n = {n}");
}
}Ushbu kod dasturning maqsadiga muvofiq, siz kiritgan qiymatlarni o'z ichiga oladi va natijani ekranga chiqaradi. Sizning kiritgan qiymatlar uchun natijani olish uchun, yuqoridagi kodni C# muharririda yoki Visual Studio'da
yaratgan dasturizga qo'yib, keyin "Start" tugmasini bosing. Natija konsolga chiqadi.
XULOSA
Ushbu kurs ishimni tayyorlash jarayonida matematik modellashtirish fanining rivojlanish tarixi,umuman olganda matematik modellashtirish fanidan hayotimizning qaysi jabhalarida foydalanishimiz , ya’ni kundalik hayotimizda duch keladigan masalalarni yechish yuzalar, hajmlarni o`lchashda katta ahamiyatga ega ekanligi to`g`risida ko`plab malumotlarga ega bo`ldim. Matematik modellashtirish fani va modellashtirish tushunchasining hozirgi zamon fan va texnika rivojlanishi haqida dastlabki bilimlarni oldim. Harakatlarim natijasida esa Optimal boshqaruv masalalarining modellarni kiritdim. Va men bu bajargan ishlarim matematika faniga qiziquvchi har bir o`rganuvchiga ozgina bo`lsa ham yordam beradi degan fikrdaman.
Ayrim maxsus kurslarda keltiriladigan aniq, analitik usullar faqat xususiy ko’rinishdagi, sodda tenglamalarning yechimini topish imkonini beradi, xolos. Sonli usullar esa umumiyroq, ancha murakkab tenglamalarning yechimlarini topishga imkon beradi. Elektron hisoblash mashinalarining yaratilishi sonli usullar tatbiqiga keng istiqbol yaratdi. Ilgari analitik usullarda yechilmagan tenglamalarni kompyuterlarda sonli usullar bilan yechish imkoniyati yaratildi. Bu keyingi yillarda loyiha tashkilotlari tomonidan tuzilayotgan qurilish ob’ektlarining loyihalarida ham o’z aksini topmoqda.
Matematik modellarni tashkil qiluvchi algebraik, differensial, integral, integrodifferensial va boshqa tenglamalarni yechish usullari yetarli darajada takomillashmagan.
|
