|
I.BOB. MATEMATIK MODELLASHTIRISHNING IMKONIYATLARI
|
| bet | 2/6 | | Sana | 11.01.2024 | | Hajmi | 342,5 Kb. | | #134899 |
Bog'liq behzodbek madellashtirishI.BOB. MATEMATIK MODELLASHTIRISHNING IMKONIYATLARI.
1.1. Matematik modellashtirish va uni qurish bosqichlari
Matematik modellashtirish aniq fanlardagi turli amaliy masalalarni yechishda muvaffaqiyat bilan qo‘llanib kelinmoqda. Matematik modellashtirish uslubi masalani xarakterlaydigan u yoki bu kattalikni miqdor jixatdan ifodalash, so‘ngra bog‘liqdigini o‘rganish imkoniyatini beradi.
Uslub asosida matematik model tushunchasi yotadi. Matematik model deb o‘rganilayotgan ob`ektni matematik formula yoki algoritm ko‘rinishida ifodalangan xarakteristikalari orasidagi funksional bog‘lanishga aytiladi. Kompyuter ixtiro etilganidan so‘ng matematik modellashning ahamiyati keskin oshdi. Murakkab texnik, iqtisodiy va ijtimoiy tizimlarni yaratish, so‘ngra ularni kompyuterlar yordamida tatbiq etishning xaqiqiy imkoniyati paydo bo‘ldi. Endilikda ob`ekt, ya`ni haqiqiy tizim ustida emas, balki uni almashtiruvchi matematik model ustida tajriba o‘tkazila boshlandi.
Kosmik kemalarning harakat traektoriyasi, murakkab muhandislik inshootlarini yaratish, transport magistrallarini loyihalash, iqtisodni rivojlantirsh va boshqalar bilan bog‘liq bo‘lgan ulkan hisoblashlarning kompyuterda bajarilishi matematik modellash uslubining samaradorligini tasdiqlaydi. Odatda, matematik model ustida hisoblash tajribasini o‘tkazish haqiqiy ob`ektni tajribada tadqiq etish mumkin bo‘lmagan yoki iqtisodiy jixatdan maqsadga muvofiq bo‘lmagan hollardao‘tkaziladi. Bunday hisoblash tajribasining natijalari haqiqiy ob`ekt ustida olib boriladigan tajribaga qaraganda juda aniq emasligini ham hisobga olish kerak. Lekin shunday misollarni keltirish mumkinki, kompyuterda o‘tkazilgan hisoblash tajribasi o‘rganilayotgan jarayon yoki hodisa haqidagi ishonchli axborotning yagona manbai bo‘lib xizmat qiladi.
Masalan, faqat matematik modellashtirish va kompyuterda hisoblash tajribasini o‘tkazish yo‘li bilan yadroviy urushning iqlimga ta`siri oqibatlarini oldindan aytib berish mumkin. Kompyuter yadro qurolli urushda mutlaq g‘olib bo‘lmasligini ko‘rsatadi. Kompyuterli tajriba yer yuzida bunday urush oqibatida ekologik o‘zgarishlar, ya`ni haroratning keskin o‘zgarishi, atmosferaning chang-lanishi, qutblardagi muzliklarning erishi ro‘y berishi, xatto yer o‘z o‘qidan chiqib ketishi mumkinligini ko‘rsatadi.
Axborotli va matematik modellashtirish.
Matematik modellashda berilgan fizik jarayonlarning matematik ifodalari modellashtiriladi. Matematik model tashqi dunyoning matematik belgilar bilan ifodalangan qandaydir hodisalari sinfining taqribiy tavsifidir. Matematik model tashqi dunyoni bilish, shuningdek, oldindan aytib berish va boshqarishning kuchli uslubi hisoblanadi.
Matematik model tuzish uchun, dastlab masala rasmiylashtiriladi. Masala mazmuniga mos holda zarur belgilar kiritiladi. So‘ngra kattaliklar orasida formula yoki algoritm ko‘rinishida yozilgan funksional bog‘lanish hosil qilinadi.
Aytib o‘tilganlarni aniq misolda ko‘rib chiqamiz.
O‘ylagan sonni topish masalasi (matematik fokus). Talabalarga ixtiyoriy sonni o‘ylash va u bilan quyidagi amallarni bajarish talab etiladi:
1. O‘ylangan son beshga ko‘paytirilsin.
2. Ko‘paytmaga bugungi sanaga mos son (yoki ixtiyoriy boshqa son) qo‘shilsin.
3. Hosil bo‘lgan yig‘indi ikkilantirilsin.
4. Natijaga joriy yil soni qo‘shilsin.
Olib boruvchi biroz vaqtdan so‘ng talaba o‘ylagan sonni topishi mumkinligini ta`kidlaydi.
Ravshanki, talaba o‘ylagan son matematik fokusga mos model yordamida aniqlanadi.
Masalani rasmiylashtiramiz: X - o‘quvchi o‘ylagan son, U - hisoblash natijasi,
N- sana, M - joriy yil.
Demak, olib boruvchining ko‘rsatmalari:
U=(X*5 + N)*2 + M formula orqali ifodalanadi.
Ushbu formula masalaning (matematik fokusning) matematik modeli bo‘lib xizmat qiladi va X o‘zgaruvchiga nisbatan chiziqli tenglamani ifodalaydi.
Tenglamani yechamiz: X = (U - (M + 2N))/10
Ushbu formula o‘ylangan sonni topish algoritmini ko‘rsatadi.
Axborotli va matematik modellarni qurish bosqichlari.
Matematik modelni tahlil qilish o‘rganilayotgan hodisaning mohiyatiga singish imkoniyatini beradi. Hodisalarni matematik model yordamida o‘rganish to‘rt bosqichda amalga oshiriladi:
Birinchi bosqich - modelning asosiy ob`ektlarini bog‘lovchi qonunlarni ifodalash.
Ikkinchi bosqich - modeldagi matematik masalalarni tekshirish.
Uchinchi bosqich - modelning qabul qilingan amaliyot mezonlarini qanoatlantirishini aniqlash. Boshqacha aytganda, modeldan olingan nazariy natijalar bilan olingan ob`ektni kuzatish natijalari mos kelishi masalasini aniqdash.
To‘rtinchi bosqich - o‘rganilayotgan hodisa haqidagi ma`lumotlarni jamlash orqali modelning navbatdagi tahlilini o‘tkazish va uni rivojlantirish, aniqlashtirish. Shunday qilib, modellashtirishning asosiy mazmunini ob`ektni dastlabki o‘rganish asosida modelni tajriba orqali va (yoki) nazariy tahlil qilish, natijalarni ob`ekt haqidagi ma`lumotlar bilan taqqoslash, modelni tuzatish (takomillashtirish) va shu kabilar tashkil etadi.
Modellash - murakkab ob’ektlar hodisalar yoki jarayonlarni, ularning modellarida yoki xaqiqiy qurilmalarda tajriba o‘tkazish va ishlashiga o‘xshash modellarini qo‘llab tadqiq qilish usuli.
Model, keng ma’noda olganda biror ob’ekt, jarayon yoki hodisaning xayoliy va shartli har qanday timsoli: ta’sir, bayon, sxema, grafik, reja va boshqalar.
Model turlari: fizik model, matematik model, geometrik model.
Modellar maqsadi bo‘yicha quyidagilarcha bo‘linadi:
- kanonik model; ichki struktura modeli; ierarxik struktura modeli.
Modellar ishlash faoliyati bo‘yicha quyidagilarga bo‘linadi: Sistemaning xayotiy stiklini modeli; jarayonlar modeli; axborotlar modeli; prostedura modellari, vaqtga bog‘liq modellar, bahoga bog‘liq modellar. Masalaning qo‘yilishi va sohasiga qarab modellar quyidagilarga bo‘linadi: Balans modellar, tartiblangan modellar, statik modellar, dinamik modellar, statistik modellar, bashorat qiluvchi modellar.
Matematik modellashtirish - matematik modellar yordamida ob’ektlar, jarayonlar, xodisalarning miqdoriy va sifat jihatlarini rasmiylashtiruvchi, tavsiflovchi usuldir. Ob’ekt, jarayon hodisalardagi holatlarning o‘zgarishi, bog‘likligi va boshqa jihatlari matematik belgilar, terminlar yordamida matematik usullar vositasida o‘rganiladi.
Ob’ektni, jarayonni matematik tavsiflash darajasi bo‘yicha ikkita holat bo‘lishi mumkin:
a) modellashtirilayotgan jarayonning asosiy elementlari, jixatlari matematik apparat yordamida to‘liq tavsiflangan, ilmiy-amaliy jihatdan to‘liq o‘rganilgan. Bunday holat juda kam uchraydi.
Ob’ektning, jarayonning to‘liq matematik modelini qurish bosqichlari.
Matematik modellashtirish jarayonining asosiy bosqichlari
1-bosqich: Ob’ektni o‘rganish
2-bosqich: Matematik model qurish
3-bosqich: Modelni echish usulini tanlash yoki ishlab chiqish
4-bosqich: Tanlangan yoki ishlab chiqilgan echish usuli algoritmi asosida dastur tuzish
5-bosqich: Natijalar olish hamda ularni tahlil qilib,xulosalar qilish.
Modellashtirishning asosiy usullari:
1. Analitik usullar.
2. Sonli usullar.
3. Statistik usullar.
4. Sonli-analitik usullar.
5. Analitik-statistik usullar.
Analitik usullar. Analitik model – ob’ekt xossa va xususiyatlarini matematik apparatlar yordamida ifodalanishi.
Sonli usullar. Sonli model – boshlang‘ich shartlar asosida ob’ekt xossa va xususiyatlarini grafik yoki jadval ko‘rinishda ifodalash. Statistik usullar. Statistik model –ob’ekt xossa va xususiyatlarini statistika ma’lumotlari yordamida ifodalash.
Modellashtirishdagi xatoliklarni qanday guruhlarga ajratish mumkin?
1- guruh xatolar yechilayotgan masalaning modelini qurish bilan bog‘liq xatolar. Bu xatolar matematik model xatosi deb ataladi.
2- guruh xatolar masalaning yechish uchun beriladigan boshlang‘ich qiymatlarida uchraydigan xatolardir. Bu xatolar qutilib bo‘lmaydigan xatolar deb ataladi.
3- guruh xatolar masalanin yechish usulidagi xatolardir. Bu xatolar yechish usulining xatosi deb ataladi.
4- guruh xatolar hisoblashlarni bevosita ShK yordamida bajarishda paydo bo‘ladigan xatolardir. Bu xatolar hisoblash xatolari deb ataladi.
Yo‘l qo‘yilgan xatolarni qanday baholash mumkin?
Agar biror masalaning aniq yechimi x va modellashtirish natijasida olingan taqribiy yechimi x0 bo‘lsa, u holda Δx=|x-x0 | miqdorga modellashtirishda yo‘l qo‘yilgan аbsolyut xato deb ataladi. Мatematik modellashtirishdagi xatolarni baholash uchun аbsolyut va nisbiy xato tushunchalari kiritiladi.
Model qurish va uni yechish jarayonidagi xatoliklarni ayrim imkoniyatlardan foydalanish hisobiga kamaytirish mumkin bo‘ladi. Ba’zi hollarda ShK razryadiga bog‘liq xatolardan qutilish uchun quyidagi takliflarni e’tiborga olish maqsadga muvofiq bo‘ladi:
Qiymati hisoblanadigan ifodalarni imkoni boricha soddalashtirish va unda bajariladigan аmallar sonini eng kam miqdorga keltirish;
Agar bir qator sonlar ustida qo‘shish-ayirish amallarini bajarish lozim bo‘lsa. dastlab kichik sonlar ustida amallarni bajarish;
Oraliq hisoblashlarda qiymatlari deyarli teng bo‘lgan miqdorlar ustida ayirish amalini bajarmaslik.
Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi(CHATS)ni yechish, modellashtirishda ko‘p uchraydigan masalalardan biridir. CHATS qandaydir fizik jarayonning matematik modeli deb qarash mumkin. Berilgan ma’lumotlar asosida ko‘phadlar yoki maхsus egri chiziqlar qurish, differensial va integral tenglamalarni diskret algebraik sistema ko‘rinishda ifodalash CHATS ni echishga keltiriladi. CHATSni echish usullari.
CHATSni echishda aniq (Gauss, Kramer, teskari matritsa, Jardon) va taqribiy (ketma-ket yaqinlashish, oddiy iteratsiya, Zeydel) usullaridan foydalanish mumkin.
|
| |
