Mavzu : Vektorlar va ular ustida amallar. Vektorlarning skalyar ko’paytmasi
Mavzu :
Vektorlar va ular ustida amallar. Vektorlarning
skalyar ko’paytmasi
Sonli qiymatlari bilan to’liq aniqlanadigan kattaliklar skalyar kattaliklar
deb ataladi.
Ham sonli qiymati, ham yo’nalishi bilan aniqlanadigan kattaliklar
vektor kattaliklar deyiladi.
Skalyar kattaliklar a, b, c,… kabi harflar bilan, vektor kattaliklar , ,
,… yoki bu harflarni qalin bo’yalganlari a, b, c,… bilan belgilanadi.
Geometrik nuqtayi nazardan vektorlar yo’naltirilgan kesmalar singari
qaraladi. Boshi A nuqtada va oxiri B nuqtada bo’lgan yo’naltirilgan kesma
bilan aniqlanadigan vektor kabi belgilanadi. Bunda A nuqta vektorning
boshi, B nuqta esa vektorning uchi (oxiri) deyiladi. Bu yerda AB kesmaning
uzunligi vektorning modulini ifodalaydi, ya’ni = .
Har qanday a vektorning sonli qiymati uning moduli yoki uzunligi
deyiladi va kabi belgilanadi.
Boshi va uchi bitta nuqtadan iborat bo’lgan vektor nol vektor deyiladi.
Uning moduli =0 boladi.
Bir to’g’ri chiziqda yoki parallel to’g’ri chiziqlarda joylashgan
vektorlar kollinear vektorlar deyiladi.
Nol vektor har qanday vektorga kollinear deb hisoblanadi.
Quyidagi uchta shartlar bajarilganda va b larni teng vektorlar
deyiladi:
Vektorli qo'shimchalarning identifikatorlaria+0=aVektorli qo'shimchalarning teskari egaligia+ -a=a-a=0Vektorli qo'shimchalarning aks etadigan xususiyatia=aVektorli qo'shimchalarning o'zgaruvchi mulkia+b=b+aVektorli qo'shilishning birlashtiruvchi mulki(a+b) +c=a+ (b+c)Vektorli qo'shimchalarning o'tish davriAgara=bvac=b bo'lsa, undaa=c
Vektorda bajarilishi mumkin bo'lgan eng oddiy op eratsiya uni skaler bilan
ko'paytirishdir. Ushbu skaler multiplikatsiya vektorning kattaligini o'zgartiradi. Boshqacha aytganda, u vektorni uzoqroq yoki qisqartiradi.
1. a || b , ya’ni bu vektorlar kollinear;
2. = , ya’ni bu vektorlar bir xil uzunlikka ega;
3. va b vektorlar bir xil yo’nalishga ega.
vektor OX o’q bilan burchak tashkil etsin (1-chizma). U holda
vektorning bu o’qdagi proyeksiyasi shu
vektor uzunligini burchakning kosinusiga
ko’paytmasiga teng bo’ladi. Ya’ni
prx= = ^OX)
Bir necha vektor yig’indisining o’qdagi
proyeksiyasi qo’shiluvchi vektorlar,
siyalarining yig’indisiga teng:
Bitta yoki parallel tekisliklarda joylashgan uch va undan ortiq vektorlar
komplanar vektorlar deyiladi.
vektorni songa ko’paytmasi deb quyidagi uchta shart bilan aniqla-
nadigan yangi bir vektorga aytiladi:
1. = , ya’ni vektorning uzunligi marta o’zgaradi.
2. || , ya’ni bu vektorlar kollinear;
3. > 0 bo’lsa, va vektorlar bir xil yo’nalgan, bo’lsa, va
vektorlar qarama-qarshi yo’nalgan.
Vektorlarning songa ko’paytmasi quyidagi xossalarga ega:
1) ; 2) ( =λ . 3) 0 = .
) vektor vektorga qarama-qarshi vektor deyiladi va kabi
belgilanadi.
va vektorlarning yig’indisi deb ABCD parallelogrammning A
uchidan chiquvchi diagonalidan hosil qilingan vektorga aytiladi va +
kabi belgilanadi (parallelogramm qoidasi) (2-chizma).
2-chizma
Bu yig’indini uchburchak qoidasi deb ataladigan quyidagi usulda ham
topish mumkin. Bunda dastlab parallel ko’chirish orqali vektorning boshi
vektorning uchi ustiga keltiriladi (3-chizma). So’ngra ning boshidan
chiqib ning uchida tugaydigan vektor hosil qilinadi va u + yig’indini
ifodalaydi.
Bir nechta , , ,…, (n 3) vektorlarning yig’indisi
parallelogramm qoidasini bir necha marta ketma-ket qo’llash bilan topiladi.
Vektorlarni qo’shish amali quyidagi xossalarga ega:
. va vektorlarning ayirmasi deb va - vektorlarning yig’indisiga
aytiladi va u kabi belgilanadi.
va vektorlarning ayirmasini ular asosida qurilgan ABCD
parallelogrammning kichik BD diagonali sifatida ham qarash mumkin (4-
chizma).
4-chizma
Tekislikda XOY to’g’ri burchakli Dekart koordinatalar sistemasini
olamiz. Bu tekislikda berilgan har qanday vektorni sonlar juftligi orqali
ifodalash mumkin. Buning uchun mos ravishda OX va OY koordinata
o’qlarida joylashgan musbat yo’nalishga ega hamda uzunliklari birga teng
bo’lgan i va j vektorlarni kiritamiz (5-chizma).
Kiritilgan vektorlar birlik vektorlar yoki ortlar deyiladi. ax va ay
lar vektorning koordinata o’qlaridagi proyeksiyalari bo’lib, vektorni
ular orqali =ax+ay=x +y ko’rinishda yozish mumkin.
=x +y ga vektorning birlik ortlar bo’yicha yoyilmasi, x va y sonlari
esa uning koordinatalari deyiladi.
Tekislikda boshi A(x1;y1) va oxiri B(x2;y2) nuqtada bo’lgan
vektorning koordinatalari {x2-x1;y2-y1} bo’lib, u AB{x2-x1;y2-y1} kabi
yoziladi.
Fazoda to’g’ri burchakli Dekart koordinatalar sistemasida
berilgan vektorning koordinatalarini aniqlash uchun kiritilgan i va j
ortlarga qo’shimcha o’qida uzunligi birga teng bo’lgan vektorni
olamiz. U holda vektorni
=x +y +z
ko’rinishda yozish mumkin. Bu yerda x, y, z sonlar uchligi fazodagi
vektorning koordinatalari bo’lib uni {x;y;z} kabi yoziladi.
Fazoda boshi A(x1;y1;z1) va oxiri B(x2;y2;z2) nuqtada bo’lgan vektor
{ x2 - x1; y2-y1;z2-z1} ko’rinishda yoziladi.
{x1; y1; z1} va {x2; y2; z3} vektorlar teng bo’lishi uchun x1=x2, y1=y2
va z1=z2 bo’lishi zarur va yetarlidir. Koordinatalari bilan berilgan
vektorlarning yig’indisi, ayirmasi va songa ko’paytmasi quyidagicha
aniqlanadi.
{x1;y1;z1 } {x 2;y2;z3}= {x1 x2;y1 y2;z1 z2}, {λx1;λy1;λz1}.
Fazodagi XOYZ to’g’ri burchakli Dekart koordinatalar sistemasida
boshi O(0;0;0) nuqtada va oxiri M(x;y;z)
nuqtada bo’lgan vektorni qaraymiz.
Odatda uni M nuqtaning r= radius
vektori deyiladi (6-chizma).
Uning uzunligi
formula bilan aniqlanadi va , , lar orqali
kabi yoziladi.
Boshi A(x1; y1; z1) va oxiri B(x2; y2; z2) nuqtada bo’lgan U=
vektorning koordinata o’qlaridagi proyeksiyalari mos ravishda
bo’ladi. Uning uzunligi esa
ga teng bo’ladi. Bu holda ham U= X +Y +Z deb yozish
mumkin.
Agar U= vektor koordinata o’qlari bilan , burchaklar hosil
qilsa, u holda
cos = , cos = , cos =
bo’ladi va ular uchun
+ =1
o’rinli bo’ladi. Bu yerdagi cos , cos va cos larni vektorning
yo’naltiruvchi kosinuslari deyiladi.
Ikkita va vektorlarning skalyar ko’paytmasi deb ularning modullari
bilan ular orasidagi burchak kosinusining ko’paytmasiga aytiladi.
va larning skalyar ko’paytmasi yoki (a,b) kabi belgilanadi.
Demak, ta’rifga asosan,
Skalyar ko’paytma quyidagi xossalarga ega:
Ta`rif. Skalyar maydоnnning sath sirti deb fazоning shunday nuqtalar
to’plamiga aytiladiki, unda maydоn funksiyasi u u(x, y,z) o’zgarmas qiymatga
ega bo’ladi. Bоshqacha aytganda u u(x, y,z) maydоn funktsiyasi o’zgarmas qiymatga ega
bo’ladigan fazоning shunday nuqtalar to’plamiga skalyar maydоnnning sath sirti deb
ataladi. Sath sirti deb ataluvchi bu sirt nuqtalarida u o’zgarmas qiymatni saqlaydi.
nday sirtlar to’plami qaralayotgan sоhani to’ldiradi, ayni paytda sоhaning har bir
nuqtasidan bitta va faqat bitta sath sirti o’tadi. Ravshanki, bunday sirtlar o’zarо
kesishmaydi.
Ta`rif. Yassi skalyar maydоnning sath chizig’i deb tekislikning shunday
nuqtalar to’plamiga aytiladiki, unda u u(x, y) maydоn funktsiyasi o’zgarmas
qiymatga ega bo’ladi.
Agar, masalan, maydоn 2 2 2
u x y z funktsiya bilan ifоdalangan bo’lsa, u hоlda
markazi kооrdinata bоshida bo’lgan , ( 0)2 2 2
x y z C sfera sath sirti. vazifasini bajaradi.
http://fayllar.org
|
