m isol halqalar izomorf emasligini ko‘rsating. Yechish

m unosabatdan tenglikka ega bo‘lamiz.
Demak, Bu esa ziddiyat.

Endi gruppalar nazariyasida bo‘lgani kabi tabiiy gomomorfizm tushunchasi va izomorfizm haqidagi teoremalarni keltiramiz. Teoremalarning isbotlari gruppalar uchun berilgan teoremalar isboti kabi bo‘lganligi uchun biz ularning isbotlariga batafsil to‘xtalib o‘tirmaymiz.

Bizga R halqa va uning I ideali berilgan bo‘lsin. U holda quyidagi g : R → R/I
akslantirishni qaraymiz
g(a) = a + I, ∀a ∈ R.
Ushbu akslantirish gomomorfizm bo‘lib, u tabiiy gomomorfizm deb ataladi. Tabiiy gomomorfizm syurektiv bo‘lib, Kerg = I munosabat o‘rinli.
teorema. Bizga R halqani R^′ halqaga o‘tkazuvchi f : R → R^′ epimorfizm berilgan bo‘lsin. Agar R halqaning I ideali uchun I ⊆ Kerf munosabat o‘rinli bo‘lsa, u holda g : R → R/I syurektiv tabiiy gomomorfizm uchun f = h ◦ g shartni qanoatlantiruvchi yagona h : R/I → R^′ epimorfizm mavjud. Shuningdek, h inyektiv bo‘lishi uchun I = Kerf tenglik o‘rinli bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Teoremani isbotlash uchun h : R/I → R^′ akslantirishni h(a+I) = f (a) kabi aniqlaymiz. Ushbu akslantirish to‘g‘ri aniqlangan bo‘lib, f = h ◦ g tenglik o‘rinli bo‘ladi. Uning gomomorfizm ekanligi esa quyidagi tenglikdan kelib chiqadi


h (a + I) · (b + I) = h(a · b + I) = f (a · b) = f (a) · f (b) = h(a + I) · h(b+ I).


Endi bevosita izomorfizm haqidagi teoremalarni keltiramiz.

Download 180,42 Kb.