Muhammad Al-Xorazmiy nomida Toshkent Axborot texnologiyalari universiteti Mustaqil ish Mavzu: Halqali gomomorfizmlari va izomorfizmlari Bajardi

teorema (izomorfizm haqidagi birinchi teorema). Agar f akslantirish
^{R halqani R′ halqaga o‘tkazuvchi gomomorfizm bo‘lsa, u holda R/Kerf ∼}= ^{f (R)}
bo‘ladi.
teorema (izomorfizm haqidagi ikkinchi teorema). R halqaning I va
^{J ideallari uchun I/(I ∩ J) ∼}= ^{(I + J)/J munosabat o‘rinli.}
teorema (izomorfizm haqidagi uchinchi teorema). R halqaning I va
J ideallari uchun I ⊆ J bo‘lsa, u holda
^{(R/I)/(J/I) ∼}= ^R/J.
Quyidagi teoremada esa gruppalar nazariyasidagi kabi halqalar uchun moslik teoremasini keltiramiz.

⊆
teorema (moslik teoremasi). Aytaylik, R halqani R^′ halqaga akslanti- ruvchi f epimorphizm berilgan bo‘lsin. U holda R halqaning Kerf I shartni qanoatlantiruvchi ideallari to‘plami bilan R^′ halqaning ideallari to‘plami orasida o‘zaro bir qiymatli moslik mavjud.

Endi ixtiyoriy halqani biri bor halqaga kengaytirish mumkinligini, ya’ni ixtiy- oriy halqa uchun shunday biri bor halqa topilib, bu halqalar orasida monomorfizm mavjudligini ko‘rsatamiz.
Bizga R halqa berilgan bo‘lsin. R^′ = R × Z to‘plamda
(x, a) + (y, b) = (x + y, a + b), (x, a) · (y, b) = (xy + ay + bx, ab)
amallarni qarasak, R^′ to‘plam ushbu amallarga nisbatan halqa tashkil qiladi. Ushbu halqa biri bor halqa bo‘lib, (0, 1) element uning birlik elementi bo‘ladi. Bundan tashqari, f (x) = (x, 0) kabi aniqlangan f : R → R × Z akslantirish monomorfizm bo‘ladi.
tasdiq. Agar R halqadan birlik elementli S halqaga ϕ gomomorfizm berilgan bo‘lsa, u holda ϕ = ψ ◦ f shartni qanoatlantiruvchi ψ : R × Z → S gomomorfizm mavjud, bu yerda f : R → R × Z bo‘lib, f (x) = (x, 0).
Isbot. ψ : R × Z → S akslantirishni ψ(x, a) = ϕ(x) + a1_S kabi aniqlaymiz, bu yerda 1_S element S halqaning birlik elementi. U holda ixtiyoriy x ∈ R uchun
(ψ ◦ f )(x) = ψ(f (x)) = ψ(x, 0) = ϕ(x)

tenglik o‘rinli, ya’ni ϕ = ψ ◦ f. Bundan tashqari ushbu akslantirish gomomorfizm bo‘ladi, chunki



ψ (x, a) + (y, b) = ψ(x + y, a + b) = ϕ(x + y) + (a + b)1_S =
= ϕ(x) + ϕ(y) + a1_S + b1_S = ψ(x, a) + ψ(y, b),
ψ (x, a) · (y, b) = ψ(xy + ay + bx, ab) = ϕ(xy + ay + bx) + (ab)1_S =
ϕ(x)ϕ(y) + aϕ(y) + bϕ(x) + ab1_S = (ϕ(x) + a1_S) · (ϕ(y) + b1_S) = ψ(x, a) · ψ(y,b).
misol. Xarakteristikasi nolga teng birlik elementli ixtiyoriy halqaning Z bu- tun sonlar halqasiga izomorf qism halqasi mavjud ekanligini isbotlang.
Yechich. Aytaylik, R xarakteristikasi noldan farqli birlik elementli halqa bo‘lsin. T = {n1 | n ∈ Z} to‘plamni qarasak, ushbu to‘plam R halqaning qism halqasi bo‘ladi. Chunki, a, b ∈ T elementlar uchun a = n1 va b = m1 bo‘lib,
a − b = n1 − m1 = (n − m)1, ab = (n1)(m1) = (nm)1.
Ya’ni a − b, ab ∈ T. Endi Z butun sonlar halqasidan T to‘plamga f (n) = n1 kabi aniqlangan f : Z → T akslantirishni qaraymiz. Bu akslantirish gomomorfiz bo‘lib, u syurektivdir. Bundan tashqari R halqaning xarakteristikasi nolga teng ekanligini hisobga olsak,
f (n) = f (m) ⇒ n1 = m1 ⇒ (n − m)1 = 0 ⇒ n = m
munosabatlardan bu gomomorfizmning inyektivligi kelib chiqadi.
b² = m²a² = m²na = ma = b
munosabatga ega bo‘lamiz. Ya’ni R halqada b² = b shartni qanoatlantiruvchi noldan farqli element mavjud. U holda f (n) = nb kabi aniqlangan f : Z_p → R akslantirish (Z_p, +_p, Ⓢ₂) halqadan (R, +, ·) halqaga bo‘lgan izomorfizm bo‘ladi. Chunki,
f (n + m) = (n + m)b = nb + mb = f (n) + f (m),
f (n Ⓢ₂ m) = f (nm) = (nm)b = (nm)b² = (nb) · (mb) = f (m) · f (n).

: