To’plam-nazariy realizm va plyuralizm:
Kantorning asosiy natijasi shundan iboratki, barcha cheksizliklar teng yaratilmaydi; cheksizlikning turli darajalari yoki o'lchamlari mavjud. Eng mashhur taqqoslash natural sonlar to'plami (ℕ bilan belgilanadi) va 0 dan 1 gacha bo'lgan haqiqiy sonlar to'plami ([0, 1] bilan belgilanadi).
Kantor teoremasida aytilishicha, [0, 1] oraliqdagi haqiqiy sonlar toʻplamining kardinalligi, koʻpincha c (“uzluksizlik” uchun) sifatida belgilanadi, natural sonlar toʻplamining (ℵ₀, aleph-null) kardinalligidan qatʼiy kattaroqdir. ). Boshqacha qilib aytganda, [0, 1] oraliqda natural sonlarga qaraganda ko'proq haqiqiy sonlar mavjud.
Kantor teoremasining isboti qarama-qarshilikdir va diagonalizatsiya deb ataladigan usuldan foydalanadi. Asosiy g‘oya shundan iboratki, [0, 1] dagi natural sonlar va haqiqiy sonlar o‘rtasida yakkama-yakka moslik (bijeksiya) bor, deb faraz qilish va keyin bu muvofiqlikda bo‘lmagan haqiqiy sonni qurish, natijada shunday bo‘ladi. qarama-qarshilik.
Bu natija cheksiz kardinallik ierarxiyasining ochilishiga olib keldi. Kantor cheksiz to'plamlarning cheksiz ko'p turli kardinalliklari mavjudligini ko'rsatdi va u bu kardinalliklarni alef raqamlari (ℵ₀, ℵ₁, ℵ₂, ...) yordamida belgilash uchun yozuv kiritdi. Kantor shakllantirgan kontinuum gipotezasi ℵ₀ va c o'rtasida qat'iy ravishda kardinallik yo'qligini ta'kidlaydi, ammo keyinchalik bu gipoteza to'plam nazariyasining standart aksiomalaridan mustaqil ekanligi ko'rsatildi.
Cheksiz to'plamlarning kuchini taqqoslash muammolari turli kardinalliklar o'rtasidagi munosabatlarni o'rganish va cheksiz tabiatni tushunishni o'z ichiga oladi. Ushbu tadqiqot sohasi nafaqat matematikada, balki falsafada va matematikaning asoslarida ham chuqur ta'sir ko'rsatdi. Kantorning ishi zamonaviy to'plamlar nazariyasiga asos solgan va matematika va mantiqning ko'plab sohalariga ta'sir qilgan.
Albatta! Keling, cheksiz to'plamlar, kardinalliklar va ba'zi tegishli mavzular tushunchasiga biroz chuqurroq kirib boraylik.
|
