⊢F→B
Formulaga ega bulamiz , yani (4) isbotlanuvchi formuladir.
3.Xar kanday A uchun
⊢A^A→F (8)
formula isbotlanuvchi ekanligini kursatamiz.
Xakikatdan xam, I1 va IV1 aksiomalarga asosan kuyidagilar isbotlanuvchi formulalar buladi:
⊢A→(R→A), (9)
⊢(R→A)→(A→F). (10)
(9) va (10) dan sillogizm koidasiga binoan
⊢A→(A→F)
F ormulani keltirib chikamiz. Bu formuladan asoslarni birlashtirish koidasini kullash natijasida ⊢A^A→F formulaga kelamiz, yani (8) ga ega bulamiz.
(4) va (8) dan sillogizm koidasiga asosan
⊢A^A→B (11)
f ormulani xosil qilamiz. Ammo teoremaning shartiga kura ⊢A va ⊢A, u xolda ⊢A^A. Demak, B isbotlanuvchi formula buladi.
3-teorema. Muloxazalar xisobida ziddiyatliksiz nazariyadir.
Isbot. Muloxazalar xisobida A va A bir vaktning uzida isbotlanuvchi buladigan hech qanday A formula mavjud emasligini kursatamiz.
A muloxazalar xisobining ixtiyoriy formulasi bulsin.
Demak, A va A bir vaktda isbotlanuvchi formulalar bula olmaydi. Shuning uchun xam muloxazalar xisobi ziddiyatga ega emas.
Muloxazalar xisobining tuliklik muammosi.
2-tarif. Muloxazalar xisobining aksiomalar sistemasiga shu xisobning biror ixtiyoriy isbotlanmaydigan formulasini yangi aksioma sifatida kushishdan xosil buladigan aksiomalar sistemasi ziddiyatga ega bulgan muloxazalar xisobiga olib kelsa, bunday muloxazalar xisobi tor manodagi tulik aksiomatik nazariya deb ataladi.
3-tarif. Xar qanday aynan chin formulasi isbotlanuvchi formula buladigan muloxazalar xisobi keng manodagi tulik aksiomatik nazariya deb ataladi.
Demak, muloxazalar xisobining tuliklilik muammosi ikkita masalani xal qilish kerak:
1.Yangi aksioma sifatida biror isbotlanmaydigan formulasini aksiomalar sistemasiga kushish natijasida muloxazalar xisobini kengaytirish mumkinmi yoki yukmi?
2.Muloxazalar algebrasining xar qanday aynan chin formulasi muloxazalar xisobida isbotlanuvchi buladimi yoki yukmi?
Bu masalalarning yechimi kuyidagi
teoremalarning mazmnidan iborat.
4-teorema. Muloxazalar xisobi tor manoda tulikdir.
Isbot: A muloxazalar xisobidagi ixtiyoriy isbotlanmaydigan formula x1,x2,………xn esa A formula tarkibiga kiruvchi uzgaruvchilar bulsa, A isbotlanmaydigan formula ekanligidan u aynan chin formula emas. Demak, x1,x2,……..xn uzgaruvchilarning shunday a1,a2,……an
Kiymatlar satri mavjudki,
Rα1 α2.....αn(A(X1,X2,Xn))=0 (12)
Buladi.
B1,B2,…Bn lar X1,X2,……Xn uzgaruvchilarga ixtiyoriy aynan chin formulalar bulsin. Bα1,Bαn,…..Bαn majmuani (naborni) karaymiz. Bu yerda
B1 agar α1 = 1bulsa,
Bαii=
B1, agar α1 = 0 bulsa
A formulada B1α1,B2α2,……Bnαn urniga kuyishni bajarib, ushbu formulaga ega bulamiz:
A(B1α1,B2α2,….Bnαn). (13)
(12) formulaning aynan yolgon formula ekanligini kursatamiz. X1,X2,….Xn uzgaruvchilarning ixtiyoriy kiymatlar satrini olamiz. B1,B2,….Bn formulalar aynan chin formulalar ekanligini RÓ1Ó2…..Ón(B1)=1 buladi. U xolda RÓ1Ó2…..Ón(Bα11)=α1 urinli. Demak RÓ1Ó2…..ÓnA(B α11, B α22,…. B αnn)=A(α1 ,α2,….αn)=0.
Ikkinchi Tomondan agar muloxazalar xisobining aksiomalar katoriga A(X1,X2,….,Xn) formulani yangi aksioma sifatida kushib kuysak, u xolda yangi xosil bulgan muloxazalar xisobida bu formula aksioma bulganligi uchun isbotlanuvchi formula buladi. Shu vaqtning uzida yangi muloxazalar xisobida A(B1α1,B2α2,….,Bnαn) formula xam isbotlanuvchi formula buladi,chunki u isbotlanuvchi formuladan urniga kuyish koidasi orkali xosil qilingan.
5-teorema. Muloxazalar xisobi keng
|
