Mustaqil ish mavzu: To‘plamlarda guruhlashlar, ular sonini aniqlash Guruh: 730-21 Bajardi: Xolmmurzaev Xojiaxmadbek Toshkent 2023 Reja
O’zbekiston Respublikasi Axborot Texnologiyalari va Кommunikatsiyalarini Rivojlantirish Vazirligi Muhammad Al-Xorazmiy nomidagi Toshkent Axborot Texnologiyalari Universiteti.
MUSTAQIL ISH
Mavzu: To‘plamlarda guruhlashlar, ular sonini aniqlash
Guruh: 730-21
Bajardi: Xolmmurzaev Xojiaxmadbek
Toshkent 2023
Reja:
Takrorlanmaydigan o‘rinlashtirishlar.
Takrorlanuvchi guruhlashlar.
To‘plamlarda guruhlashlar.
Xulosa
Foydalanilgan adabiyotlar
Avvalo barcha mumkin bo`lgan joylashtirishlarni topib olamiz. Bu masalani yechish uchun ko`paytma qoidasidan foydalanamiz ta elementi bo`lgan to‘plamda birinchi elementni tanlash uchun ta imkoniyat bor, ikkinchi elementni tanlash uchun esa ta imkoniyat qoladi. Joylashtirish takrorlanmaydigan bo`lgani uchun tanlab olingan element keyingi tanlanmalarda ishtirok etmaydi. Shuning uchun - elementni tanlash uchun imkoniyat qoladi. U holda barcha takrorlanmaydigan joylashtirishlar soni:
ga teng bo`ladi.
Bizga tartiblanmagan takrorlanmaydigan ta elementi bo`lgan to‘plam berilgan bo`lsin. bilan ni taqqoslaymiz. Bilamizki, ta elementni ta usulda tartiblash mumkin, ya` ni
bo`ladi. Bundan
kelib chiqadi
Ta`rif 1.
n elementli An to`plamdan k elementli qism to`plam ajratib olish
(nk, )tanlanma deyiladi, bunda k - tanlanma hajmi deyiladi.
Ajratilgan qism to‘plamning har bir elementi bilan 1 dan n gacha bo`lgan sonlar o`rtasida bir qiymatli moslik o`rnatilgan bo‘lsa, to‘plam tartiblangan tanlanma, aksincha tartiblanmagan deyiladi.
Agar to‘plam elementlaridan biror bir ro‘yxat tuzib, keyin har bir elementga ro‘yxatda turgan joy raqami mos qo‘yilsa, har qanday chekli to‘plamni tartiblash mumkin. Bundan ko`rinadiki, bittadan ortiq elementi bo`lgan to‘plamni bir nechta usul bilan tartiblash mumkin. Agar tartiblangan to`plamlar elementlari bilan farq qilsa, yoki ularning tartibi bilan farq qilsa, ular turlicha deb hisoblanadi.
Ta`rif 2.
Agar tanlangan qism to`plamda elementlar tartibi ahamiyatsiz
bo`lsa, u holda tanlanmalarga (nk, )guruhlash deyiladi va
Сnk ko`rinishida belgilanadi. C – inglizcha “combination”, ya`ni “guruhlash” so`zining bosh harfidan olingan.
Tanlanmalarda elementlar takrorlanishi va takrorlanmasligi mumkin.
Ta`rif 3.
Elementlari takrorlanuvchi tartiblanmagan (n k, ) tanlanmaga n
~k elementdan k tadan takrorlanuvchi guruhlash deyiladi va Сn ko`rinishida belgilanadi.
Ta`rif 4.
Elementlari takrorlanuvchi tartiblangan (n k, )tanlanma n
~k elementdan k tadan takrorlanuvchi joylashtirish deyiladi va Аn kabi belgilanadi. A inglizcha “arrangement” – “tartibga keltirish” so`zining bosh harfidan olingan.
Ta`rif 5.
Agar tartiblangan tanlanmalarda elementlar o`zaro turlicha bo`lsa, u holda takrorlanmaydigan joylashtirish deyiladi va Аnk kabi belgilanadi. Ta`rif 6.
n tadan n ta tartiblangan tanlanmaga o`rin almashtirish deyiladi va Pn kabi belgilanadi. O`rin almashtirish joylashtirishning xususiy xoli hisoblanadi. P inglizcha “permutation” – “o`rin almashtirish” so`zining bosh harfidan olingan.
Misol. A3 {m n l, , } to`plamning 3 ta elementdan 2 tadan barcha tartiblangan va tartiblanmagan, takrorlanuvchi va takrorlanmaydigan tanlanmalarini ko`rsating.
А32 {m n; },{ ; },{ ; },{ ; },{ ; },{ ;m l n l n m l m l n}=6 ta takrorlanmaydigan joylashtirish;
~2 {m m; },{ ; },{ ; },{ ; },{ ; },{ ; },{ ; },{ ; },{ ;m n m l n n n l n m l m l n l l}9 ta
А3
takrorlanadigan joylashtirish;
С32 {m n; },{ ; },{ ;m l n l}3 ta takrorlanmaydigan guruhlash;
~2 {m m; },{ ; },{ ; },{ ; },{ ; },{ ;m n m l n n n l l l}6 ta takrorlanuvchi guruhlashlar 4) С3 mavjud.
10. Сn mn Cn mm
20. С C Cnk nk1 nk11
30. С2nn (Cn0 )2 (Сn1 )2 ... (Cnn)2
Ushbu xossalarni isbotlash uchun kombinatsiyalarni faktorial ko’rinishida yozib chiqish va hisoblash yetarli.
Teorema. n elementli to‘plamning barcha qism to‘plamari soni 2n ga teng
n
va quyidagi tenglik o‘rinli: Cnk 2k .
k0
Haqiqatdan ham, Сnk - n elementli to‘plamning barcha k elementli to‘plam ostilari soni bo‘lgani uchun, tushunarliki barcha to‘plam ostilar soni
C Сn0 n1 ... Cnn yig‘indiga teng bo‘lib, ularning yig‘indisi 2n ga teng
bo‘ladi.
Misol.
30 ta talabadan 20 tasi o‘g‘il bolalar, tavakkaliga jurnaldagi ro’yhat bo‘yicha 5 talaba chaqirildi, ularning ichida ko‘pi bilan 3 tasi o‘g‘il bola bo‘ladigan qilib necha xil usulda tanlash mumkin?
Yechilishi: Masala shartida berilgan to‘plamni sodda to‘plamlar yig‘indisi shaklida yozib olamiz:
A={0 tasi o‘g‘il bola, 5 tasi qiz bola}
B={1 tasi o‘g‘il bola, 4 tasi qiz bola } C={2 tasi o‘g‘il bola, 3 tasi qiz bola }
D={3 tasi o‘g‘il bola, 2 tasi qiz bola }
{Ko‘pi bilan 3 tasi o‘g‘il bola}=A∪B∪C∪D kesidhmaydigan to‘plamlar
yig‘indisining quvvati, ushbu to‘plamlar quvvatlari yig‘indisiga teng bo‘ladi. n({ko‘pi bilan 3 tasi o‘g‘il bola})=n(A∪B∪C∪D)=n(A)+n(B)+n(C)+n(D)=
=C200 C105 +C201 C104 +C202 C103 +C203 C
!
504 4200 190 120 1140 45 26478900.
Demak, 30 ta talabadan ko‘pi bilan 3 tasi o‘g‘il bola bo‘ladigan 26.478.900 tanlash usuli mavjud.
|
