|
Puankare fərziyyəsi
|
| Sana | 25.11.2023 | | Hajmi | 30,36 Kb. | | #105514 |
Bog'liq Belge (3)
Puankare fərziyyəsi sübut edilmiş riyazi fərziyyədir ki, sərhədsiz hər bir sadə bağlanmış yığcam üçölçülü manifold üçölçülü sferaya homeomorfdur . 1904-cü ildə riyaziyyatçı Henri Puankare tərəfindən tərtib edilmiş bu fərziyyə 2002-2003-cü illərdə Qriqori Perelman tərəfindən bir sıra məqalələrdə sübut edilmişdir . 2006-cı ildə riyaziyyat ictimaiyyəti tərəfindən sübutun təsdiqindən sonra Puankare konyeksiyası minilliyin ilk və indiyə qədər (2023) həll edilmiş problemi oldu .
Ümumiləşdirilmiş Puankare fərziyyəsi hər bir ifadədir� -ölçülü manifold homotopiya ekvivalentidir � -ölçülü sfera yalnız və yalnız ona homeomorf olduqda . Əsas Puankare fərziyyəsi üçün ümumiləşdirilmiş zənninin xüsusi halına ekvivalentdir�=3 . 20-ci əsrin sonlarında bu iş sübut olunmamış yeganə hal olaraq qaldı. Beləliklə, Perelmanın sübutu ümumiləşdirilmiş Puankare zənninin sübutunu da tamamlayır.
Sübut sxemiredaktə et
Ricci axını istilik tənliyinə bənzər xüsusi bir qismən diferensial tənlikdir . Rieman metrikasını manifoldda deformasiya etməyə imkan verir, lakin deformasiya prosesində "təkliklərin" meydana gəlməsi mümkündür - əyriliyin sonsuzluğa meyl etdiyi və deformasiyanın davam etdirilməsi mümkün olmayan nöqtələr. Sübutda əsas addım bu cür təklikləri üçölçülü yönümlü halda təsnif etməkdir. Sinqulyarlığa yaxınlaşdıqda, axın dayandırılır və " cərrahiyyə " aparılır - kiçik bir əlaqəli komponent atılır və ya "boyun" kəsilir (yəni birbaşa məhsula diffeomorfik açıq bir bölgə). (0,1)×�2 ) və nəticədə yaranan iki çuxur iki topla bağlanır ki, nəticədə yaranan manifoldun metrikası kifayət qədər hamar olsun - bundan sonra deformasiya Ricci axını boyunca davam edir.
Yuxarıda təsvir edilən proses əməliyyatla Ricci axını adlanır. Təkliklərin təsnifatı hər bir “atılmış parça”nın sferik məkan formasına diffeomorf olduğu qənaətinə gəlməyə imkan verir .
Puankare zənnini sübut edərkən, sadəcə birləşdirilmiş üçölçülü manifoldda ixtiyari Rieman metrikası ilə başlayır.� və əməliyyatla ona Ricci axını tətbiq edin. Əhəmiyyətli bir addım bu prosesin hər şeyi "atdığını" sübut etməkdir. Bu, orijinal müxtəliflik deməkdir� sferik məkan fiqurlarının toplusu kimi təqdim oluna bilər�3/Γ� , borularla bir-birinə bağlıdır[0,1]×�2 . Fundamental qrup hesablaması göstərir ki� bir sıra fəza formalarının bağlı cəminə diffeomorf�3/Γ� və üstəlik hər şeyΓ� əhəmiyyətsiz. Beləliklə,� sferalar toplusunun, yəni kürənin bağlı cəmidir.
1900-cü ildə Henri Puankare sferanın bütün homoloji qruplarına malik üçölçülü manifoldun kürəyə homeomorf olduğunu təklif etdi. 1904-cü ildə o, indi Puankare sferası adlanan əks nümunə də tapdı və fərziyyəsinin son versiyasını formalaşdırdı. Puankare zənnini sübut etmək cəhdləri manifoldların topologiyasında çoxsaylı irəliləyişlərə səbəb olmuşdur.
Puankare fərziyyəsi uzun müddətdir ki, tədqiqatçıların diqqətini cəlb etmir. 1930-cu illərdə John Whitehead bir sübut elan edərək fərziyyəyə olan marağı canlandırdı, lakin sonra onu tərk etdi. Axtarış prosesində o, sadəcə birləşdirilmiş qeyri-kompakt 3-manifoldların, qeyri-homeomorfların bəzi maraqlı nümunələrini kəşf etdi.�3 , prototipi Whitehead manifoldu kimi tanınır .
üçün ümumiləşdirilmiş Puankare zənninin sübutları�⩾5 1960-1970-ci illərin əvvəllərində demək olar ki, eyni vaxtda Smale tərəfindən müstəqil olaraq və Stallings [en] tərəfindən başqa üsullarla əldə edilmişdir (üçün�⩾5 , onun sübutu işlərə genişləndi�=5,6 Ziman ). Daha çətin bir işin sübutu�=4 yalnız 1982-ci ildə Fridman tərəfindən əldə edilmişdir . Pontryaqinin xarakterik siniflərinin topoloji dəyişməzliyi haqqında Novikov teoremindən belə çıxır ki, yüksək ölçülərdə homotopiya ekvivalenti, lakin homeomorf olmayan manifoldlar mövcuddur.
Orijinal Puankare zənninin (və daha ümumi Thurston zənninin ) sübutunu Qriqori Perelman tapıb və onun 2002-2003-cü illərdə arXiv saytında üç məqaləsində dərc edib . Daha sonra, 2006-cı ildə Perelmanın sübutu ən azı üç elm adamı qrupu tərəfindən təsdiqləndi və geniş formada təqdim edildi [1] . Sübut Ricci axınının modifikasiyasından istifadə edir ( cərrahiyyə ilə Ricci axını adlanır) və əsasən Ricci axınının istifadəsinə öncülük edən R. S. Hamilton tərəfindən təsvir edilən plana uyğundur
Bu teoremin nəticəsi var: arakəsmə ilə iki bölməyə bölünmüş bir qabda biri ideal qazla, digəri boşdursa, arakəsmə çıxarılırsa, bir müddət sonra bütün qaz molekulları yenidən birləşəcək. gəminin orijinal hissəsi. Bu paradoksun həlli budur ki, “bir müddət” çox böyükdür. Bu, qeyri-ideal qaz üçün işləmir, çünki belə bir sistem entropiyanın ekstremumuna meyllidir. Bu teoremə görə, yığcam , kənarsız , deşiksiz ( sadəcə birləşdirilmiş ) üçölçülü çoxqatlı yalnız üçölçülü kürə ola bilər .
Puankare fərziyyəsi hər bir nöqtə ətrafında lokal olaraq üçölçülü Evklid fəzasına bənzəyən topoloji fəzalarla bağlı təklifi ifadə edir . Təsəvvür edək ki , kənarı olmayan ( dairənin kənarları yoxdur), lakin yığcam (kənarları yoxdur) . Bu fəzaya atılan hər çevrə fəzanın içində qalıb bir nöqtəyə qədər kiçilə bilirsə (deşik yoxdur), Puankare fərziyyəsinə görə, bu fəza dördölçülü Evklid fəzasında yatan üçölçülü kürə olmalıdır . Bu sadə misalla deşiksiz məkanı iki ölçüdə görmək olar: almanın qabığı üzərində uzanan rezin bant elastikliyini və qabığını qırmadan qabığın bir nöqtəsinə qədər büzülə bilər, lakin bu, mümkün deyil. ortasında deşik olan simit.Deşik olduğu müddətcə bəzi elastiklər simit səthində qalaraq bir nöqtəyə qədər büzülə bilməz .
Bir əsrə yaxın riyaziyyatçıları narahat edən bu problemi 44 yaşlı rus riyaziyyatçısı Qriqori Perelman 2002-2003-cü illərdə həll edərək rəsmlər şəklində ictimaiyyətə təqdim edib. O vaxtdan bəri, 2006-cı ildə də daxil olmaqla, müxtəlif mühüm riyaziyyat komitələri tərəfindən rəsmi olaraq doğru olduğu təsdiq edilmişdir. O, 18 mart 2010-cu ildə Minilliyin Mükafatına layiq görülüb. [2]
Topologiyanın ən böyük problemlərindən biri olan Puankare fərziyyəsi mükafat qazanan Yeddi Minilliyin Problemlərindən biri idi və indiyə qədər həll edilən ilk problem idi. Clay Riyaziyyat İnstitutu ilk düzgün həll üçün 1 milyon dollar təklif etdi, lakin Perelman mükafatı qəbul etmədi. Perelman da bu həll üçün Fields Mükafatına layiq görüldü , lakin o, bundan imtina etdi.
Puankare hipotezi 2000-ci ildə Kley Riyaziyyat İnstitutunun “Min illiklərin məsələləri” siyahısına saldığı, açıq qalan 7 riyazi problemdən biridir. Puankare hipotezini Perelman həll edib. O, yahudi əsilli rus riyaziyyatçısıdır. Puankare hipotezinin isbatına görə onu Filds medalı və “Minilliyin mükafatı” ilə mükafatlandırmalı idilər. “Minilliyin mükafatı” Kley İnstitutu tərəfindən ayrılmışdı və milyon dollar məbləğində idi. Perelman hər iki mükafatdan imtina edib. Perelman imtinasını belə izah edib: “Pul və şöhrət məni maraqlandırmır. Yalnız isbatın dəqiqliyi önəmlidir”.
Hətta o, öz isbatı verilən məqalə də çap etdirməyib. Onun haqqında başqa riyaziyyatçılar yazıb.
Perelman ümumiyyətcə mükafatlardan və təltiflərdən imtina ilə tanınır. Bir vaxtlar o, Avropa riyaziyyat cəmiyyətinin nüfuzlu mükafatından da imtina edib. O, qeyd edib ki, bu mükafatı verən onun işini başa düşmək və qiymətləndirmək qabiliyyətinə malik deyil.
|
| |
