Key words:
scalar, vector, scalar field, vector field, gradient, divergence, cluster (rotor).
92
Fazoning har bir M nuqtasida u skalyar kattalikning son qiymati aniqlangan qismiga
skalyar maydon deyiladi.t vaqtga bog‘lanmagan u kattalik bilan aniqlangan maydonga
statsionar maydon deyiladi.Statsionar maydonda u kattalik faqat M nuqtaning fazodagi
o‘rniga bog‘liq va
(
)
u
u M
maydon funksiyasi deyiladi.
u skalyar maydonning differensiallanuvchi funksiyasi
( , , )
M x y z
nuqtasi uchun
l
shu
nuqtadan o‘tkazilgan birlik
0
cos
cos
cos
l
i
j
k
,
(
,
,
)
( , , )
l
u
u x
x y
y z
z
u x y z
1
0
lim
,
l
l
u
u
l
M M
l
l
,
cos
cos
cos
u
u
u
u
l
x
y
z
cos
cos
cos
( ,
,
)
y
x
z
x
y
z
a
a
a
a a a a
a
a
a
Ta’rif.
( , , )
u x y z
skalyar maydonning berilgan
( , , )
M x y z
nuqtadagi gradient deb
quyidagi tenglikdan aniqlanadigan vektorga aytiladi.
u
u
u
gradu
i
j
k
x
y
z
(1)
( , , )
u x y z
skalyar maydon gradienti bu maydonning eng katta tezligini ifodalaydi.
2
2
2
u
u
u
gradu
x
y
z
(2)
Agar har bir M nuqtada biror
a
vektor mos qo‘yilgan fazoning biror qismiga vektor
maydon deyiladi va quyidagicha belgilanadi:
(
)
( , , )
( , , )
( , , )
a
a M
P x y z i Q x y z j R x y z k
3
R
sohada
(
)
a M
vektor maydon uchun P,Q,R differensiallanuvchi funksiyalar berilgan
bo‘lsin.
Ta’rif.
(
)
a M
vektor maydonning divergensiyasi deb
P
Q
R
div a
x
y
z
(3)
munosabat bilan aniqlangan skalyar miqdorga aytiladi.
(
)
a M
vektor maydondan olingan vektor kattalik shu vektor maydonning uyurmasi
(rotori) deyiladi va quyidagicha aniqlanadi:
(
)
i
j
k
R
Q
P
R
Q
P
a M
i
j
k
x
y
z
y
z
z
x
x
P
Q
R
ro
y
t
(4)
Endi quyida biz yuqorida keltirilgan tengliklardan foydalanib ba’zi bir ifodalarni
isbotlaymiz.
1.
2
2
2
2
2
2
(
)
(
)
u
u
u
u
u
u
div gradu
div
i
j
k
u
x
y
z
x
y
z
.
topilgan ifoda berilgan u funksiyaning Laplas operatori hisoblanadi.
2.
u
u
u
gradu d r
i
j
k
dx i
dy j dz k
x
y
z
93
0
u
u
u
dx
dy
dz
du
x
y
z
.
3.
,
,
,
,
y
x
z
x
y
z
u a
u a
u a
u
u
u
div u a
a
a
a
x
y
z
x
y
z
,
y
x
z
a
a
a
u
a gradu
udiv a
x
y
z
.
4.
(
)
z
y
z
x
x
y
x
i
j
k
u a
i
ua
ua
j
ua
ua
x
y
z
y
z
x
z
r
ua
ua
u
ot
a
y
y
x
x
z
z
y
x
a
a
a
a
a
a
k
ua
ua
u i
j
k
x
y
y
z
x
z
x
y
,
z
y
z
x
y
x
u
u
u
u
u
u
i
a
a
j
a
a
k
a
a
u rot a
gradu a
y
z
x
z
x
y
.
5.
i
j
k
x
y
z
u
u
u
u
u
rot gradu
rot
i
j
k
x
y
z
u
x
y
z
2
2
2
2
2
2
0
u
u
u
u
u
u
i
j
k
y z
z y
x z
z x
x y
y x
.
6.
y
y
x
x
z
z
a
a
a
a
a
a
div rota
x
y
z
y
x
z
z
x
y
2
2
2
2
2
2
0
y
y
x
x
z
z
a
a
a
a
a
a
y x
z x
x y
z y
x z
y z
.
7.
,
,
y
y
x
x
z
z
a
a
a
a
a
a
rot rota
rot
y
z
z
x
x
y
y
x
x
z
y
y
x
x
z
z
a
a
a
a
x
y
z
x
a
a
a
a
i
j
k
i
x
y
z
a
a
y
z
z
x
x
y
y
z
y
y
y
x
x
z
z
z
j
k
x
z
x
y
a
a
a
a
a
a
a
a
x
y
y
z
z
x
y
z
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
y
y
y
x
x
x
z
z
a
a
a
a
a
a
a
a
x y
y
z
x z
x
y x
y z
z
i
j
94
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
y
y
y
x
x
x
z
z
z
z
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
z x
x
y
z x
x y
x z
y x
y z
z x
k
i
j
k
z x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
y
y
x
x
z
z
a
a
a
a
a
a
y
i
j
k
graddiva divgrad a
z
x
z
x
y
.
,
,
i
j
k
x
y
z
x
y
z
- Nabla operatori
rot
div
grad
rot
graddiva
divgrad a
aniqlanmagan
0
div
0
aniqlanmagan
u
grad
aniqlanmagan
aniqlanmagan
aniqlanmagan
Divergensiyaning matlab dasturidagi kodlari:
div = divergence(X,Y,Z,Fx,Fy,Fz)
div = divergence(x,y,z,u,v,w);
h = slice(x,y,z,div,[90 134],59,0);
shading interp
colorbar
daspect([1 1 1]);
axis tight
camlight
set([h(1),h(2)],'ambientstrength',0.6);
[x,y] = meshgrid(-8:2:8,-8:2:8);
Fx = 200 - (x.^2 + y.^2);
Fy = 200 - (x.^2 + y.^2);
D = divergence(x,y,Fx,Fy);
hold on
contour(x,y,D,'ShowText','on')
|
