Asosiy qism
Elliptik egri chiziqqa doir dastlabki tushunchalar.
Hozirda elliptik egri chiziqlarning kriptografiya sohasiga tatbiqi keng qo'llanilmoqda. Quyida elliptik egri chiziq va uning nuqtalari haqida umumiy tushunchalar hamda ularga bog'liq bo'lgan amallar bilan tanishish mumkin.
1.1-ta'rif: Biror -maydonda olingan elliptik egri chiziq deb, quyidagi Veyershtrass tenglamasi deb ataluvchi tenglik orqali aniqlanuvchi
(1)
egri chiziqqa aytiladi, bu yerda .
Elliptik egri chiziq odatda yoki bilan belgilanadi va elliptik egri chiziqqa tegishli nuqtalar, yani (1) tenglama yechimlari shu elliptik egri chiziqning affin nuqtalari deyiladi.
1.2-ta'rif: nuqta elliptik egri chiziqning silliq nuqtasi deyiladi, agar
bo'lib, quyidagi shartlardan bittasi o'rinli bo'lsa:
yoki (2)
1.3-ta'rif: – elliptik egri chizik silliq deb ataladi, agar uning har bir affin nuqtasi silliq bo'lsa.
1-misol. elliptik egri chiziq uchun (0;0) nuqta silliq nuqta emasligi ko'rsatilsin.
Yechish. , ,
bo'lib, (2) shartga nisbatan ziddiyatga kelinadi. Natijada, (0;0) nuqtaning haqiqatan ham silliq nuqta bo'la olmasligi kelib chiqadi.
2-misol. elliptik egri chiziq uchun (0;0) nuqta silliq nuqta emasligi ko’rsatilsin.
Echish. Haqiqatan ham,
bo'lib, (2) shartga nisbatan ziddiyatga kelinadi. Natijada, (0;0) nuqtaning haqiqatan ham silliq nuqta bo’la olmasligi kelib chiqadi:
Quyida elliptik egri chiziqlarning umumiy kanonik ko’rinishi hisoblangan ushbu
, (3)
tenglama bilan ish ko’ramiz, bu yerda (- butun sonlar) va ko’phad karrali ildizga ega emas deb qaraladi.
Elliptik egri chiziq grafiklari.
Yuqorida keltirilgan (3) ko'rinishdagi egri chiziq grafigini chizish uchun
, (4)
chizish va – o'qiga nisbatan simmetrik akslantirish lozim. Bu (4) berilgan funkstiya grafigini chizish uchun esa kvadratsiz holidagi funkstiya
grafigini chizib olish kerak bo'ladi. Funkstiya grafigining Ox-o'qi bilan kesishish nuqtalari
tenglamaning echimlarini topish orqali aniqlanadi. Bu tenglamadan,
almashtirishdan foydalanib,
keltirilgan tenglama olinadi, bu erda , . ifoda diskriminant deb atalib, keltirilgan tenglamaning ildizlari soni diskriminant qiymatining ishorasiga bog'liq:
a) bo'lsa, bitta haqiqiy ildizga ega, ya'ni funkstiya grafigi Ox-o'qi bilan bitta nuqtada kesishadi;
b) bo'lsa, uchta haqiqiy ildizga ega, ya'ni funkstiya grafigi Ox-o'qi bilan uchta nuqtada kesishadi;
s) bo'lsa, uchta haqiqiy ildizga ega bo'lib, ularning ikkitasi teng (karrali), ya'ni funkstiya grafigi Ox-o'qi bilan ikkita nuqtada kesishadi.
Keltirilgan hol uchun
,
funkstiya grafigi quyidagi ko'rinishga ega:
Bu grafikdan (4) funkstiya grafigini olish uchun, kvadrat ildiz ostidagi ifodaning manfiy bo'lmagan qiymatlar sohasiga mos keluvchi - aniqlanish sohasining qismi
- o'qiga nisbatan simmetrik ko'chiriladi, ya'ni:
Uchta haqiqiy ildizga ega bo'lgan b) hol uchun ,
funkstiya grafigi quyidagi ko'rinishga ega:
Xuddi yuqoridagi fikr va mulohazalarga ko'ra, bu grafikdan (4) funkstiya grafigini olish uchun, kvadrat ildiz ostidagi ifodaning manfiy bo'lmagan qiymatlar sohasiga mos keluvchi - aniqlanish sohasining qismi
- o'qiga nisbatan simmetrik ko'chiriladi, natijada grafik ellips va giperboladan iborat bo'lgan ikkita qismlar bilan ifodalanadi:
Uchta haqiqiy ildizga ega bo'lib, ularning ikkitasi teng (karrali) bo'lgan s) hol uchun
,
funkstiya grafigi quyidagi ko'rinishga ega:
Bu grafikdan (4) funkstiya grafigini olish uchun, kvadrat ildiz ostidagi ifodaning manfiy bo’lmagan qiymatlar sohasiga mos keluvchi - aniqlanish sohasinin qismi
- o'qiga nisbatan simmetrik ko'chiriladi, natijada grafik umumiy nuqtaga ega bo'lgan ellips va giperboladan iborat bo'lgan ikkita qismlar bilan ifodalanadi:
Amalda, - elliptik egri chiziq koeffistienti bo'lgan - elliptik egri chiziqning keltirilgan ko'rinishidagi ifodasidan hamda uning diskriminanti bo'lib, uchta haqiqiy ildizga ega, ya'ni funkstiya grafigi Ox-o'qi bilan uchta nuqtada kesishadigan holatidan foydalanish qulay va samarali tatbiqqa ega.
|
