|
Chiziqli almashtirishlar va ularning matritsalari
Ta’rif
|
| bet | 5/10 | | Sana | 03.12.2023 | | Hajmi | 272,49 Kb. | | #110290 |
Chiziqli almashtirishlar va ularning matritsalari
Ta’rif. Un fazoning operator yordamida nolga akslanuvchi barcha elementlari to’plamiga operatorning yadrosi deyiladi va u Ker orqali belgilanadi.
Teorema. chiziqli operatorlar yadrosi shu operator qaralayotgan fazoning qism fazosi bo’ladi.
Bu teoremaning isboti [1, 240-bet]da keltirilgan.
Ta’rif. chiziqli operator yadrosining o’lchovi shu operatorning defekti (nuqsoni) deyiladi.
Un fazoda aniqlangan chiziqli operator berilgan bo’lsin. M to’plamosti Un ning qism fazosi, ya’ni bo’lsin. Agar desak, u holda ning obrazi bo’ladi. M to’plamostiga tegishli hamma elementlarning obrazini topaylik. Bu obrazlar hosil qilgan to’plamni orqali belgilaylik.
Teorema. Agar M fazoosti bo’lsa, u holda to’plam ham fazoosti bo’ladi.
Isboti. va lardan kelib chiqadi. Bu vaqtda hosil bo’ladi. Demak, ekanligidan kelib chiqdi. U holda to’plam fazoosti bo’ladi.
Xususiy holda M=Un bo’lishi mumkin. U holda ham fazoosti bo’ladi.
Ta’rif. fazoostiga operatorning obrazi deyiladi.
Ta’rif. obrazning o’lchoviga operatorning rangi deyiladi.
ℱ maydon ustida Vn vektor fazo berilgan bo’lib,
(1)
uning bazisi bo’lsin. Agar operator Vn fazoda aniqlangan chiziqli operator bo’lsa, u holda vektorlar (1) bazis orqali chiziqli ifodalanadi, ya’ni
(2)
bo’ladi.
Ta’rif. Ushbu
matritsa chiziqli operatorning (1) bazisdagi matritsasi deyiladi.
Invariant qism fazolar.
Chiziqli almashtirishning xos son va xos vektorlari.
V fazo ℱ maydon ustidagi vektor fazo bo’lib, lar shu vektor fazoning chiziqli operatorlari bo’lsin. va chiziqli operatorlar ko’paytmasi quyidagicha aniqlangan bo’lsin, ya’ni
Lemma. V vektor fazoning ixtiyoriy ikkita chiziqli operatorlari ko’paytmasi yana shu vektor fazoning chiziqli operatori bo’ladi.
Bizga ma’lumki Hom (V,V) to’plam ℱ maydon ustida vektor fazo tashkil qiladi.
Ushbu algebrani algebra V vektor fazoning chiziqli operatorlar algebrasi deyiladi va quyidagicha belgilanadi:
End V=
|
| |
