Shohjahon Yo`ldoshev, [12/2/2023 10:08 PM]
Ikkinchi darajali Diofant tenglamalari
Loyiha ikkinchi darajali Diofant tenglamalarini o'rganishga bag'ishlangan. Umid qilamizki,
loyiha ishtirokchilari etarlicha katta sinfni hal qilishga imkon beradigan nazariyani ishlab chiqadilar
vazifalar. Ushbu vazifalarning eng yorqinlari quyida keltirilgan.
Oraliq marradan oldin biz dietadagi ikkinchi darajali tenglamalar bilan i hlaymiz.-
onal sonlar. Biz samarali bo'lishi mumkin bo'lgan aniq algoritmni yozamiz
berilgan tenglamaning echimi bor yoki yo'qligini aniqlang. Ilg'or texnologiyalarni qo'llash sifatida,
Karl Fridrix Gaussga tegishli quyidagi teoremani isbotlaymiz.
Teorema (Gauss). Natural son uchta kvadrat yig'indisi sifatida ifodalanadi, agar va
faqat 4 shaklida taqdim etilmasa
n
(8m − 1).
Oraliq tugagandan so'ng, biz butun sonlardagi tenglamalarga e'tibor qaratamiz
ikki o'zgaruvchi. Biz Quad xaritalari yordamida bunday tenglamalarni samarali echishni o'rganamiz-
ratik shakllar. Shuningdek, biz quyidagi bayonotni isbotlaymiz.
Teorema (J. Konvey) deb nomlangan. Yagona 1 bir hil polinom mavjud f (x, y, z) ste-
penya 2, buning uchun tenglama f (x, y, z) \ u003d m har qanday uchun echimga ega m \ u003d 1, . . . , 30 va yo'q
m < 0 da echimlar mavjud.
Kirish vazifalari
Ushbu qismda biz mumkin bo'lgan butun sonli kvadratik shakllar uchun vazifalarni to'pladik
kvadratik tenglamalarni yechishning yagona va umumiy algoritmi yordamida yechish
(umid qilamizki, ishtirokchilar tomonidan quriladi). Biroq, bu vazifalarning barchasi mumkin
to'g'ridan-to'g'ri hal qilinishi kerak. E'tibor bering, diofantni echishning umumiy algoritmi
ixtiyoriy darajadagi tenglamalar mavjud emas va printsipial ravishda mavjud bo'lmaydi
(bu 1970 yilda Y. Matiyasevich tomonidan salbiy hal qilingan Gilbertning 10-muammosi).
Vazifalar 1-9.
Agar siz ushbu vazifalardan birini hal qila olmasangiz, aytaylik, bir soat ichida-xafa bo'lmang.
Siz har doim ko'proq texnik vositalar bilan ularga keyinroq qaytishingiz mumkin.
Kvadrat shakllar
Ta'rif 1. Biz kvadratik shaklni 2-darajali bir hil polinom deb ataymiz
ba'zi o'zgaruvchilar soni. Kvadratik shakllarga misollar polinomlardir
2x
2 + 2xy − y
2 va x
2 − xz + y
2 − 2z
2
.
Har qanday tabiiy son uchun d biz z orqali belgilaymiz
D butun D to'plamlari to'plami
raqamlar. Masalan, butun son juftlari to'plami biz tomonidan belgilanadi Z
2
. Har bir kvadrat
ikki o'zgaruvchining shakli x, y funktsiyani Z ga o'rnatadi
2
, ya'ni har bir juft songa mos keladi
(x, y) f (x, y) raqami. Keyinchalik, biz ko'pincha (x, y) ∈ z elementini almashtiramiz
2 bitta harf bilan
(aytaylik, v) va f(x, y) o'rniga f (v) yozing.
Ta'rif 2. Kvadratik shakl butun sonni ifodalaydi deymiz
n, agar v v ∈ Z bo'lsa
d
/ f(v) = n, yoki tenglama bo'lsa, xuddi shunday
f(x, y) = n
u butun sonlarda echimga ega.
1bu bayonot rasmiy ravishda noto'g'ri. Keyinchalik u aniqlanadi.
1
Vazifalar 10-11.
Ta'rif 3. Biz ikkita kvadrat shaklni ekvivalent deb ataymiz. agar ular-
xuddi shu butun sonlar to'plamini qo'ying.
Vazifa 12.
Ba'zi kvadrat shakllar bilan ishlash osonroq, ba'zilari bilan ishlash qiyinroq. Xote-
Elk bo'lardi har bir kvadrat shakli uchun iloji boricha qulay vakilni toping
uning ekvivalentlik sinfi (masalan, ax2 + by2 shaklining kvadrat shakli
). Buning uchun-
ammo ikkita kvadratik shakl teng bo'lganda ba'zi bir oqilona mezonlarga ega bo'lish.
Bundan tashqari, kvadratik shakllarning oson hisoblanadigan invariantlariga ega bo'lish foydalidir. Biz
biz bunday invariantlarning ba'zi to'plamini taklif qilamiz.
Ta'rif 4. F ning kvadratik shakli ijobiy aniqlangan deb ataladi, agar
f ( v) \ u003e 0 har qanday v 6 \ u003d 0 uchun. Kvadratik shakl manfiy bo'lmagan aniqlangan deb ataladi,
agar f(v) > 0 har qanday v ∈ Z uchun
2
. Va nihoyat, kvadratik shakl noaniq deb ataladi,
agar f(u) > 0 va f(v) < 0 ba'zi uchun u, v ∈ Z
2
.
Vazifa 13.
Shohjahon Yo`ldoshev, [12/2/2023 10:08 PM]
Kengaytirilgan arifmetika: p-adik raqamlar
Loyihaning ushbu qismida biz quyidagi teoremaning dalillarini ko'rib chiqamiz.
Teorema (Metateorema). O'zgaruvchilarning ixtiyoriy sonidan kvadrat tenglama-
ratsional sonlardagi echimlar, agar bunga hech qanday to'siq bo'lmasa,
tub sonlarga bo'linganda qoldiqlar bilan bog'liq.
Metateorema yordamida biz (Gauss) teoremasini va Legendrening keyingi teoremasini isbotlaymiz.
Shohjahon Yo`ldoshev, [12/2/2023 10:09 PM]
Teorema (Legendre). Har qanday musbat tamsayı to'rtta yig'indisi sifatida ifodalanadi
butun sonlarning kvadratlari.
Loyihada biz teoremaning (Gauss/Legendre teoremalari kabi) kichik bo'linishini taklif qilamiz
bir nechta kichik vazifalar, ularning har biri mustaqil ravishda hal qilinishi mumkin. Boshlash uchun
biz rasmiy ravishda aniqlanmagan (va nefor) ba'zi rasmiy ma'nolarni berishimiz kerak-
noto'g'ri) metateorem.Biz misoldan, ya'ni quyidagi bayonotdan boshlaymiz,
metateoremaning alohida holati hisoblanadi.
Ta'rif 5. M raqami n ga bo'linganda qoldiqlarda kvadratik chegirma deb ataladi,
agar t tamsayı mavjud bo'lsa, m t t
2
(mod n).
Vazifalar 14-15.
Agar GCD(m, n) \ u003d 1 bo'lsa, u holda a)-C) 14-vazifa shartlaridan nolga teng bo'lmagan mavjudlik kelib chiqadi
tenglamaning ratsional yechimi
ax2 + by2 = c.
Agar GCD(m, n) 6 \ u003d 1 bo'lsa, u holda (m, n) juftlikka qo'shimcha shartlar qo'yilishi kerak,
GCD(m, n) ning oddiy bo'linmalari bilan bog'liq. Ushbu shartlar juda oddiy, ammo momaqaldiroq-
Q. Ushbu shartlarni yozishning oqlangan usuli p-adik raqam tushunchasi bilan bog'liq. Boshlash uchun
biz p-adik raqamlarni aniqlaymiz va ularning eng oddiy (важнейш eng muhim) xususiyatlarini aniqlaymiz.
Har bir p tub son uchun zp ni rasmiy iboralar to'plami sifatida aniqlaymiz
turlari
a0 + a1p + . . . + anp
n + . . . (ai ∈ Z) (1)
2
(atamalar soni cheksiz bo'lishi mumkin). Bunday ikkita ibora teng deb hisoblanadi, agar
ular p tartibining aniq a'zolariga to'g'ri keladi
har qanday n uchun n. masalan,
1 = (p + 1) − (p + 1)p + (p + 1)p
2 − (p + 1)p
3 + . . . .
(1) shaklidagi iboralarni qo'shish, ayirish va ko'paytirish mumkin. Shunday qilib,-
butun sonlardagi koeffitsientlar bilan f \ u003d 0 tenglamasi uning echimlarini ko'rib chiqishi mumkin
zp ( = : butun p-adik sonlar) da. Quyidagi vazifa echimlarning butun sonlarga bog'liqligini ko'rsatadi
butun p-adik sonlardagi raqamlar va echimlar.
Vazifa 16.
Butun p-adik sonlar butun son tushunchasining kengayishini ifodalaydi. Bu
p-kengayish ratsional son tushunchasiga ega. Har bir oddiy p uchun biz aniqlaymiz
Qp shaklning rasmiy ifodalari to'plami sifatida
a−kp
−k + a−k+1p
−k+1 + . . . + anp
n + . . . (2)
(k-ixtiyoriy butun son, ai ∈ Z). Shubhasiz, har bir butun p-adik songa ega
a−k = bilan (2) ko'rinish ... = a−1 = 0.
Ishtirokchilarga p-adik raqam tushunchasiga ko'nikishlariga yordam berish uchun quyida
biz bir nechta vazifalarni taqdim etamiz.
Vazifalar 17-26.
Endi biz Metateoremaning rasmiy versiyasiga tayyormiz.
Teorema (Minkovskiy-Xasse Printsipi). Kvadrat tenglama f \ u003d 0 bir nechta qalamlardan-
mennim ratsional sonlarda echimga ega, agar u faqat echimlarga ega bo'lsa
a) haqiqiy sonlarda,
b) har qanday asosiy p uchun p-adik sonlar (:=Qp).
Vazifa 27.
Minkovskiy-Xasse printsipi ratsional sonlardagi tenglamalarni echishga kamaytiradi-
p-adik sonlaridagi bir xil tenglamalar. Bu tenglamani echishni anglatadi-
p-adik raqamlarida niya ancha sodda. Boshlash uchun biz vazifalar to'plami sifatida shakllantiramiz
p-adik sonlardagi ikkita o'zgaruvchidan kvadrat tenglamani echish algoritmi. Boshlash-
biz bir hil tenglamadan turibmiz
z
2 − ax2 − by2 = 0. (3)
Ta'rif 6. (A, b)p = 1 ni qo'ying, agar (3) tenglama nolga teng bo'lmagan echimga ega bo'lsa
p-adik sonlar. Aks holda (a, b)p \ u003d -1 ni qo'ying. (A, b) p qiymati deyiladi
oddiy p soniga nisbatan juftlikning (a, b) Hilbert belgisi bilan.
Shunday qilib, (3) tenglamani echish uchun (a, b)p qiymatlarini topishni o'rganmoqchiman.
Vazifalar 28-29.
Hilbert belgisi uchun aniq formulani ixcham yozish uchun bizga sim kerak bo'ladi-
ho'kiz Legendra x
p
, har qanday butun x va oddiy p uchun belgilangan.
x nolga teng bo'lmagan kvadratik chegirma, null yoki null bo'lishiga qarab
modul p. toq oddiy p uchun Legendre belgisi quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi
Shohjahon Yo`ldoshev, [12/2/2023 10:09 PM]
x
p
= x
p−1
2 (mod p).
Vazifalar 30-39.
3
Ikki o'zgaruvchidan tenglamalar va xaritalar
Loyihaning u hbu Qi mida biz butun dunyoda amarali hal qili hga imkon beradigan texnikani i hlab chiqamiz.-
lax tenglamasi
Em : ax2 + bxy + cy2 = m (4)
x, y butun o'zgaruvchilardan, bu erda a, b, c, m — ba'zi tamsayılar (parametrlar). Buning uchun
biz har bir kvadrat shaklni ikkita o'zgaruvchidan xaritaga solishtiramiz va o'zimiznikini ifodalaymiz-
Shohjahon Yo`ldoshev, [12/2/2023 10:09 PM]
Teorema (Legendre). Har qanday musbat tamsayı to'rtta yig'indisi sifatida ifodalanadi
butun sonlarning kvadratlari.
Loyihada biz teoremaning (Gauss/Legendre teoremalari kabi) kichik bo'linishini taklif qilamiz
bir nechta kichik vazifalar, ularning har biri mustaqil ravishda hal qilinishi mumkin. Boshlash uchun
biz rasmiy ravishda aniqlanmagan (va nefor) ba'zi rasmiy ma'nolarni berishimiz kerak-
noto'g'ri) metateorem.Biz misoldan, ya'ni quyidagi bayonotdan boshlaymiz,
metateoremaning alohida holati hisoblanadi.
Ta'rif 5. M raqami n ga bo'linganda qoldiqlarda kvadratik chegirma deb ataladi,
agar t tamsayı mavjud bo'lsa, m t t
2
(mod n).
Vazifalar 14-15.
Agar GCD(m, n) \ u003d 1 bo'lsa, u holda a)-C) 14-vazifa shartlaridan nolga teng bo'lmagan mavjudlik kelib chiqadi
tenglamaning ratsional yechimi
ax2 + by2 = c.
Agar GCD(m, n) 6 \ u003d 1 bo'lsa, u holda (m, n) juftlikka qo'shimcha shartlar qo'yilishi kerak,
GCD(m, n) ning oddiy bo'linmalari bilan bog'liq. Ushbu shartlar juda oddiy, ammo momaqaldiroq-
Q. Ushbu shartlarni yozishning oqlangan usuli p-adik raqam tushunchasi bilan bog'liq. Boshlash uchun
biz p-adik raqamlarni aniqlaymiz va ularning eng oddiy (важнейш eng muhim) xususiyatlarini aniqlaymiz.
Har bir p tub son uchun zp ni rasmiy iboralar to'plami sifatida aniqlaymiz
turlari
a0 + a1p + . . . + anp
n + . . . (ai ∈ Z) (1)
2
(atamalar soni cheksiz bo'lishi mumkin). Bunday ikkita ibora teng deb hisoblanadi, agar
ular p tartibining aniq a'zolariga to'g'ri keladi
har qanday n uchun n. masalan,
1 = (p + 1) − (p + 1)p + (p + 1)p
2 − (p + 1)p
3 + . . . .
(1) shaklidagi iboralarni qo'shish, ayirish va ko'paytirish mumkin. Shunday qilib,-
butun sonlardagi koeffitsientlar bilan f \ u003d 0 tenglamasi uning echimlarini ko'rib chiqishi mumkin
zp ( = : butun p-adik sonlar) da. Quyidagi vazifa echimlarning butun sonlarga bog'liqligini ko'rsatadi
butun p-adik sonlardagi raqamlar va echimlar.
Vazifa 16.
Butun p-adik sonlar butun son tushunchasining kengayishini ifodalaydi. Bu
p-kengayish ratsional son tushunchasiga ega. Har bir oddiy p uchun biz aniqlaymiz
Qp shaklning rasmiy ifodalari to'plami sifatida
a−kp
−k + a−k+1p
−k+1 + . . . + anp
n + . . . (2)
(k-ixtiyoriy butun son, ai ∈ Z). Shubhasiz, har bir butun p-adik songa ega
a−k = bilan (2) ko'rinish ... = a−1 = 0.
Ishtirokchilarga p-adik raqam tushunchasiga ko'nikishlariga yordam berish uchun quyida
biz bir nechta vazifalarni taqdim etamiz.
Vazifalar 17-26.
Endi biz Metateoremaning rasmiy versiyasiga tayyormiz.
Teorema (Minkovskiy-Xasse Printsipi). Kvadrat tenglama f \ u003d 0 bir nechta qalamlardan-
mennim ratsional sonlarda echimga ega, agar u faqat echimlarga ega bo'lsa
a) haqiqiy sonlarda,
b) har qanday asosiy p uchun p-adik sonlar (:=Qp).
Vazifa 27.
Minkovskiy-Xasse printsipi ratsional sonlardagi tenglamalarni echishga kamaytiradi-
p-adik sonlaridagi bir xil tenglamalar. Bu tenglamani echishni anglatadi-
p-adik raqamlarida niya ancha sodda. Boshlash uchun biz vazifalar to'plami sifatida shakllantiramiz
p-adik sonlardagi ikkita o'zgaruvchidan kvadrat tenglamani echish algoritmi. Boshlash-
biz bir hil tenglamadan turibmiz
z
2 − ax2 − by2 = 0. (3)
Ta'rif 6. (A, b)p = 1 ni qo'ying, agar (3) tenglama nolga teng bo'lmagan echimga ega bo'lsa
p-adik sonlar. Aks holda (a, b)p \ u003d -1 ni qo'ying. (A, b) p qiymati deyiladi
oddiy p soniga nisbatan juftlikning (a, b) Hilbert belgisi bilan.
Shunday qilib, (3) tenglamani echish uchun (a, b)p qiymatlarini topishni o'rganmoqchiman.
Vazifalar 28-29.
Hilbert belgisi uchun aniq formulani ixcham yozish uchun bizga sim kerak bo'ladi-
ho'kiz Legendra x
p
, har qanday butun x va oddiy p uchun belgilangan.
x nolga teng bo'lmagan kvadratik chegirma, null yoki null bo'lishiga qarab
modul p. toq oddiy p uchun Legendre belgisi quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi
Shohjahon Yo`ldoshev, [12/2/2023 10:09 PM]
x
p
= x
p−1
2 (mod p).
Vazifalar 30-39.
3
Ikki o'zgaruvchidan tenglamalar va xaritalar
Loyihaning u hbu Qi mida biz butun dunyoda amarali hal qili hga imkon beradigan texnikani i hlab chiqamiz.-
lax tenglamasi
Em : ax2 + bxy + cy2 = m (4)
x, y butun o'zgaruvchilardan, bu erda a, b, c, m — ba'zi tamsayılar (parametrlar). Buning uchun
biz har bir kvadrat shaklni ikkita o'zgaruvchidan xaritaga solishtiramiz va o'zimiznikini ifodalaymiz-
Shohjahon Yo`ldoshev, [12/2/2023 10:09 PM]
buning aksi. Agar f(w1 + w2) \ U003d f(w1 − w2) bo'lsa, unda biz i ga yo'nalishni o'rnatmaymiz (va hech qanday
men yonidagi raqamlar odatda yozilmaydi).
Ushbu protseduraning natijasini biz yo'naltirilgan xarita deb ataymiz kvadrat for-
agar biz qirralarning yaqinidagi raqamlar va ularning yo'nalishlari bilan bezovta qilmasak, unda-
biz rasmni kvadrat shaklidagi xarita deb ataymiz. 2x shakllari uchun
2 + 2xy − y
2 va
x
2 − xy + y
Loyihaning birinchi sahifasidagi rasmlarda 2 ta xarita ko'rsatilgan.
Mashq 2. Kvadrat shakllar uchun (yo'naltirilgan) xaritalarni chizish
f1 = 3x
2 + 9xy + 7y
2
, f2 = x
2 − 2y
2
, f3 = x
2 − 3y
2
.
Keyingi ikkita muammoda a, B, C, D, h raqamlari rasmga ishora qiladi
6
Vazifalar 53-55.
Quyidagi ta'rif ko'p muammolarni hal qili hda muhim ahamiyatga ega.-
aniq belgilangan kvadratik shakllar.
Ta'rif 10. Quduq yo'naltirilgan kvadrat xaritaning tepasi deb ataladi
shakllari, sodir bo'lgan barcha qovurg'alar unga qaratilmagan.
Vazifalar 56-60.
Biz quyidagi bir nechta faktlarga e'tibor qaratmoqchimiz:
1) (4) shaklning 1, 2 va umumiy tenglamasining super topshiriqlarini mafkuraviy yechimlari 59, 60-masalalarga yaqin.
2) og'ir mehnat matematik kunlarida hech kim (o'zingizdan tashqari) pi bo'lmaydi-
siz uchun bir qator (juda oddiy) mashqlarni so'rib oling, bu uni hal qilishga olib keladi yoki
boshqa qiziqarli vazifa. Agar siz (ko'pincha shartli ravishda) bo'lsangiz, sizga juda omad kulib boqadi
tasodifan) ular muammoni hal qilishda zarur bo'lgan g'oyalarning sezilarli qismini aytib berishadi va
qabul qilish.
3) ushbu konferentsiyaning maqsadi sizni u yoki bu shaklda mehnat bilan tanishtirishdir
matematik kundalik hayot.
Agar siz nima uchun klonlashimizni hali taxmin qilmagan bo'lsangiz, unda yordam beradigan mashqlar
Siz 1, 2, 3-sonli super vazifalarni bajarasiz va (4) shaklning umumiy tenglamasini echishni o'rganasiz-
tugadi. Sizning taqdiringizni biroz engillashtirishga harakat qilib, biz bir nechta rasmlarni tayyorladik,
qaysi (ehtimol) sizga (biror narsada) yordam berishi yoki (biror narsa) taklif qilishi mumkin.
7
Kvadrat shaklidagi xaritaning ishchi-dehqon tavsifi
Algoritm f → Γf: cheksiz tekis uchlik daraxtini ko'rib chiqing (ya'ni chizilgan
tekislikda har bir tepalikning darajasi 3 ga teng bo'lgan tsikllarsiz bog'langan grafik mavjud). Qismi
bunday ustun quyida keltirilgan.
(6)
Keling, ushbu grafaning ba'zi bir cho'qqisini ko'rib chiqamiz va unga uchta hodisa yuz bergan songa yozamiz
rasmda ko'rsatilgandek f(1, 0), f(0, 1) va f(1, 1).
(7)
Boshqa barcha yuzlardagi qiymatlar qoida bo'yicha belgilanadi
. (8)
8
1-qoida: agar yuzlarda uchta qiymat bitta chekka atrofida bo'lsa (rasmda ko'rsatilganidek).-
ke (8)) ma'lum, keyin to'rtinchisi 2(A + B) \ U003d C + D formulasi bilan aniqlanadi.
Ushbu qoida GF xaritasini aniqlashini ko'rish oson . Endi biz GF xaritasida quramiz
yo'naltirilgan xarita ~ Γf quyidagi qoidalarga muvofiq ((8-rasmga qarang)):
2-qoida: h chetida biz raqamni yozamiz
|(A + B) − C| = |(A + B) − D| .
3-qoida: Agar C < D bo'lsa, biz h qirrasini C dan D gacha bo'lgan o'q bilan almashtiramiz; agar C <
D, keyin biz h qirrasini D dan C gacha bo'lgan o'q bilan almashtiramiz; agar C = D bo'lsa, biz h qirrasini qoldiramiz
yo'naltirilmagan.
Xarita xususiyatlari:
1) GF grafigining nuqtalari f shakliga teng kvadratik shakllarga to'g'ri keladi-
chiziqli almashtirishdan oldin;
2) Γf yuzlari nolga teng bo'lmagan ratsionallarga birma-bir mos keladi-
mi raqamlari m
n
;
3) har bir yuzning ichida mos keladigan f(m, n) qiymatiga teng raqam yoziladi
m
n
butun sonlar juftligi (m, n);
4) f va g ning kvadratik shakllari chiziqli almashtirishning aniqligi bilan tengdir, agar va
faqat Γf va Γg xaritalari bir xil.
9
|
