|
Sanoqli to’plamlar va ularning xossalariBog'liq AZIZSanoqli to’plamlar va ularning xossalari
1. Sanoqli to’plamlar, misollar.
Ta’rif. Natural sonlar to’plami va unga ekvivalent bo’lgan to’plamlar sanoqli to’plamlar deyiladi.
Sanoqli to’plamning quvvati (alef
-
nol) bilan belgilanadi. Har qanday sanoqli to’plam cheksiz
ketma-ketlik shaklida yozila
di: A={a1, a2, . . . , an, . . .}, ya’ni sanoqli to’plam elementlarini
nomerlab chiqish mumkin.
Masalan:
1) butun sonlar to’plami;
2) uchga karrali bo’lgan natural sonlar to’plami;
3) B = { n2n | n N }; 4) B={ f(n) | n N, f-
qat’iy monoton funksiya} to’plamlari sanoqli
to’plamlarga misol bo’ladi.
2. Sanoqli to’plamlarning cheksiz to’plamlar orasidagi o’rni.
Teorema. Har qanday cheksiz to’plamning sanoqli qism to’plami mavjud.
Isboti. Ayta
ylik V cheksiz to’plam bo’lsin. Undan bitta element tanlab olamiz va uni x1 orqali
belgilaymiz. V to’plam cheksiz bo’lganligidan B
\
{x1} to’plam bo’sh emas. Bu to’plamdan yana
bir elementni tanlab olib, uni x2 bilan belgilaymiz. So’ngra B
\{x1,x2} dan x3 elementni tanlab
olamiz. Shunday davom ettirib, V to’plamning nomerlangan, ya’ni sanoqli S={x1, x2, . . ., xn, . .
.} qism to’plamiga ega bo’lamiz. Teorema isbot bo’ldi.
Bu teorema, sanoqli to’plamlar barcha cheksiz to’plamlar orasidagi muhim o’rin tutishini, ya’ni
cheksiz quvvatlarning eng kichigi ekanligini ko’rsatadi.
Teorema. Har qanday sanoqli to’plamning cheksiz qismi sanoqli to’plam bo’ladi.
Isboti. Aytaylik A sanoqli to’plam, B uning cheksiz qismi bo’lsin. A to’plamning elementlarini
nomerlab chiqam
iz. Natijada V to’plamning elementlari ham nomerlangan bo’ladi. V to’plam
elementlarining nomerlarini o’sish tartibida joylashtiramiz va 1,2,3,... sonlar bilan qayta
nomerlab chiqamiz. Demak, V -
sanoqli to’plam. Teorema isbot bo’ldi.
Natija. Sanoqli to’p
lamdan uning chekli qismini ayi-
rishdan hosil bo’lgan to’plam ham sanoqli
bo’ladi.
|
| |
