|
Nyuton binomi formulasining isboti. Binomial koeffietsientlar xossalari
|
| bet | 3/3 | | Sana | 25.05.2024 | | Hajmi | 181,46 Kb. | | #253168 |
Bog'liq nurulloyev14miNyuton binomi formulasining isboti. Binomial koeffietsientlar xossalari
Nyuton binomi formulasining isboti, (a + b)^n ni tuzish formulasi uchun ahamiyatli va qiyin masala bo'lib, matematikada hamda ilmiy tadqiqotlarda keng qo'llaniladi. Bu formulasiz, istalgan butun son uchun (a + b)^n ni hisoblash qiyin bo'lar edi. Nyuton binomi formulasining isboti quyidagi ko'rinishda amalga oshiriladi:
Eng avval, (a + b)^n ni qolgan har bir natural son uchun hisoblab ko'ramiz va bu tartibdagi har bir natija natijani hisoblashda ishlatiladi. Natijalarni (a + b)^n ni darajalarni ko'paytirish va qismlash tarkibida yozish maqsadida quyidagi ko'rinishda ifodalash mumkin:
(a + b)^0 = 1
(a + b)^1 = a + b
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4
(a + b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5
Bu ko'rinishda, har bir son (a + b) darajalari o'zgaruvchilarni va ularning ko'paytirilgan qismni ifodalaydi. Darajalar o'sha sonni o'zini bir qo'shib, birinchi o'zgaruvchini darajaga oshirib, ikkinchi o'zgaruvchini esa darajani bir taga oshirib ketadi. Natijada, umumiy ifodada a va b o'zgaruvchilari bo'lgan binomial (ikkitarmoqli) o'zgaruvchilar va ularning ko'paytirilgan qismni hisoblash maqsadga vofiq ifodalangan.
Binomial koeffitsientlar xossalari, binomi formulani ishga tushirishda yordam beradigan koeffitsientlardir. Binomial koeffitsientini C(n, k) ko'rinishida ifodalash mumkin, a va b o'zgaruvchilarining darajalari n va k darajalarini ifodalaydi. C(n, k) koeffitsienti quyidagi formulaga asoslangan:
C(n, k) = n! / (k!(n - k)!)
Bu yerda n! n faktoriyali, ya'ni 1 dan n gacha bo'lgan butun sonlarni ko'paytirish hisoblanadi. Binomial koeffitsientlar, Nyuton binomi formulasining o'zgaruvchilarining darajalari uchun kerakli hisoblashda juda foydali bo'lganlar.
Birorta masala yechish davom etishni boshlaymiz.
Nyuton binomi formulasi (ya'ni, (a + b)^n formulasi) bu formulani isbotlash uchun Nyutonning o'zgaruvchilarning darajalari bo'yicha yaratgan binomi formulasi (a + b)^n ko'rinishini ishlatamiz.
Nyuton binomi formulasi: (a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n
Yuqorida C(n, k) binomi koeffitsientini (n faktoriyali bo'linishi bilan) ta'riflaganimizni eslab qolgan edik.
Iltimos, bir misol yordamida Nyuton binomi formulasi isbotini ko'raylik. Misol uchun, (a + b)^3 formulani o'rganishni o'ylaymiz:
(a + b)^3 = C(3, 0) * a^3 * b^0 + C(3, 1) * a^2 * b^1 + C(3, 2) * a^1 * b^2 + C(3, 3) * a^0 * b^3
Bu ko'rinishdagi formula:
(a + b)^3 = 1 * a^3 * b^0 + 3 * a^2 * b^1 + 3 * a^1 * b^2 + 1 * a^0 * b^3
Keyin, har bir a va b darajalarini hisoblash uchun quyidagi ifodani amalga oshiramiz:
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
Shu ko'rinishda, (a + b)^3 formulasi Nyuton binomi formulasi yordamida isbotlangan.
Ilgari aytganmizdek, Nyuton binomi formulasi keng qo'llaniladi va istalgan daraja (n) uchun o'zgaruvchilarni ko'paytirishni osonlashtiradi.
Tabriklayman, siz davom ettirishni so'rdingiz! Keyingi qismi ko'rib chiqamiz:
Nyuton binomi formulasi bilan ishlangan misollar quyidagi ko'rinishda amalga oshiriladi:
1. (a + b)^4 formulani hisoblash:
(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4
2. (x + 2y)^3 formulani hisoblash:
(x + 2y)^3 = x^3 + 3x^2(2y) + 3x(2y)^2 + (2y)^3 = x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3
3. (p - 3q)^2 formulani hisoblash:
(p - 3q)^2 = p^2 - 2p(3q) + (3q)^2 = p^2 - 6pq + 9q^2
Bu formulalar Nyuton binomi formulasi bilan hisoblashni ko'rsatadigan misollardir. Har bir misolda, darajalarni hisoblash uchun binomi koeffitsientlari (C(n, k)) qo'llanadi va natijada binomi formulasi isbotlanadi.
Agar boshqa misollar yoki qo'llanmalar bo'lsa, ularni ham hisoblab ko'rishimiz mumkin.
Xulosa
a) To'plamalarda Guruhlash va Sonini Aniqlash: To'plamlarni guruhlash va ularning sonini aniqlash, ma'lumotlar tahlili va matematikaviy topshiriqlarni yechishda kerak bo'ladigan amallardir. Guruhlash natijasida, o'zgaruvchi to'plamlar bir-biriga nisbatan organizatsiyalashadi, va guruhlar soni aniqlanadi. Bu jarayonlar, ma'lumotlarni tahlil qilish, dasturlash, va ma'lumotlarni ko'paytirishda foydalaniladi.
b) Takrorsiz va Takroriy O'rinlashtirishlar va O'rin Alashtirishlar: Takrorsiz o'rinlashtirishlarda har bir element bir marta paydo bo'lishi kerak, o'rinlashtirishlarda esa elementlarni tartiblash tarkibiy tarkibda o'zgarishsiz paydo bo'lishi mumkin. O'rin alashtirishlar esa tartibsiz tanlashni ifodalaydi, bu qatorlar elementlarning tarkibida o'zgarishsiz bo'lishi kerak. Bu konseptlar statistika, ma'lumotlar tahlili, va dasturlash sohasida qo'llaniladi.
c) Nyuton Binomi Formulasi va Binomial Koeffitsientlar: Nyuton binomi formulasi, (a + b)^n formulani hisoblashda, binomi koeffitsientlari (C(n, k)) bilan ishlatiladi. Bu formulalar, o'zgaruvchilarni ko'paytirish va darajalarni hisoblashda yordam beradi. Nyuton binomi formulasi va binomi koeffitsientlar, matematikaviy hisoblash, statistika, ma'lumotlar tahlili, va boshqa sohalarda amaliy tahlil va hisoblash uchun muhimdir.
Bu mavzular, matematika, dasturlash, ma'lumotlar tahlili, va ko'p boshqa sohalarda foydalaniladi. Ular, ma'lumotlar bilan ishlash va muhim matematikaviy tahlil va formulalar o'rganish uchun kritikdir.
Foydalanilgan adabiyotlar ro’yhati:
1. Андерсон Дж. Дискретная математика и комбинаторика. — М. Вильямс. 2006. — 960 с.
2. Зыков А.А. Основы теории графов. - М: Вузовская книга, 2004. - 664 с.
3. Емеличев В. А., Мельников О. И., Сарванов В. И., Тышкевич Р. И. Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990. 384с.
4. Оре О. Теория графов. — 2-е изд. — М.: Наука, 1980. — С. 336.
5. Grigoryan A. Analysis on Graphs. University of Bielefeld, WS 2009/10.
6. А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа. Москва, 1976.
7. rk.tuit.uz
8. natlib.uz
9. ziyouz.com
10. cyberleninka.uz
|
| |
