Рис. 1. Процесс дистанционного зондирования земли

29 
считается, что дефектом n -интерполяционной сплайн– функции является 
число ν = n – m.
Сплайн-функции локальной интерполяции с двумя переменными строятся на 
основе локальной интерполяционной кубической сплайн-функции с одной 
переменной, а оценка ошибки оценивается на основе ошибки локальной 
интерполяционной 
кубической 
сплайн-функции. 
Сплайн-функция 
параболической локальной интерполяции строится следующим образом. 
Чтобы построить в заданном поле D=[a, b]×[c, d], мы делим эти 
интервалы на равные части N по оси OX, M по оси OY Δ=Δx×Δy.
𝛥
𝑥
: 𝑎 = 𝑥
0
< 𝑥
1
<. . . < 𝑥
𝑁
= 𝑏, 𝛥
𝑦
: 𝑐 = 𝑦
0
< 𝑦
1
<. . . < 𝑦
𝑀
= 𝑑. 
Где шаги h и l выбираются следующим образом ℎ = 𝑥
𝑖+1
− 𝑥
𝑖
, 
i=0,1,...,N-1; 
𝑙 = 𝑦
𝑗+1
− 𝑦
𝑗
,
𝑗 = 0,1, . . . , 𝑀 − 1. 
Рассмотрим сетку приведённую ниже
𝛥
∗
= 𝛥
𝑥
∗
× 𝛥
𝑦
∗
𝛥
𝑥
∗
: 𝑥
−1
< 𝑥
0
< 𝑥
1
<. . . < 𝑥
𝑁
< 𝑥
𝑁+1
, 𝛥
𝑦
∗
: 𝑦
−1
< 𝑦
0
< 𝑦
1
<. . . < 𝑦
𝑀
< 𝑦
𝑀+1
. 
Тогда 
у 
нас 
есть 
поле 
𝐷
∗
= [𝑎 − ℎ, 𝑏 + ℎ] × [𝑐 − 𝑙, 𝑑 + 𝑙], 
принадлежащее Δ* - в узловых точках решетки известны значения функции, 
т.е.: 
𝑓(𝑥
𝑖
, 𝑦
𝑗
) = 𝑓
𝑖𝑗
, 𝑖 = −1,0,1, … , 𝑁, 𝑁 + 1; 
𝑗 = −1,0,1, . . . , 𝑀, 𝑀 + 1. 
Основываясь на приведенных выше значениях, в D-области строится 
параболическая, 
локально 
интерполированная 
сплайн-функция, 
интерполирующая 
𝑓(𝑥, 𝑦) −функцию. 
Поскольку 
сплайн-функция 
параболической интерполяции, интерполирующая функцию f (x,y), является 
локальной, в диапазоне [𝑥
𝑖
, 𝑥
𝑖+1
] × [𝑦
𝑗
, 𝑦
𝑗+1
] на основе значений функции 
строится следующая 𝑓
𝑖𝑗
: 
(𝑥
𝑖−1
, 𝑦
𝑗−1
), (𝑥
𝑖−1
, 𝑦
𝑗
), (𝑥
𝑖−1
, 𝑦
𝑗+1
), (𝑥
𝑖−1
, 𝑦
𝑗+2
), 
(𝑥
𝑖
, 𝑦
𝑗−1
), (𝑥
𝑖
, 𝑦
𝑗
), (𝑥
𝑖
, 𝑦
𝑗+1
), (𝑥
𝑖
, 𝑦
𝑗+2
), 
(𝑥
𝑖+1
, 𝑦
𝑗−1
), (𝑥
𝑖+1
, 𝑦
𝑗
), (𝑥
𝑖+1
, 𝑦
𝑗+1
), (𝑥
𝑖+1
, 𝑦
𝑗+2
), 
(𝑥
𝑖+2
, 𝑦
𝑗−1
), (𝑥
𝑖+2
, 𝑦
𝑗
), (𝑥
𝑖+2
, 𝑦
𝑗+1
), (𝑥
𝑖+2
, 𝑦
𝑗+2
). 
Обратите внимание, что строящийся сплайн для фиксированной 
константы одной из переменных является одномерным локальным 
интерполяционным кубическим сплайном по отношению к другой 
переменной.
Где x фиксировано, т.е. локально интерполированная кубическая 
сплайновая функция 𝑆
3
(𝑥
𝑖
, 𝑦) при 𝑥 = 𝑥
𝑖
принимает вид: 
𝑆
3
(𝑥
𝑖
, 𝑦) = (1 − 𝑢)𝑍
𝑗
(𝑥
𝑖
, 𝑦) + 𝑢𝑍
𝑗+1
(𝑥
𝑖
, 𝑦),
(1) 
Тут

30 
𝑍
𝑗
(𝑥
𝑖
, 𝑦) = −
1
2
𝑢(1 − 𝑢)𝑓
𝑖,𝑗−1
+ (1 − 𝑢
2
)𝑓
𝑖𝑗
+
1
2
𝑢(1 + 𝑢)𝑓
𝑖,𝑗+1
, (2) 
𝑍
𝑗+1
(𝑥
𝑖
, 𝑦) =
1
2
(1 − 𝑢)(2 − 𝑢)𝑓
𝑖𝑗
+ 𝑢(2 − 𝑢)𝑓
𝑖,𝑗+1
−
1
2
𝑢(1 − 𝑢)𝑓
𝑖,𝑗+2
(3) 
Параболы Z
j
(x
i
, j), Z
j+1
(x
i
, j) это соответственно параболы
(𝑥
𝑖
, 𝑦
𝑗−1
), (𝑥
𝑖
, 𝑦
𝑗
), (𝑥
𝑖
, 𝑦
𝑗+1
); 
(𝑥
𝑖
, 𝑦
𝑗
), (𝑥
𝑖
, 𝑦
𝑗+1
), (𝑥
𝑖
, 𝑦
𝑗+2
), 
𝑢 =
𝑦 − 𝑦
𝑗
𝑙
, 𝑙 = 𝑦
𝑗+1
− 𝑦
𝑗
. 
проходящие через следующие узлы. Подставляя (2) и (3) в (1), после 
некоторых сокращений получаем: 
𝑆
3
(𝑥
𝑖
, 𝑦) = −
1
2
𝑢(1 − 𝑢)
2
𝑓
𝑖,𝑗−1
+
1
2
(1 − 𝑢)(2 + 
2𝑢 − 3𝑢
2
)𝑓
𝑖𝑗
+ +
1
2
𝑢(1 + 4𝑢 − 3𝑢
2
)𝑓
𝑖,𝑗+1
−
1
2
𝑢
2
(1 − 𝑢)𝑓
𝑖,𝑗+2
, 
𝑗 = 0, 𝑀 − 1
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅, 0 ≤ 𝑢 ≤ 1. 
Исходя из вышеизложенного, 𝑥 = 𝑥
𝑖−1
; 𝑥
𝑖+1
; 𝑥
𝑖+2
. В фиксированных 
случаях получаем следующие одно переменные сплайн-функции 
𝑆
3
(𝑥
𝑖−1
, 𝑦) = (1 − 𝑢)𝑍
𝑗
(𝑥
𝑖−1
, 𝑦) + 𝑢𝑍
𝑗+1
(𝑥
𝑖−1
, 𝑦), 
(4) 
𝑆
3
(𝑥
𝑖+1
, 𝑦) = (1 − 𝑢)𝑍
𝑗
(𝑥
𝑖+1
, 𝑦) + 𝑢𝑍
𝑗+1
(𝑥
𝑖+1
, 𝑦),
(5) 
𝑆
3
(𝑥
𝑖+2
, 𝑦) = (1 − 𝑢)𝑍
𝑗
(𝑥
𝑖+2
, 𝑦) + 𝑢𝑍
𝑗+1
(𝑥
𝑖+2
, 𝑦),
(6) 
На основе кубических сплайн-функций с одной переменной, построенных 
выше S
3
(x
i-1
, y), S
3
(x
i
, y), S
3
(x
i+1
, y) и S
3
(x
i+2
, y), после определенных 
сокращений формируется следующая интерполяционная сплайн-функция с 
двумя переменными: 
𝑆
3,3
(𝑥, 𝑦) = −
1
2
𝑡(1 − 𝑡)
2
𝑆
3
(𝑥
𝑖−1
, 𝑦) +
1
2
(1 
−𝑡)𝑆
3
(𝑥
𝑖
, 𝑦) +
1
2
𝑡(1 + 4𝑡 − 3𝑡
2
)𝑆
3
(𝑥
𝑖+1
, 𝑦) −
1
2
𝑡
2
(1 − 𝑡)𝑆
3
(𝑥
𝑖+2
, 𝑦), 
𝑗 = 0, 𝑀 − 1
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅, 0 ≤ 𝑢 ≤ 1, 𝑡 =
𝑥−𝑥
𝑖
ℎ
, 
𝑢 =
𝑦−𝑦
𝑗
𝑙
, 
ℎ = 𝑥
𝑖+1
− 𝑥
𝑖
,
𝑙 = 𝑦
𝑗+1
− 𝑦
𝑗
. 
S
3
(x
i-1
, y), S
3
(x
i
, y), S
3
(x
i+1
, y) и S
3
(x
i+2
, y) построен выше путем оценки 
одномерных кубических сплайн-функций 
𝑆
3,3
(𝑥, 𝑦) = −
1
2
𝑡(1 − 𝑡
2
)[(1 − 𝑢)𝑍
𝑗
(𝑥
𝑖−1
, 𝑦) + 𝑢𝑍
𝑗+1
(𝑥
𝑖−1
, 𝑦)] +
1
2
(1 − 𝑡)(2 + 2𝑡 − 3𝑡
2
)[(1 − 𝑢)𝑍
𝑗
(𝑥
𝑖
, 𝑦) + 𝑢𝑍
𝑗+1
(𝑥
𝑖
, 𝑦)] +
1
2
𝑡(1 + 4𝑡 −
3𝑡
2
)[(1 − 𝑢)𝑍
𝑗
(𝑥
𝑖+1
, 𝑦) + 𝑢𝑍
𝑗+1
(𝑥
𝑖+1
, 𝑦)] −
1
2
𝑡
2
(1 − 𝑡)[(1 −
𝑢)𝑍
𝑗
(𝑥
𝑖+2
, 𝑦) + 𝑢𝑍
𝑗+1
(𝑥
𝑖+2
, 𝑦)].
Здесь 𝑖 = 0, 𝑁 − 1
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅, 𝑗 = 0, 𝑀 − 1
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅, 0 ≤ 𝑡 ≤ 1, 0 ≤ 𝑢 ≤ 1, 𝑡 =
𝑥−𝑥
𝑖
ℎ
, 
(7)

31 
𝑢 =
𝑦−𝑦
𝑗
𝑙
, 
ℎ = 𝑥
𝑖+1
− 𝑥
𝑖
,
𝑙 = 𝑦
𝑗+1
− 𝑦
𝑗
.
После определенных сокращений была создана сплайн-функция 
параболической локальной интерполяции: 
𝑆
3,3
(𝑥, 𝑦) = 𝜑
1
(𝑡)[𝜑
1
(𝑢)𝑓
𝑖−1,𝑗−1
+ 𝜑
2
(𝑢)𝑓
𝑖−1,𝑗
+ 𝜑
3
(𝑢)𝑓
𝑖−1,𝑗+1
+
𝜑
4
(𝑢)𝑓
𝑖−1,𝑗+2
] + 𝜑
2
(𝑡)[𝜑
1
(𝑢)𝑓
𝑖,𝑗−1
+ 𝜑
2
(𝑢)𝑓
𝑖,𝑗
+ 𝜑
3
(𝑢)𝑓
𝑖,𝑗+1
+
𝜑
4
(𝑢)𝑓
𝑖,𝑗+2
] + 𝜑
3
(𝑡)[𝜑
1
(𝑢)𝑓
𝑖+1,𝑗−1
+ 𝜑
2
(𝑢)𝑓
𝑖+1,𝑗
+ 𝜑
3
(𝑢)𝑓
𝑖+1,𝑗+1
+
𝜑
4
(𝑢)𝑓
𝑖+1,𝑗+2
] + +𝜑
4
(𝑡)[𝜑
1
(𝑢)𝑓
𝑖+2,𝑗−1
+ 𝜑
2
(𝑢)𝑓
𝑖+2,𝑗
+ 𝜑
3
(𝑢)𝑓
𝑖+2,𝑗+1
+
𝜑
4
(𝑢)𝑓
𝑖+2,𝑗+2
]. 
Здесь 𝜑
1
(𝑡) = −
1
2
𝑡(1 − 𝑡)
2
, 𝜑
1
(𝑢) = −
1
2
𝑢(1 − 𝑢)
2
𝜑
2
(𝑡) =
1
2
(1 − 𝑡)(2 + 2𝑡 − 3𝑡
2
), 𝜑
2
(𝑢) =
1
2
(1 − 𝑢)(2 + 2𝑢 − 3𝑢
2
), 
𝜑
3
(𝑡) =
1
2
𝑡(1 + 4𝑡 − 3𝑡
2
), 𝜑
3
(𝑢) =
1
2
𝑢(1 + 4𝑢 − 3𝑢
2
) 
𝜑
4
(𝑡) = −
1
2
𝑡
2
(1 − 𝑡), 𝜑
4
(𝑢) = −
1
2
𝑢
2
(1 − 𝑢) 
Выведенное выше уравнение (8) называется параболической локальной 
интерполяционной сплайн-функцией. 
В результате исследования было установлено, что параболическая 
локальная интерполяционная сплайн-функция в цифровой обработке сигналов 
является более точной и приближенной, чем другие сплайн-функции. 
В третьей главе диссертации под названием «Параллельные 
алгоритмы 
цифровой 
обработки 
геофизических 
сигналов 
с 
использованием бикубического сплайна в кластерной системе» 
разработаны параллельные алгоритмы цифровой обработки геофизических 
сигналов, полученных от дистанционного зондирования земли и двумерного 
температурного поля, и представлены результаты. На сегодняшний день 
разработка параллельных алгоритмов цифровой обработки сигналов большого 
объема важна для достижения скорости и экономической эффективности 
цифровой обработки этих сигналов.
В нашем исследовании мы создали алгоритм распараллеливания 
процессов моделирования температурного поля с помощью сплайн-функции. 
Зная значения температурных полей в сетках x=1см, y=1см, мы анализировали 
процессы нагрева исходя из этих значений. Программное обеспечение Beta 
Soft Board (DT) с открытым исходным кодом используется для термического 
анализа. Аппроксимация измеренных значений температуры на основе 
бикубических сплайнов позволяет определить любую точку температурного 
поля в трехмерном графическом виде. Одним из основных вопросов, 
рассматриваемых в нашей исследовательской работе, является разработка 
параллельного алгоритма цифровой обработки сигналов температурных полей 
с помощью функции сплайна (рис.2). С помощью разработанного алгоритма 
мы получили следующий результат в виде графика (рис.3-4). 
(8)

32 
Рис. 2. Блок-схема алгоритма параллельного вычисления 
бикубического сплайна 
Рис. 3. Трехмерное графическое представление сигналов начального 
состояния температурных полей 

33 

Download 2,35 Mb.