|
Toshkent axborot texnologiyalari universiteti qarshi filiali
|
| bet | 2/3 | | Sana | 08.12.2022 | | Hajmi | 190.26 Kb. | | #33737 |
Bog'liq Funksiyalarni Lagranj interpolyatsion formulasi yordamida approksimatsiyalash va egri chiziq yasash FIZIKAVIY JARAYONLARNI MODELLASHTIRISH IMKONINI BERUVCHI DASTURLAR ORQALI FIZIKAVIY JARAYONLARNI MODELLASHTIRISH, Ona tili, Vitamin AVeyershtrass teoremasi: Har qanday uzluksiz va differensiallanuvchi funksiyani darajali qator bilan istalgancha aniqlikda almashtirish mumkin.
Ikkinchi muammoni hal qilish uchun esa, koʻphad jadvalda berilgan (n+1) ta nuqtalardan oʻtishini talab qilamiz. Umumiy holda
(3)
boʻlsa, u holda
shartlar bajarilishini talab qilamiz.
(4)
Ushbu sistema – (n+1) ta nomaʼlumli (n+1) ta chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi boʻlib, uning determinanti:
ekanligi isbotlangan. Demak (4) Sistema yechimi mavjud va yagona. Ushbu sistemani yechib, – nomaʼlumlarni topib, ularni (3) formulaga qoʻysak, izlanayotgan approksimatsiyalovchi koʻphadni topgan boʻlamiz.
Taʼrif 3. Berilgan jadval asosida (3) koʻphadni topish masalasiga interpolyatsiya masalasi deyiladi, koʻphadning oʻziga interpolyatsion koʻphad deyiladi.
Taʼrif 4. Interpolyatsion koʻphad yordamida interpolyatsiya tugunlaridan farqli boʻlgan qiymat uchun f(x) funksiyaning taqribiy qiymatini hisoblash masalasiga interpolyatsiya masalasi deyiladi.
Taʼrif 5. Interpolyatsion koʻphad yordamida interpolyatsiya tugunlaridan farqli boʻlgan qiymat uchun f(x) funksiyaning taqribiy qiymatini hisoblash masalasiga ekstropolyatsiya masalasi deyiladi.
M isol.
Agar tajriba kuzatuvlari soni yetarli boʻlsa, interpolyatsion koʻphadni bogʻlanishning matematik modeli sifatida qabul qilish mumkin.
boʻladi deb aytish mumkin.
Muammo shundaki kuzatuvlar soni ortib borgan sari nazariy jihatdan xatolik kamayib boradi, lekin (4) sistema tartibi ham ortib, uni yechish ham qiyinlashadi. Masalan n=10 boʻlganda 11 ta nomaʼlumli 11 ta tenglamalar sistemasini yechishga toʻgʻri keladi.
Lagranj interpolyatsion ko‘phadi
Interpolyatsion koʻphad tuzishning original yoʻlini Lagranj taklif qildi. Lagranj har bir interpolyalash tuguni uchun alohida koʻphad tuzishni taklif qildi.
– larning har biri n-darajali koʻphad, u holda (5) ham n-darajali koʻphad boʻladi. – larni har birini
shartlarni bajaradigan qilib tanlanadi.
- ildizlari – boʻlgan n-darajali koʻphad boʻladi. Tushunarliki koʻphad
Koʻrinishda bolib, bu yerda A-qandaydir konstanta. Shartga koʻra boʻladi agar i=j boʻlganda, bundan A-konstantani aniqlaymiz:
u holda tengmas oraliqlar uchun Lagranj interpolyatsion koʻphadi:
Xususiy hollarda ushbu formula quyidagi koʻrinishlarni oladi:
n=1 boʻlganda ikkita nuqtaga ega boʻlamiz , u holda
koʻrinishni oladi.
n=2 boʻlganda uchta nuqtaga ega boʻlamiz , u holda
Misol. funksiya uchun Lagranj interpolyatsion koʻphadi tuzilsin:
va funksiyalar grafiklari turlicha boʻlsada, lekin aynan [0;0.5] oraliqda bu funksiyalar bir-biriga juda ham yaqinlashadi.
Interpolyatsion koʻphadning qoldiq hadi yoki xatoligi
Boʻlib, shartga koʻra tugunlarda boʻladi. Shuning uchun
nuqta [a;b] oraliqdan olingan nomaʼlum nuqta boʻlgani uchun, ushbu formula xatolikni faqat baholash imkonini beradi. Roll teoremasiga koʻra hosilalar chegaralangan boʻlsa, n ortgan sari xatolik nolga intilib boradi. [a;b] oraliqdagi joriy nuqtada interpolyatsiya xatoligini baholaymiz:
Bunda
|
| |
