24568
0 ‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY VA 0 ‘RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
U. DALABOYEV
VEKTOR VA TENZOR
TAHLIL
0 ‘zbekiston Respublikasi Oiiy va o‘rta maxsus ta’lim
vazirligi tomonidan 5140200 - «Fizika» va 5140400 -
«Astronomiya» yo‘nalish!ari talabalari uchun darslik sifatida
tavsiya etilgan
TOSHKENT - 2015
www.ziyouz.com kutubxonasi
UO‘K: 514.742|
KBK30.3
I
-UBOT
4)«8T"
U.Dalaboyev. Vektor va tenzor tahlil. -T.: «Fan va
texnologiya», 2015,160 bet.
ISBN 978-9943-990-94-4
«Vektor va tenzor tahli!» darsligi oliy o ‘quv yurtlarining fizika va
astronomiya yo‘nalishlari bo‘yicha bakalavrlar tayyorlash uchun bu
fanning tasdiqlangan namunaviy o‘quv dasturi asosida yaratilgan.
Darslikda vektor va tenzor tahlili kursiga oid asosiy tushuncha va
tasdiqlar yoritilgan bo‘lib, ularning fizik mazmuni va tatbiqlari
ko‘rsatilgan. Mavzular bo‘yicha talabalar mustaqil ishi uchun topshi-
riqlar va ulami Maple tizimida yechish texnologiyasi ham berilgan.
UO‘K: 514.742/743
KBK30.3
Taqrizchilar:
A.RasuIov - f-m.f.d., professor;
A.Abdumalikov - f-m.f.d., professor.
ISBN 978-9943-990-94-4
© «Fan va texnologiya» nashriyoti, 2015.
www.ziyouz.com kutubxonasi
Matematika g'oyat b iryuksak
fa n ki, unda bir olarn mo ‘jiza yotadi.
Mirzo Ylug‘bek.
KIRISH
Matematikani o‘rganishning bevosita amaliy tatbiqlaridan tashqari
yosh mutaxasislami har taraflama rivojlangan komil inson qilib tarbiya-
lashda uning alohida o'ringa ega ekanligi ta'kidlamasdan bo‘lmaydi.
Tahliliy mulohaza, mantiqiy mushohada, fazoviy tasavvur, abstrakt
tafakkur inson faoliyatining barcha sohasi uchun zarur qobilyatki, bular
matematikani o'rganish jarayonida shakllanib boradi.
Matematikada o‘zgaruvchan miqdorlar tushunchasining kiritilishi
qanday muvaffaqiyat qozongan bo‘lsa, fizikada maydon tushuncha-
sining kiritilishi ham shunday ahamiyat kasb etgan.
Mamlakatimizning oily ta’lim muassalarida barcha yo‘nalishlar
bo'yicha bakalavrlar > tayyorlash tizimiga o‘tilgach, fanlaming o‘quv
rejalari va dasturlarini davlat standartiga moslash, shu bilan birga,
halqaro ta’lim berish standartlarini qoMlash, ajdodlarimizning boy milliy
meroslarini shu jarayonga jalb qilish zamrati tugMldi. Har bir yo‘nalish
bir necha mutaxassisliklami o‘z ichiga olganligi sababli mamlakati-
mizdagi barcha oliy o‘quv yurtlarida bakalavrlar tayyorlash bo‘yicha
fanlardan umumiy o‘quv dasturi tayyorlangan.
So‘nggi yillarda oliy taMimda amalga oshirilayotgan sifat o‘zgar-
tirishlar, jumladan «5140200 - fizika» va «5140400 - astronomiya»
ta’lim yo‘nalishining tashkil qilinishi va muallifni ko‘p yillar mobaynida
0 ‘zMU da vektor va tenzor tahlil kursidan olib borgan ma’ruza va
amaliy mashg‘ulotlarida orttirgan tajribasi ushbu darslikning yozilishiga
sabab boMdi. Bu darslik universitetlaming «Fizika va astronomiya»
(bakalavriyat) taMirn yo‘nalishi o‘quv rejasidagi «Vektor va tenzor
tahlili» kursi o‘quv dasturi asosida yozilgan. Darslikning koMami
talabalaming keyingi bosqichda elektrodinamika, nazariy fizika va
kristallografiya kabi fanlami o'rganishga zamin tayyorlaydi.
3
www.ziyouz.com kutubxonasi
Bu darslikdagi maMumotlami tushunish uchun talabalar matematik
tahlil, vektorlar algebrasi va analitik geometriya kurslaridan kerakli
bilimlarga ega boMishi kerak.
Ushbu darslik matematika va fizikaning muhim qismlaridan biri
boMgan vektorlar va tenzor maydonlar tushunchasini o‘rganishga, tahlil
qilishga bagMshlangan. Bu darslikdan fizika, matematika va texnika oliy
taMim muassalari talabalari, aspirantlar va keng muhandislar guruhi
foydalanishi mumkin. Undagi skalyar, vektor maydonlar va tenzorlar
tushunchasi, ulardagi muhim matematik amallar sodda tilda bayon
etilishiga harakat qilingan.
Dekart tomonidan koordinatalar sistemasini kiritilishi matematika
va uning tatbiqlarida revolyusiya yasadi. Keyingi qadam vektor
hisobning kiritilishi boMdi. Ba'zi fizik masalalami yechish uchun esa
murakkab miqdorlar - tenzorlar kerak boMadi. Tenzor kattaliklar
nisbiylik nazariyasi va differensial geometriyada keng qoMlaniladi.
Tenzor miqdorlar fizik jarayon xususiyatlarini invariantlari yordamida
aniqlashga yordam beradi. Invariantlar deb shunday bogManishlarga
aytiladiki, ular bir sistemadan boshqasiga o‘tganda o‘zgarmaydi. Fizika
va mexanikaning qonunlari koordinatalar sistemasini tanlashiga bogMiq
emas. Shuning uchun biror fizik jarayonning asosiy xususiyatini
aniqlash uchun uning koorinatalar sistemasiga bogMiq emasligini
ko‘rsatish kerak boMadi. Fizik jarayonni ifodalovchi tenglamalarda bir
sistemadan ikkinchisiga o‘tish zaruriyati tugMladi. Shuning uchun ham
tenzor hisobning asosiy usulida koordinatalar sistemasini almashtirish
yotadi. Fizik kattaliklar birliklarga ega. Fizik jarayonni ifodalovchi
tenglamaning hadlari bir xil oMchamli boMishi kerak. Bu holat esa
tenglama hadlarining bir xil rangli tenzor ekanligini taqozo qiladi.
Maydonlar nazariyasidagi har bir matematik amallar nazariy va
amaliy jihatdan tushunarli holda keltirilgan. Shuning uchun talabalar va
fizik jarayonlar bilan mashg‘ul boMgan mutaxassislar uchun ushbu
darslik amaliy ishlariga yordam beradi.
Darslik ikki bob va ikki ilovadan tashkil topgan. Darslikning
birunchi qismida skalyar va vektor maydonlarga oid tushunchalar,
maydonning amallariga tegishli maMumotlar, maydon amallarining egri
chiziqli koordinatalardagi ifodalari keltirilgan.
Tenzorga oid boMimda unga tegishli amallar to‘g‘ri dekart koor-
dinatalar sistemasida bayon qilingan. Har bir mavzular misoliar bilan
bayon qilingan va mustaqil ishlash uchun mashqlar berilgan.
4
www.ziyouz.com kutubxonasi
Darslikda ikkita ilova keltirilgan. Birinchi ilovada kursni o'qitishda
zarur boMga asosiy formulalar bayon qilingan.
Hamma sohalarda matematik qonuniyatga asoslangan zamonaviy
kompyuterlaming muvaffaqiyat bilan tatbiq etilishi hamda uning
kundan-kunga rivojlanib borayotgani, yosh mutaxasislarning tegishli
sohalar masalalarining matematik modellarini tuza bilishi va unda
hisoblash texnikasini joriy etish vazifasini qo‘ymoqda. Ayniqsa, analitik
hisoblashlami amalga oshiradigan bir qancha zamonaviy paketlar ishlab
chiqildi (Mathematica, MathCad, Maple va h.k). Biz mustaqil ishlarni
bajarishda informatsion texnologiyalardan unumli foydalanish va zamon
talabiga mos keladigan niutaxassislarni tayyorlashni nazarda tutib
2- ilovada maydon amallarini Maple tizimida bajarishga oid namunalar
bilan toMdirdik.
Har bir bob tegishli paragraflarga boMingan boMib, har bir paragraf
mavzuga taalluqli asosiy ta'riflar, tasdiqlar, teoremalami o‘z ichiga
oladi, shuningdek, ularning har biri an'anaviy misollami batafsil tahlil
yordamida yechish orqali namoyish qilingan.
0 ‘ylaymizki, darslik o‘z o‘quvchilarini topadi va boshqa mavjud
o‘quv adabiyotlari qatorida vektor va tenzor tahlil kursi bo‘yicha ularga
bilimlarini oshirishga ko'mak beradi. Darslik haqidagi fikr mulohazalar,
undagi mavjud kamchiliklar bo‘yicha takliflami muallif mamnuniyat
bilan qabul qiladilar.
Muallif.
5
www.ziyouz.com kutubxonasi
Agar insoniyat tomonidan yaratilgan
ilmiy yangiliklarning matematik
isboti b o ‘lmasa uni haqiqiy
fa n qatoriga qo ‘shib bo ‘Imaydi.
Leonardo da Vinchi
| 