Xatoliklar tushunchasi
Xatoliklar tushunchasi sonli hisoblashlarning aniqligi va ishonchliligini baholash uchun juda muhim. Xatoliklar asosan uch turga bo'linadi: **absolyut xatolik**, **nisbiy xatolik** va **yuvarlash xatoliklari**.
1.Absolyut xatolik: Absolyut xatolik haqiqiy qiymat (x) bilan hisoblangan qiymat (x~) o'rtasidagi farq sifatida aniqlanadi. Matematik tarzda ifodalanadi:
Absolyut xatolik=∣x−x~∣
2.Nisbiy xatolik: Nisbiy xatolik esa absolyut xatolikning haqiqiy qiymatga nisbatan o'lchovidir. Matematik ifodasi:
Nisbiy xatolik=∣x−x~∣/∣x∣
3. Yuvarlash xatoliklari:
Kompyuterlar sonlarni cheklangan aniqlikda saqlashlari sababli, hisoblashlar davomida sonlarning yuvarlanishi natijasida xatoliklar yuzaga keladi. Bu xatoliklar asosan ikkilik (binary) tizimda sonlarni saqlash jarayonida paydo bo'ladi. Yuvarlash xatoliklari kichik bo'lishi mumkin, ammo ko'p marta amalga oshirilgan hisoblashlar davomida ularning ta'siri katta bo'lishi mumkin.
Sonli usullar fanida boshqa turdagi xatoliklar ham mavjud bo'lishi mumkin, masalan, trunkatsiya xatoliklari (ya'ni, sonsiz yaqinlashish jarayonida qoldirilgan qismlar tufayli yuzaga keladigan xatoliklar) va diskretizatsiya xatoliklari (cheksiz davom etuvchi jarayonni chekli qiymatlar bilan ifodalashdan kelib chiqadigan xatoliklar). Bu xatoliklar ham hisoblash jarayonining aniqligiga ta'sir qiladi.
Sonli usullar fani ushbu xatoliklarni kamaytirish va boshqarish usullarini ishlab chiqishga katta e'tibor qaratadi, chunki bu usullar real dunyo muammolarini hal qilishda keng qo'llaniladi.
2.Hisoblash metodlari
Sonli usullar fanida hisoblash metodlari matematik muammolarni raqamli kompyuter yordamida hal qilish usullarini o'z ichiga oladi. Bu metodlar aniq yechimlar topish qiyin bo'lgan yoki mumkin bo'lmagan vaziyatlarda taxminiy yechimlar topish uchun ishlatiladi. Quyida sonli usullarda keng qo'llaniladigan ba'zi hisoblash metodlari keltirilgan:
1. Yaqinlashgan (Approximation) metodlari:
- Polinom yaqinlashishi: Bu metodda murakkab funksiyalar oddiy polinomlar yordamida yaqinlashtiriladi. Eng ko'p qo'llaniladigan usul — Teylor qatori va Chebyshev polinomlari.
- Splin yaqinlashishi: Bu metodda murakkab funksiyalar qismlarga bo'linib, har bir qism uchun past darajali polinomlar bilan yaqinlashtiriladi. Eng ko'p qo'llaniladigan usul — kubik splin.
2. Interpolatsiya metodlari:
Interpolatsiya berilgan nuqtalar orqali funksiyani aniqlashdir. Bu usullar kiritilgan nuqtalar orasida funksiya qiymatlarini topishga yordam beradi.
- Lagrange interpolatsiyasi: Berilgan nuqtalar uchun yagona polinom yaratadi.
- Nyuton interpolatsiyasi: Nyuton farqlari yordamida polinom yaratadi.
3. Integratsiya va Differensiallash metodlari:
- Sonli integratsiya (kvadratura): Bu metodlar aniq integrallarni taxminiy usulda hisoblash uchun ishlatiladi. Mashhur usullar: Trapetsiya metodi, Simpson qoidasi.
- Sonli differensiallash: Bu metodlar funksiyaning hosilalarini taxminiy usulda hisoblash uchun ishlatiladi. Mashhur usullar: O'ng, chap va markaziy farq formulalari.
4. Differensial tenglamalarni yechish:
- Oddiy differensial tenglamalar (ODT): Bu metodlar vaqtga bog'liq bo'lgan muammolarni hal qilish uchun ishlatiladi. Mashhur usullar: Euler metodi, Runge-Kutta metodlari.
- Qiyosiy differensial tenglamalar (QDT): Bu metodlar ikki yoki undan ortiq o'zgaruvchi bo'lgan muammolarni hal qilish uchun ishlatiladi. Mashhur usullar: Chegaraviy element usuli (FEM), Chegaraviy farq usuli (FDM).
5. Chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechish:
- To'g'ridan-to'g'ri metodlar: Bu metodlar tenglamalar tizimini to'g'ridan-to'g'ri yechishga qaratilgan. Mashhur usullar: Gauss eliminatsiyasi, LU ajratish.
- Iterativ metodlar: Bu metodlar ketma-ket yaqinlashishlar yordamida tenglamalar tizimini yechishga qaratilgan. Mashhur usullar: Jakobiy usuli, Gauss-Zeydel usuli.
6. Ixtiyoriy qiymat muammolari:
Bu metodlar differensial tenglamalarni berilgan chegaraviy sharoitlarda yechishga yordam beradi. Mashhur usullar: Otish usuli, Ko'pburchak usuli.
Bu hisoblash metodlari va usullari real dunyodagi ko'plab muammolarni yechish uchun qo'llaniladi, masalan, fizik jarayonlarni modellash, iqtisodiy tahlil, injiniring muammolari va boshqa ko'plab sohalarda.
|
