|
18. Oliy-matematika-2012-oquv-qollanma-Begmatov-A. (3). pdf
|
| Sana | 15.06.2023 | | Hajmi | 0.7 Mb. | | #73238 |
Bog'liq Ko‘p o‘zgaruvchili funksianing differensiali Axborot xati konf. ADU, Mayers- Briggs qo\'shimcha, 36-qo\'shma qaror, 27.04.2022, Oila tushunchasi, uning turlari va shakillari, fHy1I56Pj1m1Sqci4f9q3e28B9S0AiBM, dars ishlanma, 11-21-ALGORITMIK TILLAR VA DASTURLASH, Мустақил ишни ташкиллаштириш, Иқтибослик учун, Документ Microsoft Word, Calendar plan-RAQAMLI VA AXBOROT TEXNOLOGIYALARI (2), статья, Исмаилова Н С , Шагазатов У У Жахон иқтисодиёти ва халқаро (1), A5
Ko‘p o‘zgaruvchili funksianing differensiali. Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning to‘la differensiali. Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning ekstrimumi. Zaruriy va yetarli shartlar.
3.1. O‘zgarmas va o‘zgaruvchi miqdorlar. Qaralayotgan jarayonda bir xil son qiymatlarini qabul qiladigan miqdorlarga o‘zgarmas miqdorlar deyiladi. Masalan, qanday radiusli aylana olmaylik, uning uzunligining deametriga nisbati bir xil sondan iborat bo‘ladi. Bu holda nisbat o‘zgarmas miqdordir.
Qaralayotgan jarayonda har xil son qiymatlari qabul qiladigan miqdorlarga o‘zgaruvchi miqdorlar deyiladi. Masalan, havo harorati (temperaturasi), vaqt, harakatning tezligi o‘zgaruvchi miqdorlardir. Bunday misollarni ko‘plab keltirish mumkin. Hamma o‘zgaruvchi miqdorlarni birdaniga o‘rganib bo‘lmaydi. Endi ikkita o‘zgaruvchi miqdorlar orasidagi bog‘lanishni qaraymiz.
3.2. Funksiya va uning berilish usullari
1. Funksiya tushunchasi. Funksiya tushunchasi matematikaning eng asosiy tushunchalaridan biri bo‘lib, uning yordamida tabiat va jamiyatdagi ko‘p jarayon va
hodisalar modellashtiriladi.
Matematik tahlilda elementlari haqiqiy sonlardan iborat, bo‘lgan to‘plamlarni
qaraymiz. X va Y lar haqiqiy sonlar to‘plami bo‘lsin. x X to‘plamda, yY to‘plamda o‘zgarsin.
Ta’rif. x X har bir x ga biror qoida yoki qonun bo‘yicha yY dan bitta y mos qo‘yilsa, X to‘plamda funksiya berilgan (aniqlangan) deb ataladi va u
y = f (x)
simvol bilan belgilanadi. Ayrim hollarda y = xf ham deb belgilanadiki, bunda kompyuterda oldin x qiymati olinib, keyin hisoblanadigan simvol olinadi. Bunda X to‘plamga funksiyaning aniqlanish sohasi, Y to‘plamga o‘zgarish sohasi yoki qiymatlar to‘plami deyiladi. Odatda funksiya aniqlanish sohasini D, qiymatlar to‘plamini E bilan belgilanadi.
Shunday qilib, har bir element x X ga bitta va faqat bitta yY moslik o‘rnatilgan bo‘lsa, bu moslikka X to‘plamda funksiya aniqlangan deyiladi. x ga erkli o‘zgaruvchi yoki argument, y ga esa erksiz o‘zgaruvchi yoki x ning funksiyasi deyiladi.
Shunday qilib, funksiya berilgan bo‘lishi uchun: 1) X to‘plam berilishi kerak (ko‘p hollarda uni x bilan y o‘zgaruvchilarning bog‘lanishiga ko‘ra topiladi); 2) x o‘zgaruvchining X to‘plamdan olingan har bir qiymatiga unga mos qo‘yiladigan y ni aniqlaydigan qoida yoki qonun berilishi kerak. (ta’rifda uni f simvol bilan
belgiladik).
M asalan; 1) f X = (−, +) to‘plamga tegishli bo‘lgan har bir songa uning o‘zini o‘ziga ko‘paytirib, ya’ni kvadratga ko‘tarib mos qo‘yuvchi qoida bo‘lsin. Bu holda y = x2 funksiya hosil bo‘ladi. Bu funksiya (−, +) oraliqda aniqlangan; 2) f har bir x0, +) songa shu sondan olingan kvadrat ildizni mos qo‘ysin. Bu y = x funksiyani ifodalaydi. Uning aniqlanish sohasi 0, +)bo‘ladi.
1 -misol. y= x−3 + 1 funksiyaning aniqlanish sohasini toping. 4−x
Yechish. Ma’lumki, funksiyaning aniqlanish sohasi x ning shunday qiymatlari to‘plamiki, bunda y funksiya haqiqiy son qiymatlarga ega bo‘lishi kerak. Berilgan
funksiyada
x − 3 0,
4 − x 0
bo‘lgandagina x ning har bir qiymatiga mos keladigan y ning qiymati haqiqiy bo‘ladi. Bu tengsizliklar sistemasidan, x 3, x 4bo‘lib, ya’ni 3 x 4
bo‘lishini topamiz. Demak, berilgan funksiyaning aniqlanish sohasi 3, 4) bo‘ladi.
2. Funksiyaning berilish usullari. Funksiya ta’rifida keltirilgan x o‘zgaruvchining har bir qiymatiga mos qo‘yiladigan y ni aniqlovchi qoida yoki qonun turlicha bo‘lishi mumkin. Demak, funksiyaning berilishi ham turlichadir.
Funksiya analitik, jadval va grafik hamda kompyuter usullari yordamida berilishi mumkin:
funksiyaing analitik usul bilan berilishida, x o‘zgaruvchining har bir qiymatiga mos keladigan y ning qiymati, x argument ustida algebraik amallarning bajarilishi natijasida, ya’ni formulalar yordamida beriladi. Masalan,
y=x3 +1, y2 = x2+−53, y= 3x+1, y= log2 (x+ 3); x
o‘zgaruvchilar orasidagi bog‘lanish jadval ko‘rinishida berilishi mumkin.
Masalan, kuzatish natijasida sutni yopiq idishda qizdirilganda P1 bosim ostida uning qaynash temperaturasi t1, P2 bosim ostida qaynash temperaturasi t2 va h.k. bo‘lishini topganda qo‘yidagi jadval kelib chiqadi.
-
Bosim P
|
P1
|
P2
|
…
|
Pn
|
Temperatura t
|
t1
|
t2
|
…
|
tn
|
Bundan ko‘rinadiki P bosim bilan t temperatura orasida bog‘lanish bo‘lib,
P argument, t funksiya bo‘ladi. Funksiyaning bunday berilishiga jadval usulda berilgan deyiladi. Bunday usul ko‘proq tajribalarda ishlatiladi.
Funksiyaning grafik usulida berilishida, x va y o‘zgaruvchilar orasidagi bog‘lanish tekislikdagi biror chiziq yordamida beriladi. Bunda X va Y to‘plamlar orasidagi moslik grafik bilan beriladi. XOY tekis-likda l chiziq berilgan bo‘lsin. x ning qiymatiga mos kelgan y ning qiymatini, topish uchun x nuqtadan OX o‘qiga perpendikulyar o‘tkazamiz. U l chiziqni bitta A nuqtada kesib o‘tadi. A nuqtadan
OY o‘qiga perpendikulyar o‘tkazamiz, bu perpendikulyarning OY o‘qi bilan kesishish nuqtasi, y ning x ga mos qiymati bo‘ladi. Ma’lumki, bunday moslik l chiziq yordamida bajariladi. Funksiyaning bunday berilishi, grafik usulda berilgan deyiladi. Funksiyaning grafik usulida berilishidan, uni analitik usul bilan ifodalash qiyin bo‘lgan hollarda va funksiyaning sifat o‘zgarishi grafik usulda yaxshi ko‘rinadigan hollarda foydalaniladi. Masalan, fizikaviy tajribalar jarayonida
ossillografdan olinadigan grafik.
algoritmik yoki kompyuter usuli. Funksiyaning bunday usulda berilishida x ning har bir qiymati uchun, y = f (x) funksiyaning qiymatini hisoblaydigan algoritim yoki programma berilgan bo‘ladi. Bunday programma EHMga qo‘yilgan bo‘lib funksiyaning qiymati avtomatik hisoblanadi.
3.3. Funksiyaning ayrim hollari
Oshkor va oshkormas funksiyalar. Funksiya y = f (x) ko‘rinishda, ya’ni y ga nisbatan yechilgan bo‘lsa, unga oshkor funksiya deyiladi. Funksiya F(x, y) = 0 ko‘rinishda berilgan bo‘lsa, ya’ni y ga nisbatan yechilmagan bo‘lsa,
oshkormas funksiya ko‘rinishda berilgan deyiladi. Masalan, y = 3x2 +5, y = sin x, y = 4x funksiyalar oshkor ko‘rinishda;
2x−3y+ 6 = 0, x2 +exy +3 = 0 funksiyalar oshkormas ko‘rinishda berilgan. Shuni ta’kidlaymizki hamma F(x, y) = 0 ko‘rinishdagi tenglik ham funksiyani ifodalay bermaydi. Masalan, x2 + y2 + 4 = 0 tenglama funksiyani ifodalamaydi, chunki x ning har bir qiymatiga y ning haqiqiy son qiymatini mos qo‘yish mumkin
emas.
Murakkab funksiya. y = f (u) bo‘lib, u =(x) funksiya berilgan bo‘lsa, y funksiyaga (x) funksiyaning funksiyasi yoki y ga x ning murakkab funksiyasi deyiladi. Masalan, y = lg(x2 +1) funksiyada u = x2 +1 bo‘lib. y x ning murakkab funksiyasi bo‘ladi. Bundan tashqari
y = sin(x2 +1), y= 3x+5, y= 3 (x3 −1)2 va h.k. lar ham, murakkab funksiyaga misol bo‘laoladi.
T eskari funksiya. y = f (x) funksiya berilgan bo‘lsin. y funksiyaning qiymatlar to‘plamidagi har bir qiymatiga x argumentning aniqlanish sohasidan bitta qiymati mos qo‘yilgan bo‘lsa, berilgan funksiyaga teskari x = d(y) funksiya berilgan bo‘ladi va D(f ) = E(d) va E(f ) = D(d) har bir x0 D( f ) = E(d) va y0 = E( f ) = D(d) bo‘lib. y0 = f (x0) faqat x0 = d(y0) uchun bajariladi. Masalan y = 2x−3 funksiyaga teskari funksiya 2x = y +3, x =(y+3)/2 bo‘ladi. y=x3 funksiya x = 3 y teskari funksiyaga ega bo‘ladi. O‘zaro teskari bo‘lgan funksiyalarning grafiklari y=x to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrik bo‘ladi.
3.4. Funksiyaning limiti
1 . 1-ta’rif. y = f (x) funksiya x=a nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo‘lib, istalgan 0 son uchun shunday 0 son mavjud bo‘lsaki, x−a tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha xa nuqtalar uchun f (x) − A tengsizlik bajarilsa, A chekli son y = f (x)funksiyaning x=a nuqtadagi limiti deb ataladi va quyidagicha yoziladi lim f (x) = A yoki x → a da f (x) → A (1) x→a
Funksiya limitining ta’rifidan kelib chiqadiki x−a= cheksiz kichik bo‘lganda f (x)− A ham cheksiz kichik bo‘ladi.
2 -ta’rif. y = f (x) funksiya, x ning yetarlicha katta qiymatlarida aniqlangan bo‘lib, istalgan 0 son uchun shunday, N0 mavjud bo‘lsaki, x N tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha x lar uchun f (x) − A tengsizlik bajarilsa, o‘zgarmas
A son, y = f (x) funksiyaning x→ dagi limiti deyiladi, va
lim f (x) = A (2) x→
bilan belgilanadi.
1-ta’rifda faqat x a yoki x a bo‘lgan qiymatlar qaralsa, funksiyaning chap yoki o‘ng limit tushunchasi kelib chiqadi va
lim f (x), lim f (x) (3) x→a−0 x→a+0
bilan begilanadi.
3-ta’rif. Limiti A = 0 bo‘lgan funksiyaga cheksiz kichik funksiya (ch. kich. f.) deyiladi.
4-ta’rif. Limiti A=+ yoki A=− bo‘lgan funksiyalarga cheksiz katta
funksiya (ch. kat. f.) deyiladi va lim f (x) = +,lim f (x) =− (4)
x→a x→a
bilan belgilanadi.
Limitning ta’rifidan kelib chiqadiki y = C o‘zgarmas miqdorning limiti o‘ziga teng.
2. Funksiya limitining asosiy xossalari:
yig‘indining limiti. Chekli sondagi funksiyalar algebraik yig‘indisining limiti, qo‘shiluvchi funksiyalar limitlarining algebraik yig‘indisiga teng, ya’ni f1(x) va f2(x) funksiyalarning x→a dagi limitlari mavjud bo‘lsa,
limf1(x) f2(x)= lim f1(x) lim f2(x) (5) x→a x→a x→a
chekli sondagi funksiyalar ko‘paytmasining limiti funksiyalar
limitlarining ko‘paytmasiga teng, ya’ni
limf1(x) f2(x)= lim f1(x)lim f2(x) (6) x→a x→a x→a
Natija: O‘zgarmas ko‘paytuvchini limit belgisidan tashqariga chiqarish mumkin, ya’ni,
lim→ cf1(x)= clim→a f1(x) (7)
x a x
Ikkita funksiya nisbatining limiti, maxrajning limiti no‘ldan farqli bo‘lsa, bu funksiyalar limitlarining nisbatiga teng, ya’ni lim f2(x) 0
x→a
bo‘lsa,
f1(x) = limx→a f1(( )x) (8) lim x→a f2(x) lim f2 x x→a
bo‘ladi.
Limitlarni hisoblashda quyidagi limitlardan foydalaniladi:
sin x
lim =1; (9)
x→a x
lim1+ 1x = lim(1+)1/= e, e = 2,71828... (10) x→ x x→0
Bu limitlarga mos ravishda birinchi va ikkinchi ajoyib limitlar deyiladi. 3.5. Aniqmasliklar va ularni ochish
f (x)
1.Aniqmasliklar. lim limitni hisoblashda f (x), (x) x→a (x)
funksiyalar ch.kich.f. lar bo‘lsa, f (x)/(x) nisbatga x→a da (0/0) ko‘rinishdagi aniqmaslik deyiladi. f (x), (x) funksiyalar ch.kat.f. lar bo‘lsa, f (x)/(x) nisbatga x →a da (/) ko‘rinishidagi aniqmaslik deyiladi. Xuddi shunga o‘xshash − , 0, 00, 0 aniqmasliklar
lim f1(x) −(x), limf (x)(x) va limf (x)(x)
x→a x→a x→a
limitlarni hisoblashda kelib chiqadi. Bunday hollarda limitlarni hisoblashga aniqmasliklarni ochish deyiladi.
(0/0) va (/) ko‘rinishdagi aniqmasliklarni ochishda quyidagi xossadan foydalaniladi: f (x)va (x) funksiyalar x=a nuqtaning biror atrofidagi hamma nuqtalarda o‘zaro teng bo‘lsa, ularning x→a dagi limiti ham teng bo‘ladi.
x2 −9 x +3
Masalan, f (x) = va (x) = funksiyalar x ning 2(x −3) 2
x = 3 dan boshqa hamma qiymatlari uchun teng, chunki
x 2 −9x+3
= =
2(x−3)2
Yuqoridagi xossaga asosan,
lim f (x) = lim(x)
x→a x→a
bo‘ladi, ya’ni
x2 −9 x+3 6
lim = lim = = 3 x→32(x−3) x→3 2 2
natijaga ega bo‘lamiz.
Funksiyalarning limitini topishga bir necha misollar qaraymiz.
5x+ 6 5
1-misol. lim =
x→ 6x 6
ekanligini funksiya limitining ta’rifidan foydalanib isbotlang.
Yechish. Buni isbotlash uchun f (x) = (5x+6)/6x o‘zgaruvchi miqdor va
A = 5/6 o‘zgarmas miqdor orasidagi farq x→ da cheksiz kichik funksiya
ekanligini ko‘rsatish kifoya. Demak,
5x + 6 5 5x + 6−5x 6 1
− = = =
6x 6 6x 6x x
1/ x o‘zgaruvchi miqdor x→ da cheksiz kichik funksiyadan iborat. Shunday
qilib,
lim (5x + 6)/6x = 5/6.. x→ 2-misol. lim(2x2 −5x+4) = 7
x→3
ekanligini isbotlang hamda x va (2x2 −5x + 4)larning qiymatlari jadvali bilan
tushuntiring.
Yechish. x →3 bo‘lganligi uchun x −3 = cheksiz kichik miqdordir.
x= 3+ ni (2x2 −5x + 4) − 7
ayirmaga qo‘yib,
2(3+)2 −5(3+) + 4 −7 = 2(9+ 6+2) −15−5+ 4 −7 =
=18+12+ 22 −15−5+ 4− 7 = 22 + 7
natijaga ega bo‘lamiz.
cheksiz kichik funksiya bo‘lganligi uchun 22 +7 ham cheksiz kichik bo‘ladi.
Shunday qilib, lim(2x2 −5x + 4) = 7 isbot bo‘ldi.
x→3
Endi yuqoridagi holatni x argument, 2x2 −5x+4funksiya qiymatlari jadvali bilan ko‘rsataylik. Ma’lumki x →3 intiladi.
x
|
2
|
2,5
|
2,8
|
2,9
|
2,99
|
2,999
|
→ 3
|
2x2 −5x+4
|
2
|
4
|
5,68
|
6,32
|
6,9302
|
6,993002
|
→ 7
| Bu jadvaldan ko‘rinadiki, argumentning 3 ga yaqinlashib boruvchi qiymatlari uchun, funksiyaning mos qiymatlari 7 ga yaqinlashib boradi, ya’ni x −3 cheksiz kichik miqdorga 2x2 −5x+4−7 ayirmaning ham cheksiz kichik miqdori to‘g‘ri keladi. Yuqoridagi jadvalda x 3 bo‘lib, x →3 holni qaradik. x 3 bo‘lib, x →3 holni o‘quvchiga mustaqil ko‘rsatishni tavsiya qilamiz. 3-misol. lim(4x2 − 6x + 3)limitni hisoblang.
x→2
Yechish. Algebraik yig‘indining limiti, (5) formula, o‘zgarmas ko‘paytuvchini limit ishorasidan chiqarish (7) formulalarga asosan:
lim(4x2 −6x +3) = lim 4x2 −lim 6x +lim lim 3 = 4lim x2 −6lim x + lim 3 =
x→2 x→2 x→2 x→2 x→2 x→2 x→2
= 4(lim x)2 −6lim x +3 = 422 −62+3 = 7
x→2 x→2
hosil bo‘ladi.
Yuqoridagi misolda, limitlarning xossalariga asosan, argument x ning o‘rniga uning limitik qiymatini qo‘yishga olib keldi.
4-misol. lim(3x2 − 4x + 7)/(2x2 − 5x + 6) limitni hisoblang.
x→1
Yechish. Ikkita funksiya nisbatining limiti (8) formula hamda oldingi misolda
foydalanilgan limitlarning xossalarini qo‘llasak,
lim 3x2 − 4x + 7 = limx→1((3x2 − 4x + 7)) = limx→13x2 − limx→14x + limx→17 =
x→1 2x2 −5x + 6 lim 2x2 −5x + 6
→
3(limx(→1 x))22 − 4(limx→1 x)+ 7x =1 3122 − 41+ 7
=
2 lim −5limx + 6 21 −51+ 6
x→1 x→1 bo‘ladi.
lim2x2 − lim5x + lim6 x→1 x→1 x→1
== 2
Ratsional funksiyaing limitini hisoblash shu funksiyaning argument x ning
limitik qiymatidagi, qiymatini hisoblashga keltirildi.
Eslatma. f (x) elementar funksiyalarning x→a intilgandagi limiti (a
aniqlanish sohasiga tegishli) funksiyaning x=a nuqtadagi qiymatiga teng bo‘ladi.
Masalan,
l imlg(t + t 2 +80)+ t 2 +8=lg(1+ t 2 +80) + 1+8 =lg10+3=1+3= 4.
t→1
3x 2 −x−2
5-misol. lim limitni hisoblang.
x→1 4x2 −5x+2
Yechish. x=1 da surat ham, maxraj ham nolga aylanib (0/0) ko‘rinish-dagi
aniqmaslik hosil bo‘ladi.
Surat va maxrajni ax 2 +bx+ c = a(x − x 1)(x − x 2 ) formula yordamida chiziqli ko‘paytuvchilarga ajratamiz. Bunda x 1 va x 2 lar ax 2 +ba+c = 0 kvadrat tenglamaning ildizlari.
l im= lim=
Demak, x→1x→1
= lim= 5/3 x→1
bo‘ladi.
6x 2 +5x+ 4
6-misol. lim limitni hisoblang. x→1 3x2 +7x−2
Yechish. x→ da ( / ) ko‘rinishdagi aniqmas ifodaga ega bo‘lamiz.
Bunday aniqmaslikni ochish uchun kasrning surat va maxrajini x ning eng yuqori darajalisiga, ya’ni x 2 ga bo‘lamiz, hamda limitlarning xossalaridan foydalansak
6x 2 + 5x+ 4 6 + 5/ x+ 4/ x 2
lim = lim = x 3x 2 + 7x− 2 x → 3+ 7/ x− 2/ x 2
lim(6 + 5/ x+ 4/ x 2 ) x→ 6 + 0 + 0
= = = 2 lim (3+ 7/ x− 2/ x 2 ) 3+ 0 + 0
x→
bo‘ladi. Bunda 5/ x, 4/ x 2 7/ x, 2/ x 2 lar x → da cheksiz kichik
funksiyalardir.
x 2 −9
7-misol. lim limitni hisoblang. x→3 x+1−2
Y echish. x =3 da surat va maxraj 0 ga teng bo‘ladi. Maxrajda x+1 irratsional ifoda mavjud, uni suratga o‘tkazamiz, buning uchun kasrning surat va maxrajini x+1+2 ga ko‘paytiramiz.
(x 2 − 9)( x +1 + 2) (x − 3)(x + 3)( x +1 + 2)
l im= lim= x→3 ( x +1 − 2)( x +1 + 2) x→3 (x +1)2 − 22
= lim (x − 3)(x + 3)( x +1 + 2) = lim (x −3)(x + 3)( x +1 + 2) = x→3 x +1− 4 x→3 (x −3)
=lim (x + 3)( x +1 + 2) = (3+ 3)( x +1 + 2) = 64 = 24.
x→3
sin x −cosx
8-misol. lim limitni hisoblang.
x→/ 4 cos2x
Yechish. cos2x = cos 2 x−sin 2 x bo‘lganligi uchun
sin x− cosx − (cosx− sin x)
lim = lim = x→/ 4 cos2x x→/ 4 cos2 x−sin2 x
=− lim cosx−sin x =− lim 1 = x→/ 4 (cosx−sin x)(cosx+ sin x) x→/ 4 cosx+ sin x
= − = − =−
natijani olamiz.
sin5x
9-misol. lim limitni birinchi ajoyib limitdan
x→0 x
foydalanib hisoblang.
Yechish. 5x=, deb almashtirsak, bundan x=/5, x →0 →0 bo‘ladi.
Shuning uchun,
sin5x sin sin
lim = lim = 5lim = 51= 5, x→0 x → 0/5 → 0
chunki
sin lim =1.
→ 0
10-misol. lim(1+ 3/ x) x limitni ikkinchi ajoyib limitdan foydalanib x→
hisoblang.
Yechish. x→ da limitga o‘tsak, 1 ko‘rinishdagi aniqmaslik kelib chiqadi. 3/ x = bilan almashtirsak, bu yerdan x = 3/ hamda x→ da → 0 bo‘ladi..Demak,
lim (1+ 3/ x) x = lim (1+) 3/= lim (1+) 1/ 3= e 3 x→ →0 →0
kelib chiqadi.
Shundayqilib, lim(1+ 3/ x) x = e 3. x→
11-misol. lim ( 1 − 2 ) limitni hisoblang.
x →1 x −1 x 2 −1
Yechish: x →1da 1/( x−1 ) → va 2/(x 2 −1 ) → bo‘lib, (−) ko‘rinishdagi aniqmaslik kelib chiqadi.
1 2 x +1 − 2 x −1
− = = . x−1 x 2 −1 x 2 −1 x 2 −1
Oxirgi ifoda x →1 da (0/0) aniqmas ifoda bo‘ladi. Shunday
qilib,
l im ( 1 − 2 ) = lim x −1 = lim 1 = 1 . x→1 x−1 x2 −1 x→1 x2 −1 x→1 x+1 2
12-misol. lim ( x 2 +3x − x) limitni hisoblang. x→+
Yechish. x→+ da − ko‘rinishdagi aniqmaslik kelib chiqadi.
Quyidagi shakl almashtirishni bajaramiz:
O xirgi ifoda x → da (/) ko‘rinishdagi aniqmaslik bo‘lib, 11-
misoldagidek x ning yuqori darajalisiga surat va maxrajini bo‘lib,
lim ( x 2 + 3x−x) = lim 3x = lim 3x / x =
x →+x→+ x2 / x2 + 3х/ x2 +x/ x
= lim
x→+ bunda x→+ da 3/ x →0 bo‘ladi.
|
| |
