2-Mazvu: Matematik va axborotli modellashtirish. Matematik modelni qurish
metodlari.
Reja:
1. Matematik modellashtirish va hisoblash eksperimenti
2. Matematik model tushunchasi.
3. Matematik modelni ko’rish bosqichlari.
4. Matematik modellarni sinflash.
Matematik modellashtirish – kompyuterda hisoblashlar о‘tkazishgina emas. Bu birinchi
navbatda voqea va jarayonlarni о‘rganish, ularni matematik tilda ifodalashdir. Demak, matematik
model – voqea va jarayonlarni absolyut tug‘ri ifodalash emas, balki ularni taqribiy ifodalashdir.
Matematik modellashtirish – qimmat baholi eksperimentlar о‘tkazmasdan tо‘rib, voqea va
jarayonlarning keyingi bosqichidagi hodisa va detallarni kompyuter ekranida о‘rganish,
shuningdek xattoki zamonaviy asbob – uskunalar ilg‘amaydigan (payqamaydigan) jarayonlarni
izohlashdan iboratdir.
Matematik modellashtirishga asoslangan HE da eksperiment о‘tkazilmagan yoki umuman
eksperiment о‘tkazish mumkin bо‘lmagan obyektlarning xususiyatlarini oldindan bashorat qilish
mumkin.
Akademik A. A. Samarskiyni ta’riflashiga HE – bu EHM yoki kompyuter yordamida
о‘rganilayotgan yoki tadqiq qilinayotgan obyektlarni matematik modelini yaratish va о‘rganishdan
iborat.
Yengil yadrolar qо‘shilib, bitta yadro hosil bо‘lishi sintez deb ataladi. Sintezda va og‘ir
yadrolarning bir nechta yengilroq yadrolarga bо‘linishida ham jо‘da kо‘p miqdorda energiya
ajralib chiqadi
1
.
Yengil yadrolar qо‘shilib bitta yadro hosil qilish uchun yadrolar bir – biriga yaqin masofa
(~2*10
-13
sm) ga kelishi kerak. Yadrolarning bunday yaqinlashishiga Kulon qonuniga asosan elektr
itarish kuchlari tusqinlik qiladi. Shuning uchun yadrolar qushilib, yangi element hosil qilish va
bunda kо‘p miqdorda energiya ajralib chiqishi uchun elektr itarish kuchlariga qarshi ish bajarish
kerak. Bu kuchni yengish uchun esa yadrolar taxminan bir necha 100 million gradus temperaturaga
mos katta tezlik bilan harakatlanishi kerak.
Termoyadro reaksiyalari Quyosh va yulduzlar ichida sodir buladi.
Odatda fiziklar Termoyadro reaksiyasini amalga oshirish uchun Kulon itarish kuchlarini
yengish kerak deyishadi. Buning uchun atom yadrolariga yetarlicha energiya berish kerak. Bu
shartni amalga oshirishni 2 ta yо‘li bor.
1)
Bir – biriga yо‘nalgan zarralarni tezligini oshirish kerak. Bunda muvaffoqiyatli
tо‘qnashishlarda Kulon itarish kuchlarini yengish mumkin.
2)
Zarralarni qizdirish yо‘li. Qizdirilgan zarralar katta tezlikga ega bо‘ladi. Qizdirish
darajasi zarralarning о‘rta kinetik energiyasi yoki temperaturasi bilan xarakterlanadi.
Temperatura qancha yuqori bо‘lsa, shо‘ncha kо‘p zarra Kulon itarish kuchini yengish uchun
yetarlicha energiyaga ega bо‘ladi. Hisoblashlar shuni kо‘rsatadiki, bu temperatura 100 million
graduslar atrofida bо‘lishi kerak.
Ammo termo reaksiyalarini amalga oshirish uchun moddalarni yuqori temperaturalargacha
qizdirishning о‘zi yetarli emas. Chunki bu protsessda yadrolarni qо‘shilib, yangi yadro hosil
qilishidan kо‘ra ularni bir – biri bilan tо‘qnashgandan keyin ajrashib ketish ehtimoli kattaroq.
Yadrolar bir – biri bilan birikib yangi kimyoviy element hosil qilishi uchun yetarlicha vaqt kerak.
Zamonaviy tezlatgich texnikalaridan foydalanib, zarralarga Kulon itarish kuchlarini yengish uchun
yetarlicha energiya berilsada, ammo zarralarning zichligi Va о‘zaro ta’sir etish vaqti kichik
bо‘lganligidan samarali termoyadro reaksiyalarini о‘tkazish amalda mumkin emas.
Vodorodning og‘ir izotoplari deyterii D va tritiy T yoki D bilan Dni nisbatan tezroq
biriktirish mumkin. D va T yadrolari birikkanda yangi element geliy Ne
4
(atom massasi 4 ga teng
bо‘lgan) va neytron hosil bо‘ladi. Bu reaksiyada 17,6 million elektron-volt(EV) yoki 17,6 MeV
ajraladi:
D + T = He
4
+ n + 17,6 MeV
D + D = T + p + 4,0 MeV
D + D = He
3
+ n + 3,25 MeV
D va D reaksiyasi 2 ta kanalga ega. Ikkala reaksiya ham bir xil ehtimollik bilan sodir bо‘ladi.
Endi biz model, modellashtirish tushunchalari va ularga bog’liq bo’lgan asosiy tushunchalar
ustida batafsilrok to’xtalamiz.
«Model» so’zi lotincha modulus, so’zidan olingan bulib, o’lchov, me‘yor, obraz, namuna,
analog, «o’rinbosar» degan ma‘nolarni bildiradi.
Model tushunchasini ta‘riflash juda kiyin. Bir manbada uning 31 ta ta‘rifi sanab utilgan.
Shunday bulsada bu tushuncha har birimizga tanish:uyinchok samolyot--samolyotning modeli,
globus-Yerning modeli, planetariy ekrani-osmon va undagi yo’lduzlar modeli, S=vt formula- jism
harakati modeli. Bu bayon qilingan predmetlar grafik tasvirlar, formulalar bir «model»so’zi bilan
birlashadilar
Model ta‘riflaridan birini yuqorida bayon qilgan edik. Yana turli shaklda berilgan
ta‘riflardan ba‘zilarini keltiramiz. Keng ma‘noda model biror obyekt yoki obyektlar sistemasining
obrazi yoki namunasidir. N. N. Moiseev ta‘rifi bo’yicha «Model deganda biz predmet (xodisa )
haqida uning u yoki bu ayrim xossalarini aks ettiruvchi ma‘lum bir chegaralangan ma‘lumotni
beruvchi soddalashtirilgan bilimni tushunamiz. Modelni ma‘lumotni kodlashning maxsus shakli
sifatida qarash mumkin. Oddiy kodlashda bizga barcha dastlabki ma‘lumotlar ma‘lum bo’ladi va
ularni biz fakat boshqa tilga utkazamiz, model esa, kaysi tildan foydalansa xam, kishilar ilgari
bilmagan ma‘lumotni xam kodlaydi».
Endi modellashtirish tushunchasi haqida gapiramiz. Modellashtirishning xam turli
shakllardagi bayonini keltiramiz. Modellarni yasash kishilar faoliyatida juda katta axamiyatga ega.
Modelni ko’rish jarayonini modellashtirish deyiladi. Modellashtirish deganda obyekt (sistema)
ning modeli yordamida Shu obyekt ning xossalarini tadqiq qqilish jarayonini tushuniladi.
Modellashtirish bqilish obyekt larini ularning modellari yordamida tadqiq etish, ko’zatilayotgan
predmet va xodisalarning modellarini yasash va o’rganishdir. Obyekt ni uning modeli yordamida
bilish modellashtirishdir. Har qqanday bqilish modellashtirishdan iborat, chunki bunda tegishli
obyekt bosh miyada nerv xujjayralari majmui yordamida ideal ko’rinishda aks etadi, ya‘ni biz
obyekt ning modeli bilan ish ko’ramiz. Modellashtirish-turli jarayon va xodisalarni o’rganishning
eng keng tarqalgan metodlaridan biri.
Model tushunchasi biologiya, meditsina, ximiya, fizika, iqtisodiyot, sotsiologiya,
demografiya va boshqa fanlarda xam qo’llaniqladi. Matematik model, fizik model, biologik
model, iqtisodiy model va boshqa modellar turlari mavjud.
Iqtisodiy sistemalarni modellashtirishda matematik modellar keng qo’llanilmoqda. Bu
soxadagi matematik modellar iqtisodiy-matematik va iqtisodiy -statistik guruhlarga ajraladi. Biz
matematik modellar haqida suz yuritamiz. Matematik modellarni tuzish sistemaviy taxhlilining
asosidir. Bu ixtiyoriy sistemani tadqiq qqilishning markaziy bosqichidir. Keyingi taxhlilning
natijasi modelning sifatiga bog’liq.
Matematik model tushunchasiga xam turli ta‘riflar berilgan. Ulardan ba‘zilarini keltiramiz.
Jarayonning matematik tavsifini, ya‘ni jarayonni matematik tilda bayonlashni matematik model
deb yuritamiz. Matematik model olamning ma‘lum xodisalari sinfining matematik belgilar bilan
ifodalangan takribiy ifodasidir.
Real sistemaning (aniqrogi sistema ishlashi jarayonining) matematik modeli deganda biz
sistema parametrlariga, kirish signallariga, boshlangich shartlar va vaqtga bog’liq sistema holatlari
harakteristikalarini (bular orkali chiqish signallarini) aniqlovchi munosabatlar (masalan,
formulalar, tenglamalar, tengsizliklar, mantikiy shartlar, operatorlar va boshqalar) tuplamini
tushunamiz.
O’rganiqlayotgan jarayon yo xodisani matematik simvollar yordamida bayon qiluvchi
matematik munosabatlar sistemasini matematik model deyiladi.
Obyektning harakteristikalarini bayon qiluvchi matematik ifodalarni matematik model
deyiladi. Formulalar ko’rinishida yozilgan fakat mikdoriy harakteristikalarni uz ichiga olgan
modellarni matematik model deyiladi. Xodisalar sinfining soddalashtirilgan matematik belgilar
bilan ifodalangan bayonini matematik model deyiladi.
Tashqi dunening biror xodisalar sinfining matematik belgilar yordamida takribiy bayoni
matematik model deyiladi.
Misollar. Eng kadimgi matematik modellardan biri Yevklid geometriyasidir. Bu bizni
ko’rshab olgan fazo va undagi predmetlar modelidir. Predmetlar sonining abstrekt modeli sondir.
Xammaga ma‘lum matematik modellar: butun sonlar sistemasi, haqiqiy sonlar sistemasi. Hozirgi
zamon algebrasida gruppalar, xalkalar, maydonlar, vektor fazolar, chiziqli algebralar, bulg’
algebralari kabi matematik modellar bilan ish ko’riladi.
Konkret sonli harakteristikalarga ega bulgan modelni sonli model, mantikiy ifodalar
yordamida yozilgan modelni mantikiy model (masalan, algoritm blok-sxemasi), grafik usuldagi
modelni grafik model (masalan, grafiklar, diagrammalar, rasmlar), EXM yordamida ruyobga
chiqarilgan modelni mashina(elektron)modeli deyiladi.
Model nima uchun kerak degan savolga qo’yidagi javobni berish mumkin. Model
1) obyekt (jarayon)ning tarkibi, tuzqilishi, asosiy xossalari, rivojlanishi qonunlari va tashqi
dunyo bilan uzaro ta’sirini tushunish uchun;
2) obyekt(jarayon)ni boshqarishni o’rganish va berilgan maqsad va kriteriylarda
boshqarishning eng yaxshi usullarini aniqlash uchun ;
3) obyektga ta’sir qilishning berilgan usullarining va formalarini ishga solishning to’g’ri va
bilvosita oqibatlarini oldindan aytib berish uchun kerak. Matematik model olamni bilish,
boshqarish va oldindan aytib berishning kuchli usulidir.
Har qanday matematik model uch yo’l bilan paydo bo’lishi mumkin;
а) xodisani to’g’ridan-to’g’ri ko’zatish natijasida, uni to’g’ridan-to’g’ri o’rganish va
tushunish natijasida; bunday usul bilan olingan modelni fenomenologik model deyiladi;
б) biror deduktsiya jarayoni natijasida, bunda yangi model biror umumiyrok modeldan
xususiy hol sifatida olinadi; bunday modellarni asimptotik modellar deyiladi;
в) biror induktsiya jarayoni natijasida, bunda yangi model «elementar» modellarning tabiiy
umumlashmasidan iborat bo’ladi. Bunday modellarni ansamblg’ modellari deyiladi.
Nyuton mexanikasining xamma modellari fenamenologik modellardir. Bular kishilarning
harakatlardan eng soddasi bulgan mexaniq harakatlarning tabiatini
tushunish va anglash
yo’lidagi (harakatlari) tirishishlari yakunini chiqardilar. Kuchning harakat harakteriga ta’sirini
Nyutongacha bqilishar edi. Nyutonning ba‘zi utmishdoshlari harakat sirlarini ochiqshga juda yaqin
keldilar. Bulardan biri I. Kepler edi. Nyuton birinchi bulib impulg’sning saklanish qonunini
tushundi va bayon qqilib berdi. Ma‘lum bulishicha, kuch tezlikning o’zgarishini aniqlaydi,
tezlikning o’zini emas, ya‘ni kuch tezlikni emas, balki tezlanishni aniqlaydi:
.
| 