Mövzu - 1: Ekonometrika fənninin predmeti, obyekti və həll edəcəyi məsələlər
“Ekanometrika” sözü 2 hissədən ibarətdir: ”ekono” və “metrika” hansı ki, iqtisadi
ölçmələri göstərir. Bu termin 1930 – cu ildə Norveç alimi, statistiki Riqnar Frişer
tərəfindən meydana gəlmişdir. Hansı ki, Ekonometrikanın əsas məsələsini iqtisadi
nəzəriyyənin inkişafı, onun statistika və riyaziyyatla əlaqəsini təşkil edir.
Müasir dövrdə ekonometrikanın aşağıdakı şəkildə tərifi ümumi qəbul edilmişdir.
Ekonometrika real təsərrüfat iqtisadi proseslərin nəzəi modelini tərtib etmək üçün riyazi
statistikanın metodlarından istifadə edən bir elmdir.
Ekonometrikanın obyekti cəmiyyətin iqtisadi sistemində baş verən iqtisadi
proseslərdir. Ekonometrikanın predmeti təsadüfi hadisələr əsasındakı qarşılıqlı əlaqəni
kifayət qədər qiymətləndirməkdir. Eyni zamanda iqtisadi sistemlər haqqında məlumat
almaq üçün təsadüfi əlamətlər, göstəricilər, faktorlar, dəyişən iqtisadi obyektlər, real
iqtisadi modellərin nəzəri yoxlanmasını təmin edir.
Ekonometrikanın məqsədi təsadüfi proseslərin reallaşmasında iqtisadi sistemin
obyektlər toplusunun nöqtəvi və interval məlumatların qiymətləndirilməsidir.
Ekonometrikanın məsələləri:
1. Strateji məsələlər
a) Iqtisadi modellərdən effektiv istifadə üçün şəraitin yaradılması
b) Məlumatın dəqiqliyini artıran iqtisadi metodların təşkili (yaradılması)
c) Ən kiçik kvadratlar metodunun tətbiqində pozuntuların orta əmsallarının
hesablanması modelinin metodunun düzəldilməsi
d) Ekonometrikanın effektiv istifadə oblastının təyini
2. Taktiki məsələlər
a) Iqtisadi obyeklərin xassələrini nəzərə almaqla riyazi modelin qurulması
b) Iqtisadi proseslərin riyazi modelinin əmsallarının təyini
c) Iqtisadi proseslərin nöqtəvi və interval məlumatlarının alınması
d) Alınan modelin keyfiyyətinin qiymətləndirilməsinin hesabı
Ekonometrikanın metodlarını aşağıdakı əlamətlərə görə siniflərə ayırmaq olar:
1) Regressiyanın əmsalının təyini metodu ilə;
· Ən kiçik kvadratlar metodu ilə
· Ən kiçik kvadratların iki addımlıq yolu ilə
· Ən kiçik kvadratların ümumiləşmiş metodu (Eytken metodu) ilə
· Maksimal düzgün oxşarlılıq metodu ilə
· Ən kiçik yayınma və məsafə metodu ilə
2) İqtisadi obyektin fəaliyyət modelinin qurulması metodu:
· Yuxarıdan aşağı və aşağıdan yuxarı modelinin qurulması
3) Baş toplunun verilənlərinin seçim metodu
· Bütün baş toplunun analizi
· Baş toplunun analizinin seçim metodu
downloaded from KitabYurdu.org
4) Seçim verilənlərin analizi metodu
· Korrelsiya analizi metodu
· Reqressiv analiz metodu
· Araşdırılan, asılı dəyişənlərin və qalıqların iştirakı metodu
· Saxta, instrumental dəyişənlərin iştirakı ilə metod
· Qeyri – xətti reqressiyanın xəttiləşdirilməsi metodu
· Multikollinar faktorların aradan qaldırılması metodu; qalıqların avtokorrelyasiyası;
· Daimi olmayan sıraların təyini metodu
· Eynivaxtlı (sıralarla) tənliklər sisteminin analizi metodu
· Keyfiyyətli dəyişənlər arasındakı əlaqə metodu
Bu metodlarla biz sonralar tanış olacayıq.
Ekonometrikanın sturukturuna baxaq. Şərti olaraq ekonometrika kursunu 3 hissəyə
ayırmaq olar:
1) Fəzada verilənlər ilə cüt (qoşa) və cəm (çoxluq) modellərin qurulması. Bu hissə
riyazi statistikada öyrənilir.
2) Ən kiçik kvadratlar metodunun xətalarının aradan qaldırılması üsulu.
3) Müvəqqəti (daimi olmayan) iqtisadi sıraların analizi
Ekonometrika biometriya, sosiometriya, informatika ilə sıx əlaqədardır.
Riyazi statistikadan istifadə bioloji və sosioloji araşdırmalarda yeni elmlər –
biometriya və sosiometriyanı yaradır.
Bu elmlərin hər biri çoxlu sayda ümumi metoda malikdirlər. Tez – tez bu elmlər
yəni yanaşmalarla bir – birini zənginləşdirirlər. Tarixən biometriya ekonometrikadan
qabaq yaranmışdır. Buna görə də ekonometrika özündə biometrik metodları birləşdirir və
yeni fəsilləri əlavə edir, necə ki spentiral analizi, daimi olmayan (müvəqqəti) sıraların
analizi və eynivaxtlı tənliklər sisteminin həllini, məsələn, əkinə optimal şəraitin
yaradılmasının modelləşdirilməsində ümumi çoxlu şeylər var.
Mikro və makro iqtisadiyyatda ekonometrik analiz 1960 – cı ildən başlayaraq
istifadə olunur. Uzun müddət ekonometrik metodlar “Ekonomik – riyazi” metod və
modellər fənninin daxilində idi. Yaxın vaxtlardan bu ayrılaraq ayrıca bir fənn kimi
iqtisadiyyat ixtisaslarında tədris olunur.
İlk ekonometrik modellər kompleks şəkildə ABŞ – da Qoldbergerin olmuşdur.
Iqtisadiyyatın inkişafında o fundument (təməl) rolunu oynamışdır. Bu model 15 reqressiv
təhlükədən və 5 eynilikdən ibarət olmuşdur. Bu 40 makroiqtisadi göstəricini əhatə edir.
Modeli parametri daimi olmayan sıraların bazası əsasında 20 ilə qiymətləndirilmişdir.
Ukraynada ilk dəfə olaraq 1972 – ci ildə Yemelyanov və Kuşnirski tərəfindən
YKP-2 iqtisadi metrik modeli yaradılmışdır. Bu model planlaşdırma metodikası ilə
bağlıdır və 101 reqressiv tənlik və 7 qarşılıqlı əlaqəli blokları özündə birləşdirir.
Müasir dövrdə Ukraynada ekonometrik araşdırmalara maraq çoxdur. Hətta iqtisadi
proqramlaşdırma institutu mərkəz rolunu oynayır.
downloaded from KitabYurdu.org
Mövzu- 2: Riyazi proqramlaşdırma riyazi iqtisadiyyatın tərkib hissəsi kimi
Riyazi üsullar və modellər iqtisadi nəzəriyyədə daxil olmaqla istənilən
iqtisad elminin üsulları və vasitələri məcmusunun tərkib hissəsi kimi çıxış edir.
Əsaslı iqtisadi təhlil ilə birlikdə riyai üsullar və modellərdən istifadə olunması
iqtisad elmi və praktika üçün yeni imkanlar yaradır. Onlardan iqtisadiyyatda
istifadə olunması əvvəla iqtisadi kəmiyyətlər və obyektlər arasında daha vacib,
nəzərə çarpacaq əlaqələri aşkar edib onları ifadə etməyə imkan verir. Bu müvafiq
mürəkkəb problemlərin yüksək dərəcədə mücərrəd olması ilə əlaqədardır. İkincisi,
nəzərdə tutulmuş şərtlər daxilində dəqiq ifadə olunmuş zəruri ilkin məlumatlar və
münasibətlərdən deduksiya üsulları ilə tədqiq edilən obyektə uyğun nəticələri
almaq mümkündür. Üçüncüsü, riyazi və modellər induksiya üsulu ilə obyekt
haqqında yeni biliklər əldə etməyə imkan verir, onun fəaliyyəti prosesində
aparılmış müşahidələrə daha yüksək dərəcədə uyğun olmaqla, mövcud amillər
arasındakı asılılıq formalarını təyin etmək və müəyyənedici parametrləri
qiymətləndirmə vasitəsi kimi çıxış edirlər. Nəhayət, dördüncüsü riyazi üsullar və
modellərdən istifadə olunması iqtisadi nəzəriyyənin müddəalarını, anlayışlarını və
nəticələrini daha dəqiq və yığcam şəkildə ifadə etmək əsas verir.
Riyazi proqramlaşdırma tətbiqi riyaziyyat elminin əsas bölmələrindən biri
olmaqla, onun öyrənmə obyektini mürəkkəb sistem və proseslərin optimal
planlaşdırılması və idarə edilməsi üzrə ekstremum məsələlər təşkil edir.
Fənnin predmeti olaraq ekstremum məsələlərin tədqiqi, burada istifadə
edilən kəmiyyətlər arasında riyazi asılılıqların müəyyən olunması, müvafiq
modellərin qurulması, onların əsasında məsələ həlli üçün ən əlverişli üsul və
prinsiplərin təyini çıxış edir.
Riyazi proqramlaşdırılmanın öyrənilməsində məqsəd isə ekstremum
məsələlərinin həlli üçün riyazi üsulları və EHM – in imkanlarının ardıcıl tətbiq
etməkdən, alınmış nəticələrin hərtərəfli təhlilini aparmaqdan, optimal qərarların
işlənməsi və qəbul edilməsindən, onların praktiki tətbiqinin səmərəliliyinin
əsaslandırmasından ibarətdir.
Tərif: Riyazi proqramlaşdırmanın ümumi məsələsi müəyyən şərtlər
daxilində hər hansı funksiyanın ekstremum, yəni maksimum (“max”) və yaxud
minimum (“min”) qiymətinin təyini məsələsinə deyilir və riyazi şəkildə aşağıdakı
kimi ifadə edilir.
; (1)
məhdudiyyət şərtləri
(i=i,k) (2)
(i=k+im) (3)
məchulların işarələri üzrə şərtlər
(4)
downloaded from KitabYurdu.org
Yazılışdan göründüyü kimi ekstremum məsələlənin riyazi şəkildə qoyuluşu,
üç əsas hissədən ibarətdir:
I. (1) məqsəd funksiyası yaxud optimallıq meyarı adlanır və onun üçün
ekstremum qiymət axtarılır.
II. Məhdudiyyət şərtləri (2) bərabərlikləri yaxud tənlikləri və (3) bərabərsizliklən
ibarətdir.
III. Məsələyə daxil olan məhculların işarələri üzərinə qoyulmuş (4) şərtləri.
Tərif 2. (1) – (4) şərtlərini ödəyən
vektoruna riyazi
proqramlaşdırmanın ümumi məsələsinin mümkün həlli (planı) deyilir.
Tərif 3. (1) məqsəd funksiyasına ekstremum qiymət verən mümkün həllə
(1) – (4) riyazi proqramlaşdırma məsələsinin optimal həlli deyilir.
-
Əgər məqsəd funksiyası və bütün məhdudiyyət şərtləri
dəyişənlərinin hamısına nəzərən xətti olarsa, onda verilmiş məsələ
xətti proqramlaşdırma, əks halda isə qeyri – xətti proqramlaşdırma məsələsi olur.
-
Qabarıq proqramlaşdırma məsələlərinin həlli nəticəsində məhdud qabarıq
çoxluqda təyin edilmiş funksiya üçün minimum, yaxud qabarıq funksiya üçün
maksimum qiymət axtarılır. (Bu da qeyri – xətt proqramlaşdırma məsələsidir)
-
Qabarıq proqramlaşdırma məsələləri içərisində isə öz növbəsində daha
ətraflı olmaqla kvadratik proqramlaşdırma məsələləri tətqiq edilmişdir. Burada
kvadratik funksiyadan söhbət gedir.
-
Tamədədli proqramlaşdırma məsələlərində məhcullar yalnız və yalnız tam
ədədlərdən ibarət qiymətlər ala bilərlər.
-
Parametrin proqramlaşdırma məsələsi
-
Kəsr – xətti proqramlaşdırma məsələsi
-
Əgər məqsəd funksiyasında, yaxud məhculların mümkün dəyişmə oblastını
təyin edən şərtlərdə təsadüfi kəmiyyətlər olarsa onda belə məsələyə stoxastik
proqramlaşdırma məsələsi deyilir.
-
Riyazi proqramlaşdırma məsələsinin qoyuluşunda zaman amilindən asılılıq
olarsa, yaxud həlli prosesi çoxmərhələli, çoxaddımlı olarsa, ona dinamik
proqramlaşdırma məsələsi deyilir.
downloaded from KitabYurdu.org
Mövzu: İqtisadi riyazi modelləşdirmənin metodoloji əsasları
Model sözü “ölçü”, obraz”, “üsul” mənalarını verən “modus”, “modulus”
latın sözlərindən əmələ gəlmişdir.
Modelləşdirmə elmi tətqiqat metodu kimi bilavasitə həll edilməsi bu və ya
digər səbəblərə görə mümkün olmayan elmi və texniki məsələləri həll etmək
zərurəti ilə əlaqədar olaraq meydana gəlmişdir.
Modelləşdirmə obyektiv həqiqətə yaxınlaşma yolu kimi xidmət edir. Əgər
nəzəriyyənin yaradılması tətqiqatçı üçün müəyyən mərhələdə xüsusi məqsəd kimi
xidmət edirsə, onda model nəzəriyyəni yaratmaq üçün vasitə rolunu oynayır.
Model qurmaq, model yaratmaq modelləşdirmə adlanır. Kibernetikanın
meydana gəlməsi ilə əlaqədar olaraq modelləşdirmə metodu geniş inkişaf etmiş
elm və texnikanın çox mürəkkəb məsələlərini həll etmək üçün güclü vasitəyə
çevrilmişdir.
Modelləşdirmənin bir növü də riyazi modelləşdirmədir. “Riyazi modelləş -
dirmə tənliklərinin formasının və orjinal modelin tənliklərində dəyişənlər arasında
münasibətin identikliyinə əsaslanan xüsusi modellərin köməyi ilə fiziki hadisələri
tətqiq etmək üçün metoddur.” Riyazi modelləşdirmədə hadisələrin riyazi
məzmununun oxşarlığından söhbət gedir. Doğurdan da həyatda elə müxtəlif
hadisələr var ki, onların “riyazi məzmunu” eynidir, başqa sözlə onlar eyni
tənliklərlə təsvir edilir.
Hadisələrin riyazi məzmunun oxşarlığından istifadə edərək bir sıra
modelləşdirici qurğular yarılmışdır.
Hazırda elmi tətqiqatlarda müxtəlif növ modellərdən elektrik, hidravlik,
mexaniki və s. istifadə edilir.
Konkret prosesin və ya hadisənin ən mühüm xüsusiyyətlərini riyazi model
xarakterizə edir. Hər bir model tətqiq olunan obyektin öyrənilməsi və məsələnin
həlli üçün əhəmiyyətli olan elementləri xarakterizə edən tənliklər (bərabərsizliklər)
sistemi şəklində təsvir olunur.
Geniş mənada riyazi model dedikdə, müəyyən sistemin fəaliyyətindəki
mühüm qarşılıqlı əlaqələrin və qanunauyğunluqların riyazi şəkildə ifadə olunması
başa düşülür.
Qeyd etmək lazımdır ki, obyektin riyazi modelləri öz aralarında ölçüsünə,
istifadə olunan riyazi aparatın mürəkkəbliyinə, xarakterinə və s. görə fərqlənə bilər.
Təhlil və optimal plan qərarlarının qəbulu modelləri iki hissədən ibarətdir. Məqsəd
funksiyası (optimallıq kriteriyası) və məhdudluq şərtləri.
Məqsəd funksiyası planın effektivliyinin kəmiyyət ölçüsüdür. Optimallıq
kriteriyasının seçilməsi çox çətindir. Lakin istər qərarın qiymətləndirilməsi, istərsə
də hər hansı qərarın həqiqətən daha yaxşı olması seçilmiş və müəyyən şəkildə
ifadə olunmuş kriteridən asılıdır.
downloaded from KitabYurdu.org
Modelin ikinci hissəsi (məhdudluq şərtləri) qərarın qəbul olunduğu şəraitin
riyazi ifadəsindən ibarətdir. Bu şərtləri təmin edən qərarlardan biri mümkün plan
hesab edilir. Məqsəd funksiyasının ekstremum (maksimum və ya minimum)
qiymətini təmin edən mümkün plan optimal plan adlanır. Model qurulduqdan sonra
onun riyazi təhlili başlanır ki, bunun da əsas məqsədi optimal həllin tapılmasıdır.
Prosesi riyazi məsələ şəklində əks etdirmək və onun modelini qurmaq üçün
qoyulan məsəlinin mahiyyətini dərindən bilmək lazımdır. Riyazi modelin
keyfiyyəti mövcud prosesi nə dərəcədə tam və düzgün təsvir etməsindən asılıdır.
Odur ki, modelləşdirmə yalnız sistemin təhlilindən sonra başlanmalıdır. Bu zaman
modellər aşağıdakı tələbləri ödəməlidir:
1. Model nəzəriyyə əsasında qurulmalı, öyrəniləcək prosesin obyektiv
qanunauyğunluqlarını və tarixi xüsusiyyətləri özündə cəmləşdirməlidir.
2. Model real sistemin quruluşunu düzgün əks etdirməlidir. Hər bir dəyişəni və
sabit kəmiyyəti müəyyən məna daşımalıdır.
3. Modelə yalnız ölçülə bilən kəmiyyətlər daxil edilməlidir.
4. Modeli təşkil tənliklər (bərabərsizliklər) sistemi müəyyən riyazi tələblərə
cavab verməlidir.
5. Model onun tətbiqi hədlərini müəyyən edən şərtlərə müvafiq gəlməlidir.
6. Model müvafiq formaya malik olmalıdır.
Riyazi modellər qurularkən onların sinfi, mürəkkəblik dərəcəsi və quruluş
xüsusiyyətləri müəyyənləşdirilməlidir. Modelin sinfi həll olunacaq məsələnin
məqsədi və qoyuluşunun xüsusiyyətləri ilə müəyyən edilir. Modelin mürəkkəbliyi
nəzərə alınacaq amillərin sayından və onlar arasındakı qarşılıqlı əlaqələrin
xarakterindən, ilkin informasiyanın miqdarından, dəqiqliyindən habelə alınacaq
nəticələrin düzgünlüyü dərəcəsindən asılıdır. Tənliklərin və məhculların sayı,
onların dərəcəsi və s. onların quruluş xüsusiyyətlərinə aiddir. Riyazi
modelləşdirmə aşağıdakı ardıcıl mərhələlərdən ibarətdir:
· Problemin qoyuluşu və onun keyfiyyət təhlili;
· Riyazi modelin qurulması;
· Modelin riyazi təhlili;
· Həll metodunun və alqoritminin seçilməsi;
· Ilkin informasiyanın hazırlanması;
· Məsələnin EHM – də həlli;
· Alınmış nəticələrin təhlili və təbliği.
Modelləşdiriləcək obyektin və ya prosesin məqsədlərindən,
xüsusiyyətlərindən və həmçinin informasiya təminatından asılı olaraq müxtəlif növ
modellərdən – xətti modellər, qeyri – xətti modellər, dinamik modellər, diskret
modellər.
downloaded from KitabYurdu.org
Proseslərin riyazi oxşarlığı üçün onları təsvir edən tənliklərin eyni tipli
olması vacibdir. Bu şərt vacib olsa da, lakin kafi deyildir, çünki həmin tənliklərin
çoxlu sayda həlli ola bilər. Adətən, tənliklərdən əlavə bəzi şərtlər də verilir ki,
bunlar mümkün hallar içərisindən lazım olanını seçməyə imkan verir. Belə şərtlərə
çox vaxt yeganəlik şərtləri deyilir. Tənliklərin tam oxşarlığını yaratmaq üçün
yeganəlik şərtlərinə daxil olan parametrləri seçmək lazım gəlir. Həmin parametrlər
modeli xarakterizə edir. Deməli, obyekti və onun modelini təsvir edən tənliklər və
yeganəlik şərtlərinin oxşarlığından istifadə edərək modellərin parametrləri seçmək
mümkündür.
Modellərin parametrlərini seçmək üçün əsasən iki metod daha geniş tətbiq
olunur. Bunlardan biri obyekti və onun modelini xarakterizə edən tənliklərin,
digəri isə prosesdə iştirak edən parametrlərin ölçü vahidlərinin təhlilinə əsaslanır.
Tənliklərin təhlili metodu. Bu metoddan istifadə etmək üçün prosesin və
onun modelinin tənlikləri qabaqcadan məlum olmalıdır. Qeyd edək ki, prosesləri
xarakterizə edən müvafiq kəmiyyətlərin nisbəti sabit olarsa, belə proseslərə oxşar
proseslər deyilir. Oxşar proseslərin, yaxud obyekt və modelin bütün nöqtələri üçün
qiyməti eyni olan sabitlər vardır ki, həmin sabitlərə oxşarlıq sabitləri deyilir.
downloaded from KitabYurdu.org
Mövzu 4:İqtisadi – riyazi modelləşdirmənin mərhələləri və onların
qarşılıqlı əlaqəsi
İqtisadi – riyazi modellər üçün obyekt olaraq iqtisadi sistemlər, obyektlər və
proseslər çıxış edirlər. Məsələn, əhalinin həyat səviyyəsinin proqnozlaşdırılması,
müəsisədə xammal, material, əmək və maliyyə ehtiyatlarından istifadə, müxtəlif
növ avadanlıqlar arasında məmulatların istehsal planlarının bölüşdürülməsi,
istehsalçılardan yüklərin istehlakçılara daşınması və s. bu kimi problemləri bu
obyektlərə aid etmək olar. Bu zaman obyekt – orijinalları əvəz etmək üçün dil
olaraq klassik və xüsusi işlənmiş riyazi münasibətlər çıxış edirlər ki, onlarda
müəyyən funksiya, bərabərlik və bərabərsizlik şəklində verilmiş şərtlər, həmçinin
onların formalaşdırılması prinsiplərindən ibarətdir.
Tərif 1:Sosial – iqtisadi obyekt yaxud prosesin riyazi yazılışına iqtisadi –
riyazi model deyilir.
Beləliklə, iqtisadi – riyazi model sosial – iqtisadi obyekt yaxud prosesin
mahiyyəti və keyfiyyət qanunauyğunluqlarını riyazi münasibətlərin köməyi ilə
abstrakt şəkildə ifadə edir. Iqtisadiyyatda riyaziyyat elminin tətbiqi daha dərin və
keyfiyyətli iqtisadi – riyazi təhlil aparmağa imkan verir, iqtisadi informasiya
sahəsini genişləndirir və zəruri iqtidadi hesablamaların yerinə yetirilməsi prosesini
intensivləşdirir.
Burada qoyulmuş məsələnin həlli üçün müvafiq iqtisadi – riyazi modelin
qurulması prosesi mühüm əhəmiyyət kəsb edir. O, aşağıdakı mərhələlərdən
ibarətdir:
I.
Modeldə qiymətləri tapılacaq zəruri kəmiyyətlərin təyin edilməsi, yəni
verilmiş iqtisadi məsələnin məchullarının müəyyənləşdirilməsi.
II.
Məsələ həllində əsas məqsədin iqtisadi mahiyyətinin müəyyən
olunması, onun üçün ekstremum, yəni maksimum (“max”) və ya minimum (“min”)
qiymətinin axtarılması məqsədi ilə müvafiq funksiya (optimallıq meyarı) şəklində
ifadə edilməsi.
III.
Verilmiş məsələnin iqtisadi qoyuluşunun xarakterindən asılı olaraq,
onun bərabərlik və bərabərsizliklər şəklində məhdudiyyət şərtlərinin formalaşması.
IV.
Məchulların mənfi olmaması əsaslandırılması
V.
Məsələnin iqtisadi – riyazi modelinin yazılışı
Iqtisadi – riyazi modelləşdirilmənin bütün mərhələləri ardıcıllığını və onların
mahiyyətini daha ətraflı təhlil etmək məqsədəuyğundur. Bu münasibətlə iqtisadi –
riyazi modelləşdirilmənin bir dövrünün ibarət olduğu alt mərhələni ayırmaq
downloaded from KitabYurdu.org
lazımdır: iqtisadi problemin qoyuluşu və onun keyfiyyət təhlili; iqtisadi – riyazi
modelin qurulması; modelin riyazi təhlili; ilkin məmulatın hazırlanması; ədədi həll
nəticələrinin iqtisadi – riyazi təhlili və onların tətbiqi. Mərhələlərdən hər birinə
nəzər yetirək.
1.
Iqtisadi problemin qoyuluşu və onun keyfiyyət təhlili mərhələsində
verilmiş iqtisadi problemin mahiyyətini qəbul edilən ilkin şərtləri və fərziyyələri
formalaşdırmaq lazımdır. Burada modelləşdirilən obyekt – orijinalın əsas
xüsusiyyətlərini və xassələrini ayırmaq, onun quruluşunu və tərkib elementlərinin
qarşılıqlı əlaqələrini öyrənmək mühüm əhəmiyyət kəsb edir, tədqiq olunan
obyektin davranışını və inkişafını izah edən hipotezaların əvvəlcədən
formalaşdırılması tələb edilir.
2.
Iqtisadi – riyazi modelin qurulmasında verilmiş iqtisadi problem dəqiq
riyazi asılılıqlar və münasibətlər (funksiyalar, tənliklər, bərabərsizliklər və s.)
şəklində ifadə edilir.
Iqtisadi – riyazi modellərin mühüm xüsusiyyətlərindən biri də onların
müxtəlif xarakterli problemlərin həlli üçün potensial imkana malik olmasıdır.
Elə hallar ola bilər ki, problemin formalaşdırılması zamanı əvvəllər məlum
olmayan riyazi qoyuluş alınsın.
3.
Modelin riyazi təhlilində riyazi tədqiqat üsulları ilə modelin və onun
əsasında məsələ həlli nəticələrinin ümumi xassələri aşkar edilir. Xüsusilə,
formalaşdırılmış məsələnin həllinin mövcud olmasının isbat edilməsi vacib
əhəmiyyətə malikdir. Anaitik təhlil aparmaqla məsələnin həllinin yeganə olub –
olmadığı, hər hansı məchulların daxil olduğu, onların dəyişmə intervalları və
ənənələri və s. aydınlaşdırılır.
4.
Ilkin məlumatların hazırlanması mərhələsi olduqca mühüm və
əməktutumludur. Belə ki, məqsəd yalnız passiv olmaqla məlumatları yığmaqdan
ibarət olmayıb, həm elmi, həm də praktiki nöqteyi - nəzərdən əsaslandırılmış zəruri
məlumatları hazırlamaqdan ibarətdir. Ümumiyyətlə, informasi sistemi üzərinə
modelləşdirmə çox ciddi tələblər qoyur. Həmçinin qeyd edək ki, sistemli iqtisadi –
riyazi modelləşdirmədə bəzi modellər üzrə həll nəticələri adətən digər modellər
üçün ilkin məlumatlar kimi istifadə olunur.
5.
Ədədi həll mərhələsində məsələnin ədədi həlli üçün alqoritmlərin
seçilməsi və işlənməsi, EHM – də müvafiq proqramların tərtib olunması və
bilavasitə zəruri hesablamaların aparılmasını özünə daxil edir. Verilmiş mərhələnin
çətinlikləri hər şeydən əvvəl iqtisadi məsələlərin böyük ölçüyə malik olması və çox
sayda məlumatlar massivin işlənməsi zərurəti ilə şərtləşdirilir.
downloaded from KitabYurdu.org
6.
Həll nəticələrinin iqtisadi – riyazi təhlili və onların tətbiqi
mərhələsində modelləşdirmə nəticələrinin düzgünlüyü və tamlığı, obyektin həm
praktiki fəaliyyəti, həm də onun modelinin təkmilləşdirilməsi məqsədi ilə onlardan
istifadə imkanları haqqında mühüm məsələ həll edilir.
Iqtisadi – riyazi modelləşdirmə mərhələlərinin qarşılıqlı əlaqəsi.
downloaded from KitabYurdu.org
Mövzu 5: Xətti cəbrin elementləri
Tərif: n sayda x
1
,x
2
,....,x
n
həqiqi ədədlərin nizamlı düzülüşünə n ölçülü
vektor deyilir və x = (x
1
,x
2
,....,x
n
) kimi göstərilir. Burada x
1
,x
2
,....,x
n
vektorun
kompanentləri və ya koordinatları adlanır. Vektorun kompanentlərinin sayı onun
ölçüsünü müəyyən edir. Bütün koordinatları 0 olan vektor sıfır vektor adlanır.
Misallara baxaq:
X=(30,50) – iki ölçülü vektor
X=(40,20,0,-5,60) – beş ölçülü vektor
X=(0,0,....,0) – sıfır vektor
Bütün n ölçülü vektorlar
{ }
- n ölçülü vektorlar fəzasını əmələ gətirir.
Tutaq ki, n ölçülü vektorlar fəzasında X və Y vektorları verilmişdir. Iki
vektorun cəmi (fərqi) dedikdə elə bir üçüncü vektor başa düşülür ki, bu vektorun
hər bir kompanenti həmin vektorun uyğun kompanentlərinin cəmi (fərqi kimi
hesablansın. Yəni
= (x , x , … , x )
və
= ( , , … , )
= ± = ( ± ;
± ;
± )
Məsələn, əgər
= (6; 4; 7) = (8; 3; 0)
olarsa, bu vektorlar üçün alarıq.
+ = (6 + 8, 4 + 3,7 + 0) = (14, 7, 7)
− = (6 − 8, 4 − 3,7 − 0) = (−2,1,7)
Iki vektorun skalyar hasili dedikdə isə bu vektorların uyğun
kompanentlərinin hasilinin cəbri cəmi kimi hesablanan sonlu ədəd başa düşülür.
= ∙ =
+
+ ⋯ +
Məsələn, yuxarıda X və Y vektorları üçün alırıq;
= ∙ = 6 ∙ 8 + 4 ∙ 3 + 7 ∙ 0 = 48 + 12 = 60
Fərz edək ki, n ölçülü vektorlar fəzasında x
1
,x
2
və y vektorları verilmişdir.
Əgər,
=
+
+
= 1
≥ 0,
≥ 0
Şərtləri ödəyən β
1
və β
2
həqiqi ədədlər mövcuddursa onda Y vektoruna x
1
və
x
2
vektorlarının qabarıq xətti kombinasiyası deyilir.
Tərif: Çoxluq üzərində götürülmüş istənilən iki nöqtənin qabarıq xətti
kombinasiyası tamamilə həmin çoxluğa daxildirsə onda belə çoxluq qabarıq
çoxluqdur.
Iki nöqtənin qabarıq xətti kombinasiyası həndəsi olaraq həmin nöqtələri
birləşdirən düz xətt parçasını verir. Odur ki, qabarıq çoxluqlara aşağıdakı kimi də
tərif vermək olar.
downloaded from KitabYurdu.org
Tərif: Çoxluq üzərində götürülmüş ixtiyari iki nöqtəni birləşdirən düz xətt
parçası tamamilə həmin çoxluq üzərindədirsə, onda belə çoxluq qabarıq çoxluqdur.
Teorem: İki və daha artıq qabarıq çoxluğun kəsişməsi həmişə qabarıq çoxluq
verir.
Əgər qabarıq çoxluğun hər hansı bir nöqtəsi onun digər nöqtələrinin qabarıq
xətti kombinasiyası kimi göstərmək mümkün deyilsə, onda belə nöqtəyə qabarıq
çoxluğun təpə nöqtəsi deyilir.
Indi isə Jordan əvəzetmələrini nəzərdən keçirək. Tutaq ki, aşağıdakı xətti
tənliklər sistemi verilmişdir:
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
=
+
+ ⋯ +
+ ⋯ +
=
+
+ ⋯ +
+ ⋯ +
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
=
+
+ ⋯ +
+ ⋯ +
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
=
+
+ ⋯ +
+ ⋯ +
(1)
Bunu cədvəl formasında göstərək
(2)
Tutaq ki, müəyyən məqsədlər üçün (2) cədvəli ilə verilmiş xətti tənliklər
sistemində asılı dəyişənlərdən birinin sərbəst dəyişənlərdən biri ilə əvəz etmək
lazımdır.
Fərz edək ki, y
2
asılı dəyişən x
s
sərbəst dəyişənlə əvəz edilir. Onda r – ci
sətir əsas sətir, s – ci sütunu əsas sütun, onların kəsişməsində yerləşən
elementi isə əsas element olacaqdır.
(2) cədvəli üzərində uyğun əvəzetmə aparıldıqdan sonra bu sistem aşağıdakı
şəklə düşəcəkdir:
(3) cədvəldə (2) cədvəldəki
sərbəst dəyişən asılı dəyişən olmuş, J
1
asılı dəyişən isə sərbəst dəyişənə
çevrilmişdir.
………………
… . . …. … … …
=
-------- ------------ ---------- ------------
=
-------- ------------ ---------- ------------
=
………………
… . . …. … … …
=
-------- ------------ ---------- ------------
=
−
1
−
-------- ------------ ---------- ------------
=
downloaded from KitabYurdu.org
Bu keçid Jordan əvəzetmələrinin bir addımı ilə aparılmışdır. Bu addım 5
mərhələdən ibarətdir.
1.
əsas element vahidlə əvəz edilir;
2.
əsas sətrin qalan elementləri öz işarələrini dəyişir;
3. əsas sütnun qalan elementləri olduğu kimi qalır;
4. əsas sətirə və əsas sütuna daxil olmayan elementlərin yeni qiymətləri
çarpaz vurma qaydası ilə tapılır, yəni
burada, əsas elementdir.
5. Yeni cədvəlin bütün elementləri əsas elementə bölünür.
Misala baxaq:
Əvvəlcə bu sistemin “0” tənliklər sistemi şəklində göstərək.
Indi isə cədvəl şəklində təsvir edək.
I
0=
1
1
2
-9
0=
-2
1
1
-3
0=
3
-2
1
-2
Adi Jordan əvəzetmələrinin köməyi ilə cədvəlin solunda yerləşmiş 0 – rı
ardıcıl olaraq cədvəlin yuxarısına keçirək və hər dəfə yuxarı keçmiş sıfra uyğun
gələn sistemi silək.
I
0=
<1>
1
2
-9
0=
-2
1
1
-3
0=
3
-2
1
-2
I
=
1
-1
-2
9
0=
-2
<3>
5
-21
0=
3
-5
-5
25
I
=
-1
1
6
=
1
-5
21
0=
-1
10
-30
downloaded from KitabYurdu.org
Sonuncu cədvəldən tapırıq:
I
=
2
=
7
0=
-10
I
=
=
=
10
I
=
=
=
3
downloaded from KitabYurdu.org
Mövzu 6: Xətti proqramlaşdırmanın əsas məsələsinin riyazi təsviri
Xətti proqramlaşdırma nəzəriyyəsinin tədqiqat obyekti onun əsas
məsələsidir. Bu məsələ aşağıdakı kimi yazılır:
Məqsəd funksiyası
( ) =
+
+ ⋯ +
(1)
Məhdudiyyət şərtləri
+
+ ⋯ +
≤
+
+ ⋯ +
≤
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
+
+ ⋯ +
≤
(2)
Dəyişənlərin mənfi olmaması şərtləri
≥ 0;
≥ 0; … ;
≥ 0 (3)
Burada
( = , ⃗), ( = , ⃗), ( = , ⃗; = , ⃗) verimiş
sabit kəmiyyətlərdir,
( = , ⃗) isə məchul kəmiyyətlərdir.
Xətti proqramlaşdırmanın (1) – (3) əsas məsələsi aşağıdakı kimi
ifadə olunur.
, , … , məchulları üçün mənfi olmayan elə qiymətlər tapmaq
lazımdır ki, bu qiymətlər (2) məhdudiyyət sistemini ödəsinlər və (1)
məqsəd funksiyasına ən böyük və ya ən kiçik qiymət versinlər.
Qeyd 1: (2) sistemində xətti məhdudiyyətlər
≥, ≤, = formasında ola
bilər.
Qeyd 2: Bəzi ədəbiyyatlarda (2) sisteminin xətti məhdudiyyətlərinin
xarakterindən asılı olaraq (1) – (3) məsələsinə
– Xətti proqramlaşdırmanın əsas məsələsi;
– Xətti proqramlaşdırmanın ümumi məsələsi;
– Xətti proqramlaşdırmanın kanonik məsələsi;
– Xətti proqramlaşdırmanın standart məsələsi və s. kimi müxtəlif
adlar verilir.
Tərif 1:
, , … , məchulların mənfi olmayan və (2) sistemini ödəyən
qiymətlərinə xətti proqramlaşdırmanın əsas məsələsinin həlli və ya planı
(mümkün həlli və ya mümkün planı) deyilir.
Tərif 2:
, , … , məchulların mənfi olmayan (2) sistemini ödəyən
və (1) məqsəd funksiyasına ən böyük və ya ən kiçik qiymət verən
downloaded from KitabYurdu.org
kəmiyyət xətti proqramlaşdırmanın əsas məsələsini optimal həlli və ya
optimal planı deyilir.
Beləliklə, xətti proqramlaşdırmanın əsas məsələsinni həll edilməsi
dedikdə bütün hallarda onun optimal planın tapılması başa düşülür.
Xətti proqramlaşdırmanın (1) – (3) əsas məsələsinin aşağıdakı
yazılış formaları vardır.
1. Vektor yazılış forması
2. Matris yazılış forması
3. Məsələnin cən işarəsinin köməyi ilə yazılışı
Vektor formasında (1) – (3) məsələsi aşağıdakı kimi yazılır.
=
→ max(
)
+
+ ⋯ +
≤
≥ 0
Burada
= ( , , … , ) və
= ( , , … , ) – n ölçülü
vektorlarıdır. PX isə bu vektorların skalyar hasilidir.
, , … , , isə şağıdakı sturuktura malik sütun vektorlardır.
=
…
,
=
…
,...,
=
…
,
=
…
Matris formasında (1) – (3) xətti proqramlaşdırmanın əsas məsələsi
aşağıdakı kimi yazılır.
=
→ max(
)
≤
≥ 0
Burada
= ( , , … , ) – sətir matrisi
=
…
- sütun matrisi
A – (3) sisteminin əsas matrisi olub, aşağıdakı şəkildədir.
=
… …
… …
− − − − − − − −
… …
downloaded from KitabYurdu.org
=
⋮
Cəm işarəsinin köməyi ilə (1) – (3) xətti proqramlaşdırma əsas
məsələsi aşağıdakı kimi yazılır.
( ) =
→ max(
)
≤ ( = , ⃗)
≥ 0 ( = , ⃗)
Indi isə buna aid misalı nəzərdən keçirək.
Məsələ 1: Aşağıdakı xətti proqramlaşdırmanı matris və vektor yazılış
formasında göstərin.
( ) = 2 + 5 −
→
4 + 5 ≤ 30
− 3 + 2 ≤ 50
≥ 0;
≥ 0;
≥ 0
Həlli:
- Matris yazılış forması
= (2; 5; −1) ∙
→
4 0
5
1 −3 2 ∙
≤
30
50
≥ 0
- Vektor yazılış forması
( ) = (2; 5; −1) ∙ ( ; ; ) →
41 +
0
−3
+ 52 ≤
30
50
( ; ; ) ≥ 0
downloaded from KitabYurdu.org
Məsələ 2: Aşağıdakı xətti proqramlaşdırma məsələsini cəm işarələrinin
köməyi ilə yazın.
( ) =
+
+
→
+
+
≤
+
+
≤
+
+
≤
+
+
≤
≥ 0;
≥ 0;
≥ 0
Həlli:
( ) =
→
≤ = 1; 4⃗
≥ 0 ( = 1; 3⃗)
downloaded from KitabYurdu.org
Mövzu 7. Xətti proqramlaşdırma məsələsinin həndəsi mənası və qrafik üsulla həlli
Tutaq ki, (1) – (3) məsələsində n = 2 – dir, yəni məsələyə 2 dəyişən daxildir.
Onda bu məsələyə aşağıdakı şəkilə düşər.
( ) =
+
→ max(
) (1)
+
≤
+
≤
− − − − − − − − −
+
≤
(2)
≥ 0,
≥ 0 (3)
Tutaq ki, (2) sistemi ziddiyyətli deyil, yəni onun heç olmazsa bir həlli vardır.
(2) sisteminin hər bir xəti bərabərsizliyi həndəsi olaraq müstəvi üzərində bir
yarımmüstəvi verir və bu yarımmüstəvilər müstəvidən
+
= ( = 1, )⃗
Sərhəd düz xətləri ilə ayrılır.
(2) sistemi ziddiyyətli olmadığından bu müstəvilər müstəvi üzərində
≥ 0,
≥ 0 yarımmüstəviləri ilə kəsişərək məsələnin mümkün həllər oblastını
əmələ gətirir. Bu mümkün həllər oblastına məsələnin həllər çoxbucaqlısı da deyilir.
Aşağıdakı şəkildə həllər çoxbucaqlısının mümkün variantlarından biri
göstərilmişdir.
= 3 olduqda bu həllər çoxbucaqlısı 3 ölçülü fəzada həllər çoxüzlüsünə
çüvrilir. Bu çoxüzlünün hüdudları isə
+
+
= ( =
)⃗ müstəviləri olur.
> 3 olduqda isə məsələnin həllər çoxbucaqlısı n ölçülü fəzada alınır və
onun hüdudları
+
+ ⋯ +
= ( =
)⃗
hiper müstəviləri ilə təyin edilir.
downloaded from KitabYurdu.org
Beləliklə, XP – nin əsas məsələsinin həndəsi mənası dedikdə məsələnin
həllər çoxüzlüsünün elə bir nöqtəsinnin tapılması başa düşülür ki, bu nöqtənin
koordinatları məsələnin məqsəd funksiyasına maksimum və ya minimum qiyət
versinlər.
Bu zaman nəzərə alınmalıdır ki, həllər çoxüzlüsünün hər bir nöqtəsinin
koordinatları məsələnin mümkün həlləri hesab edilir.
XP – nin əsas məsələsinin həllər çoxüzlüsünün aşağıdakı xassələri vardır.
Teorem 1: XP – nin əsas məsələsinin həllər çoxüzlüsü qabarıq çoxluqdur.
Teorem 2: XP – nin əsas məsələsinin məqsəd funksiyası özünün ən böyük
və ən kiçik qiymətini həllər çoxüzlüsünün təpə nöqtələrinin birində alır. Əgər
funksiya özünün ən böyük və ya ən kiçik qiymətini eyni zamanda iki təpə
nöqtəsində alarsa, onda funksiyanın bu qiyməti həmin təpə nöqtələrinin qabarıq
xətti kombinasiyası olan bütün nöqtələrdə də alınacaqdır.
Qrafik üsulu
Qrafik üsulu XP – məsələsinin ən sadə həll üsuludur. Bu üsulun əsasını XP –
in əsas məsələsinin həndəsi izahı təşkil edir.
XP – nin əsas məsələsinin qrafik üsulu ilə həlli şağıdaı mərhələləri əhatə
edir.
– Məsələnin həllər oblastının qurulması;
– Məqsəd funksiyasının artma istiqamətinin təyin edilməsi;
– Funksiyanın ekstremumlarının alındığı təpə nöqtələrinin müəyyən edilməsi
və onların koordinatlarının tapılması;
– Tapılmış optimal planlara görə funksiyanın ekstremumlarının hesablanması.
Fərz edək ki, (1) – (3) məsələsi verilmişdir. Məlum olduğu kimi, (2)
sisteminin hər bir xətti bərabərsizliyin müstəvi üzərində bir yarımmüstəvi verir və
bu yarımmüstəvilər müstəvidən aşağıdakı sərhəd düz xətti ilə ayrılır.
+
= ( = 1, )⃗
Əgər (2) sistemi ziddiyyətli deyilsə, onda bu yarımmüstəvilər müstəvi
üzərində
≥ 0,
≥ 0 yarımmüstəviləri ilə kəsişərkən, məsələni həll olunmasını
verir.
C N
D
B
Z
= 0
A h
2
0
h
1
downloaded from KitabYurdu.org
Məsələnin həlli oblastı qurulduqdan sonra məqsəd funksiyasının istiqaməti
təyin edilir. Bu məqsədləfunksiyanın qradiyenti qurulmalıdır (funksiyanın
qradiyenti deyildikdə onun artma istiqamətini təyin edən radius vektor başa
düşülür). (1) – məqsəd funksiyasının dəyişənlərinə görə birinci tərtib törəmələrini
hesablayaq:
= ,
=
Deməli, funksiyanın qradiyenti
= ( , ) radius vektorudur.
Koordinat başlanğıcından raduis vektora perpendikulyar düz xətt keçirək.
Nəticədə
= 0 səviyyə xəttini alarıq.
Bu düz xətti N vektoru boyunca özünə paralel sürüşdürək, bu düz xətt həllər
çoxbucaqlısının A və D nöqtələrində həmin oblasta dayaq olacaqdır. Deməli, A və
D təpə nöqtələri (2) və 3) şərtləri ilə müəyyən edilən oblastda (1) funksiyasının ən
böyük və ən kiçik qiymətlərinin alındığı nöqtələrdir. Radius vektorun istiqamətini
bildiyimizdən və
ℎ < ℎ olduğundan hökm edə bilərik ki, A təpə nöqtəsində
funksiyanın ən kiçik qiyməti, D təpə nöqtəsində isə ən böyük qiyməti alınır.
A və D nöqtələrinin koordinatlarını təyin etmək üçün bu nöqtələri doğuran
düz xətlərin tənliklərindən ibarət birgə sistemləri həll etmək kifayətdir.
Qeyd edək ki, yuxarıdakı misalda məsələnin həllər oblastı qapalı oblast idi.
Lakin bəzən elə xətti proqramlaşdırma məsələsinə rast gəlinir ki, bu məsələdə
həllər oblastı açıq oblast olur. Bu zaman aşağıdakı iki haldan biri mümkündür.
I hal: Z = 0 düz xətti həllər oblastını kəssə də heç bir nöqtədə bu oblasta
dayaq olmur. Z
Z = 0
Z
N
O
Onda məsələnin məqsəd funksiyası baxılan oblastda həm yuxarıdan, həm də
aşağıdan qeyri – məhdud olur, yəni
max ( ) = +∞ min ( ) = −∞
downloaded from KitabYurdu.org
II hal: Z = 0 düz xətti məsələnin həllər oblastını kəssə də bəzi nöqtələrdə bu
oblasta dayaq olur. Onda:
II(a). Məqsəd funksiyası verilmiş oblasta yuxarıdan məhdud, aşağıdan isə
qeyri – məhdud olur.
Z
Z = 0
Z
N
O
II(b). Məqsəd funksiyası aşağıdan məhdud, yuxarıdan qeyri – məhdud olur.
Z
Z = 0
Z
N
O
III(c) Məqsəd funksiyası həm yuxarıdan, həm də aşağıdan məhdud olur.
X
2
Z
Z=0
Z
N
O
X
1
downloaded from KitabYurdu.org
Mövzu 8. Xətti proqramlaşdırmanın əsas məsələsinin
iqtisadi mənası
Aşağıdakı sadə iqtisadi məsələyə baxaq:
Tutaq ki, firma n sayda məhsul istehsal edir və bu məqsədlə m sayda
xammaldan istifadə edir. Xammalların məhdudluğu
= ( , , … , ) vektoru ilə
təyin edilir. Bu vektorun
komponenti firmada olan i – ci xammalın məhdud
miqdarıdır. Məhsul vahidi istehsalına xammal sərfi normaları isə
=// //
,
texnoloji matrislə xarakterizə edilir, burada
- bir vahid j – cu məhsul istehsal
etmək üçün sərf ediləcək i – ci xammalın miqdarıdır. Məhsul vahidlərinin firmaya
verdiyi mənfəət isə
= ( , , … , ) vektoru ilə xarakterizə edilir. Burada P
j
–
bir vahid j – cu məhsulun satışından alınan mənfəətdir. Müəssisə üçün elə bir
istehsal proqramı tapmaq tələb edilir ki, bütün məhsulların satışından əldə ediləcək
məcmu mənfəət məksimum olsun.
Baxılan iqtisadi məsələnin riyazi ifadəsini verək. Tutaq ki, firma X
1
ədəd 1 –
ci məhsul, X
2
ədəd 2 – ci məhsul,..., X
n
ədəd n – ci məhsul istehsal edəcək. Yəni
firmanın istehsal proqramı
= ( , , … , ) vektoru ilə ifadə ediləcəkdir.
Bu məhsulları istehsal etmək üçün tələb edilən 1 – ci xammalın məcmu
miqdarını hesablayaq:
+
+
Müəssisədə birinci xammalın miqdarı məhduddur və a
1
– ə bərabərdir. Odur
ki. Bu iqtisadi göstərici birinci xammalın məhdud həcmindən çox ola bilmək, yəni
+
+
≤
şərti ödənməlidir.
Müvafiq bərabərsizlikləri digər xammal növləri üçün də tərtib etsək,
aşağıdakı bərabərsizliklər sistemini alarıq:
+
+ ⋯ +
≤
+
+ ⋯ +
≤
− − − − − − − − − − − − − − −
+
+ ⋯ +
≤
(1)
, , … , dəyişənləri firmada istehsal ediləcək məhsul növlərinin
miqdarını göstərdiyi üçün, təbii ki, mənfi kəmiyyət ola bilməzlər, yəni
≥ 0,
≥ 0, … ,
≥ 0 (2)
Indi isə, firmada istehsal edilən bütün məhsulların satışından əldə ediləcək
məcmu mənfəəti hesablayaq:
+
+ ⋯ +
Məqsədimizə görə firmanın məcmu mənfəəti maksimum olmalıdır. Odur ki,
bu mənfəətə istehsal ediləcək məhsulların həcminin funksiyası kimi baxsaq, yaza
bilərik:
downloaded from KitabYurdu.org
( ) =
+
+ ⋯ +
→
(3)
Gördüyümüz kimi, (1) – (3) XP – nin maksimum məsələsini aldıq. Yəni
, , … , məchulları üçün mənfi olmayan elə qiymətlər tapılmalıdır ki, bu
qiymətlər (1) sistemini ödəsin və (3) xətti funksiyaya maksimum qiymət versinlər.
Indi isə XP – nin əsas məsələsinin iqtisadi mənasına aid kontret misala
baxaq.
Tutaq ki, müəssisə 3 növ məhdud ehtiyatdan istifadə etməklə A və B
məhsulları istehsal edir. Bir ədəd A məhsulu istehsal etmək üçün
-
1 – ci ehtiyatdan 3 vahid
-
2 – ci ehtiyatdan 6 vahid
-
3 – cü ehtiyatdan 2 vahid
tələb olunur.
Bir ədəd B əhsulunun istehsal etmək üçün isə bu ehtiyatlardan uyğun olaraq
4, 2 və 5 vahid tələb olunur. Müəssisədə 200 vahid birinci ehtiyat, 300 vahid ikinci
və 100 vahid üçüncü ehtiyat vardır.
Bir ədəd A məhsulunun satışından müəssisə 50 manat, bir ədəd B
məhsulunun satışından 45 manat mənfəət əldə edir. Müəssisə üçün elə bir istehsal
proqramı tapmaq lazımdır ki, bu proqrama görə müəssisənin əldə edəcəyi məcmu
mənfəət maksimum olsun.
Baxılan iqtisadi məsələnin riyazi ifadəsini verək. Tutaq ki, müəssisə x
1
ədəd
A məhsulu və x
2
ədəd B məhsulu istehsal edəcək. Yəni müəssisənin istehsal
proqramı
= ( , ) vektoru ilə təyin ediləcəkdir. x
1
qədər A məhsulu və x
2
qədər B məhsulu istehsal etmək üçün tələb edilən I ehtiyatın miqdarını hesablasaq,
alarıq:
3 + 4
Təbii ki, bu kəmiyyət müəssisədə olan bir növ ehtiyatın miqdarından çox ola
bilməz yəni;
3 + 4 ≤ 200
Qalan ehtiyat növləri üçün də uyğun bərabərsizlikləri tərtib etsək aşağıdakı
xətti bərabərsizliklər sistemini alarıq.
3 + 4 ≤ 200
6 + 2 ≤ 300
2 + 5 ≤ 100
x
1
və x
2
kəmiyyətləri A və B məhsullarının istehsal həcmini göstərdiyindən
təbii ki, onlar mənfi kəmiyyət ola bilməzlər. Yəni
≥ 0,
≥ 0 şərtləri
ödənməlidir.
Indi isə istehsal edilmiş məhsulların satışından əldə ediləcək məcmu
mənfəəti hesablayaq:
50 + 45
downloaded from KitabYurdu.org
Məsələdə qoyulmuş məqsədə görə bu mənfəət maksimum olmalıdır.
Beləliklə alırıq:
( ) = 50 + 45 →
(4)
3 + 4 ≤ 200
6 + 2 ≤ 300
2 + 5 ≤ 100
(5)
≥ 0,
≥ 0 (6)
Göründüyü kimi baxılan iqtisadi məsələnin riyazi ifadəsi (4) – (6) XP – nın
əsas məsələsinə gətirildi. Yəni x
1
və x
2
məchulları üçün mənfi olmayan elə
qiymətlər tapılmalıdır ki, bu qiymətlər (5) sisteminin məhdudiyyət şərtlərini
ödəsinlər və (4) məqsəd funksiyasına maksimum qiymət versinlər.
Beləliklə XP – nın əsas məsələsinin iqtisadi mənası dedikdə müəssisə üçün
elə bir istehsal proqramının tapılması başa düşülür ki, bu proqrama görə istehsal
ehtiyatlarının məhdudluğu şəraitində müəssisənin əldə edəcəyi məcmu mənfəət
maksimum olsun.
Bu iqtisadi izaha çox zaman maksimum mənfəət məsələsi deyilir.
Qeyd edək ki, XP – nın əsas məsələsinin həndəsi mənasından fərqli olaraq
bu iqtisadi izah məsələnin yeganə mümkün izahı deyilir. Belə ki, məsələnin
iqtisadi mənasını real həyatdan götürülmüş çoxsaylı misallarla izah etmək olar.
downloaded from KitabYurdu.org
Mövzu 9. Xətti proqramlaşdırmanın simpleks üsulla həlli
Simpleks ( simpleks – latın sözü olub, sadə deməkdir) - n - ölçülü fəzada
+ 1 sayda təpə nöqtələrinə malik olan sadə qabarıq çoxüzlüdür ( məsələn, 3 –
ölçülü fəzada tetraedr); simpleks həmçinin
≤ 1
şəklində bərabərsizliyin mümkün həllər oblastından (çoxluğundan) ibarətdir.
Simpleks üsulu universal alqoritm olmaqla istənilən XP məsələsini həll
etmək üçün istifadə olunur. O amerika riyaziyyatçısı Corc Donsiq tərəfindən tətqiq
edilmiş və ilk dəfə olaraq 1949 – cu ildə mətbuatda çap edilmişdir.
Bu üsulun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, əvvəla XP məsələsinin hər hansı
dayaq həlli tapılır. Daha sonra digər dayaq həllərə keçməklə məqsəd funksiyasının
qiymətləri ardıcıl olaraq artaraq (azalaraq) onun maksimum (minimum) qiyməti
tapılır. Simpleks üsulu müxtəlif ədəbiyyatlarda çox vaxt “planların ardıcıl
yaxşılaşdırılması üsulu” da adlandırılır.
Bu üsul iki mərhələdən ibarətdir:
1) Dayaq həllin axtarılması
2) Optimal həllin axtarılması
Dayaq həllin axtarılması mərhələsi – cədvələ keçid, dayaq həllin tapılması
əlaməti və əsas elementin seçilməsi mərhələlərini özünə daxil edir.
Optimal həllin axtarılması mərhələsi isə - optimal həllin tapılması əlaməti və
əsas elementin seçilməsi alt mərhələlərini əhatə edir.
Nəticədə XP məsələsinin ya məhdudiyyət şərtlərinin ziddiyyətli olması,
yaxud məqsəd funksiyasının qeyri – məhdud olduğu müəyyən edilir, ya da onun
optimal həlli tapılır.
<> XP məsələsinin simpleks üsulla həllinə baxaq. Tutaq ki, “max”
XP məsələsi aşağıdakı şəkildə verilmişdir:
Məqsəd funksiyası
( ) =
+
+ ⋯ +
→ max (1)
Məhdudiyyət şərtləri
+
+ ⋯ +
≤
+
+ ⋯ +
≤
− − − − − − − − − − − − − − −
+
+ ⋯ +
≤
(2)
≥ 0, ( = , ) (3)
Burada
, ,
( = , , = , ) – verilmiş ədədlərdir və
>
downloaded from KitabYurdu.org
Simpleks üsulunun tətbiqinə keçməmişdən əvvəl (1) - (3) XP məsələsini
kanonik (yaxud əsas) məsələ şəklində yazaq. Bu məqsədlə (2) şərtlərini
= −
−
− ⋯ −
+
≥ 0 ( = 1, ) (4)
kimi ifadə edək. Beləliklə,
, , … , asılı dəyişənləri məsələyə daxil edilir.
I. Dayaq həllin axtarılması
1) Cədvələ keçid
(1) - (3) məsələsi, həmçinin (4) nəzərə alınmaqla, cədvəl şəklində yazılır:
(5)
2) Dayaq həllin tapılması əlaməti.
Tutaq ki, (5) – də sərbəst hədlərdən heç biri mənfi deyildir, yəni
≥ 0,
≥ 0, … ,
≥ 0. Onda
= 0,
= 0, … ,
= 0 (6)
məsələnin dayaq həllidir. Doğurdan da (6) qiymətlərində (5) cədvəlindən
alırıq ki,
=
≥ 0 …
=
≥ 0 olur. Daha doğrusu (4) şərtləri ödənilir.
Beləliklə “max” XP məsələsinin dayaq həllinin tapılması əlaməti Simpleks
cədvəlinin sərbəst sütunundan mənfi həddin olmamasından ibarətdir.
3) Dayaq həllin axtarılması zamanı əsas elementin seçilməsi:
Tutaq ki, (5) cədvəlində heç olmazsa bir mənfi sərbəst hədd, məsələn,
< 0 vardır. Onda (6) qiymətləri məsələnin heç bir həllini vermir. Belə ki, bu
qiymətlərdə
=
< 0 alırıq və o, (4) şərtləri ilə ziddiyyət təşkil edir.
Sərbəst sütunda mənfiliyi aradan qaldırmaq məqsədi ilə aşağıdakı qaydalar üzrə
əsas element tapılır:
a) ən kiçik mənfi sərbəst həddin (tutaq ki,
< 0) yerləşdiyi r - sətir
elementlərinə baxılır. Əgər burada heç bir mənfi element olmazsa, onda həmin
məsələnin şərtləri uyuşan deyil. Deməli, məsələnin həlli yoxdur.
b) Həmin sətirdə yerləşən hər hansı elementin daxil olduğu S – sütunu əsas
sütun olur.
c) Sərbəst hədlərin əsas sütunun müvafiq elementlərinə olan nisbəti tərtib
edilir. Ən kiçik nisbətin alındığı sətir əsas sətir götürülür.
Tutaq ki,
min
≥ 0 =
, onda r sətri əsas sətir olur.
− . . .. – ↓ . . .. − İ
=
. . ..
. . ..
→
. . ..
. . ..
=
. . ..
. . ..
=
− …. − …. −
0
downloaded from KitabYurdu.org
d) Əsas s sütununun və r sətirinin kəsişməsində
əsas elementi seçilir. Bu
elementə nəzərən bir addım atılır (tətbiq edilir). Nəticədə
sərbəst həddi artıq
müsbət olur, daha doğrusu
=
> 0 alırıq.
Cədvəlin sərbəst sütununda qalan digər mənfi mənfi həddlər də oxşar qayda
ilə mənfilikdən azad edilir. Sonlu sayda addım tətbiq etməklə ya məsələnin
şərtlərinin birgə olmadığını müəyyən edirik, ya da onun dayaq həllini tapırıq.
Qeyd etmək lazımdır ki, XP nəzəriyyəsinin iqtisadi tətbiqi məsələlərində
sərbəst həddlər müsbət, yəni
≥ 0 ( = , ) olurlar. Ona görə də birinci
mərhələnin 2- ci altmərhələsindən sonra bilavasitə II mərhələyə - optimal həllin
axtarılmasına keçmək lazımdır.
Tutaq ki, I mərhələ başa çatmışdır, dayaq həll tapılmış və nəticədə aşağıdakı
cədvəl alınmışdır:
− … − −
… − …
I
=
…
,
…
…
--------
------------------------------------------------------------ ------
=
…
,
…
…
=
,
…
,
,
…
,
…
,
---------
------------------------------------------------------------ -------
…
,
…
…
---------
------------------------------------------------------------ -------
…
,
…
…
=
…
… …
Q
Burada
≥ 0, … ,
≥ 0 (8)
və deməli,
= 0, … ,
= 0,
= 0, … ,
= 0 (9)
məsələnin dayaq həllidir. Məqsəd funksiyasının müvafiq qiyməti isə Z=Q. Bundan
sonra II mərhələyə keçirik.
II.
Optimal həllin axtarılması
Bu 2 mərhələdən ibarətdir.
1) Optimal həlllin tapılması əlaməti
(7) cədvəlinin Z – sətir əmsallarına baxılır. Əgər onların içərisində mənfi
olanı yoxdursa, yəni
≥ 0, … ,
≥ 0 , olarsa, onda tapılmış (9) dayaq həlli məsələnin həm də
optimal həllidir. Beləliklə, XP məsələsi həll edilmişdir və Z
max
= Q
≪min≫ XP məsələsi iki üsulla həll edilir:
I üsul: “min” XP məsələsi müvafiq “max” XP məsələsinə gətirilir.
Bunun üçün Z(x) funksiyasını (-1) - ə vurmaq və aşağıdakı “max” XP
məsələsini həll etmək kifayətdir:
downloaded from KitabYurdu.org
Məqsəd funksiyası
( ) = (−1) ( ) = −
−
− ⋯ −
→
(10)
(2) və (3) şərtləri olduğu kimi saxlanılır.
Bu zaman alınmış “max” XP məsələsinin optimal həlli olur və aşağıdakı
bərabərlik doğrudur:
Z
min
= (-1) F
max
II üsul: “min” XP məsələsi bilavasitə Simpleks üsulu ilə həll edilir.
downloaded from KitabYurdu.org
Mövzu 10:Xətti proqramlaşdırmada qoşmalıq
Verilmiş hər bir əsas (ilkin) xətti proqramlaşdırma məsələsi ilə yanaşı çox
hallarda digər xətti proqramlaşdırma məsələsinə də baxılır ki, bu da onun qoşma məsələ
müəyyən qaydalar üzrə alınır. Asanlıqla yoxlamaq olar ki, əsasməsələyə onun öz
qoşmanın qoşma məsələsi kimi baxmaq olar. Ona görədə xətti proqramlaşdırmanın əsas
nə qoşma məsələləri qarşılıqlı qoşma olan məsələlər cütünü təşkil edir. Onlar simmetrik
və qeyri – simmetrik ola bilərlər.
Bununla əlaqədar olaraq qoşma olan xətti proqramlaşdırma məsələlərini vahid
simpleks cədvəlində yazmağı bacarmalıyıq. Onda əsas xətti proqramlaşdırma məsələsini
həll edərkən eyni zamanda onun qoşma xətti proqramlaşdırma məsələsini həll edərkən
eyni zamanda onun qoşma xətti proqramlaşdırma məsələsi ddə həll edilir və əksinə. Bu
zaman xətti proqramlaşdırma məsələsinin həlli nəticəsində məqsəd funksiyası üçün
alınmış ekstremum qqiymət qoşma xətti proqramlaşdırma məqsəd funksiyasının
ekstremum qiyməti ilə üst – üstə düşür.
Əgər əsas məsələ olaraq “max” xətti proqramlaşdırma məsələsi götürülərsə. Onda
onun qoşması “min” xətti proqramlaşdırma məsələsindən ibarət olur. Bu zaman
yuxarıda göstərdiyimiz kimi, əsas məsələni simpleks üsulu ilə həll etdikdə ona qoşma
olan məsələ də paralel həll edilir. Beləliklə, “min” xətti proqramlaşdırma məsələsinin
həlli üçün yenio üsul alınmış olur ki, buna da qoşma simpleks üsulu deyilir. Ona görə də
“max” simpleks üsulu ilə\ həlli mərhələləri ilə paaralel sürətdə həmçinin “min” xətti
proqramlaşdırma məsələsinin də qoşma simpleks üsulu ilə həlli prosesində irəli gələn
mərhələləri ifadə etməyi bacarmalıyıq.
Xətti proqramlaşdırma qoşma məsələləri simmetrik və qeyri – simmetrik ola
bilərlər. Simmetrik məsələlərdə həm düz. Həm də qoşma məsələnin məhdudiyyət
şərtləri bərabərsizliklərdən ibarət olur, məchulların işarələi üzərinə isə mənfi olmamaq
şərtləri qoyulur. Qeyri – simmetrik məsələlərə isə düz məsələnin məhdudiyyət şərtləri
bərabərsizlik və bərabərliklərdən ibarət olmaqla qarışıq şəkildə verilir. Bu zaman qoşma
məsələnin məchulları mənfidə ola bilərlər. Indi isə simmetrik qoşma məsələdə ola
bilərlər. Indi isə simmetrik qoşma məsələlərin tərtibi üçün ümumi qaydaları ifadə edək:
Düz məsələ
Məqsəd funksiyası
( ) =
+
+ ⋯ +
→
(1)
Məhdudiyyət şərtləri
+
+ ⋯ +
≤
+
+ ⋯ +
≤
− − − − − − − − − − − − − − −
+
+ ⋯ +
≤
(2)
Məchulların mənfi olmaması şərtləri
≥ 0;
≥ 0; … ;
≥ 0
, , … , məchulları üçün elə qiymətlə tapmalı ki, onlar (2) və (3) şərtlərini
ödəsin, (1) xəttifunksiyasına isə maksimum qiymət versinlər.
Tərif 1: Məhdudiyyət şərtlərində məchulların əmsallarından ibarət matris, sərbəst
hədlərdən ibarət sütun matrisi və məqsəd funksiyasının əmsallarından ibarət sətir matrisi
daxil olan matrisə xətti proqramlaşdırma məsələsinin genişləndirilmiş matrrisi deyilir.
Tərif 1 – ə əsasən (1) – (3) xətti proqramlaşdırma məsələsinin genişləndirilmiş
matisi aşağıdakı şəkildə olur:
downloaded from KitabYurdu.org
=
⎝
⎜
⎜
⎛
…
⋮
…
⋮
− − − − − − − ⋮ −
…
⋮
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯
…
⋮
⎠
⎟
⎟
⎞
(4)
Qoşma məsələ
Məqsəd funksiyası
( ) =
+
+ ⋯ +
→
(5)
Məhdudiyyət şərtləri
+
+ ⋯ +
≤
+
+ ⋯ +
≤
− − − − − − − − − − − − − − −
+
+ ⋯ +
≤
(6)
Məchulların mənfi olmaması şərtləri
≥ 0;
≥ 0; … ;
≥ 0
, , … , məchulları üçün elə qiymətlə tapmalı ki, onlar (6) – (7) şərtlərini
ödəsin, (5) xəttifunksiyasına isə minimum qiymət versinlər.
Aşağıda simmetrik və qeyri – simmetrik qoşma məsələlərinin tərttibinə aid
nümunələr verilmişdir.
Simmetrik məsələlər:
1) Ilkin məsələ
( ) =
→
≤ = 1, ⃗
≥ 0 ( = 1, ⃗)
Qoşma məsələ
( ) =
→
≥
= 1, ⃗
≥ 0 ( = 1, ⃗)
2) Ilkin məsələ
( ) =
→
≥ = 1, ⃗
≥ 0 ( = 1, ⃗)
downloaded from KitabYurdu.org
Qoşma məsələ
( ) =
→
≤
= 1, ⃗
≥ 0 ( = 1, ⃗)
Qeyri – simmetrik məsələlər:
1) Ilkin məsələ
( ) =
→
= = 1, ⃗
≥ 0 ( = 1, ⃗)
Qoşma məsələ
( ) =
→
≥
= 1, ⃗
>=< 0 ( = 1, ⃗)
2) Ilkin məsələ
( ) =
→
= = 1, ⃗
≥ 0
Qoşma məsələ
( ) =
→
≤
= 1, ⃗
>=< 0 ( = 1, ⃗)
downloaded from KitabYurdu.org
Mövzu 12: Qapalı və açıq nəqliyyat məsələləri
=
(1)
Tarazlıq şərti ödənən nəqliyyat məsələsinə qapalı balanslı nəqliyyat məsələsi və
ya sadəcə qapalı nəqliyyat məsələsi deyilir. Teoremə görə yalnız qapalı nəqliyyat
məsələsini həll etmək mümkündür. Bəzən nəqliyyat məsələsində (1) tarazlıq şərti
ödənmir. Yəni məcmu tələbdən çox, yəni
>
(2)
və ya az, yəni
<
(3)
(2) və (3) şərtləri ödənən nəqliyyat məsələsinə açıq nəqliyyat məsələsi deyilir. (2) şərti
ödənən açıq nəqliyyat məsələsi quraq:
( ) =
→
≤ ( = 1, )
= ( = 1, )
≥ 0
= 1,
= 1,
(2) şərti ödənən açıq nəqliyyat məsələsi isə aşağıdakı kimi yazılacaqdır.
( ) =
→
downloaded from KitabYurdu.org
= ( = 1, )
≤ ( = 1, )
≥ 0
= 1,
= 1,
Yuxarıdakı teoremə görə açıq nəqliyyat məsələsini həll etmək mümkün deyil.
Odur ki, onları qapalı şəklə gətirmək lazımdır.
Tutaq ki, (2) şərti ödənir, yəni məcmu təklif məcmu tələbdən çoxdur. Bu halda
məsələni qapalı şəklə gətirmək üçün həmin məsələyə (n+1) – ci şərti istehlakçı daxil
edilir və onun tələbi aşağıdakı kimi hesablanır:
=
−
Bu halda məsələnin ölçüləri böyüdüyü üçün həm C nəqliyyat xərcləri matrisinə,
həm də X daşınmalar matrisinə (n+1) – ci sütun əlavə edilir (C matrisində bu sütuna ya
“0” – lar, ya da bu matrisin digər elementləri ilə müqayisədə kifayət qədər böyük
ədədlər yazılır). Onda baxılan açıq nəqliyyat məsələsi
=
(2 )
şəklində tarazılıq şərti daxilində qapalı məsələyə çevrilir. Tutaq ki, açıq nəqliyyat
məsələsində (3) şərti ödənilir, yəni məcmu tələb məcmu təklifdən çoxdur. Bu halda
məsələni qapalı şəklə gətirmək üçün (m+1) – ci şərti istehsal müəssisələrindən istifadə
edilir və bu müəssisədə olan məhsulun miqdarı aşğıdakı kimi müəyyən edilir:
=
−
Məsələnin ölçüləri dəyişdiyi üçün C və X matrislərinə uyğun olaraq (m+1) – ci
sətir əlavə edilir. Onda baxılan açıq nəqliyyat məsələsi
=
(3 )
downloaded from KitabYurdu.org
tarazlıq şərti daxilində qapalı məsələyə çevrilir. Alınmış yeni qapalı nəqliyyat
məsələsi həll edilərək optimal həll tapıldıqdan sonra bu optimal həlldə (m+1) - ci
əlavə sətir və ya (n+1) – ci sütun silinir və baxılan açıq nəqliyyat məsələsinin optimal
həlləri tapılır. Əgər C matrisində əlavə edilmiş (m+1) – ci sətirə və ya (n+1) – ci
sütuna “0” – lar yazılmışdırsa onda açıq nəqliyyat məsələsi ilə onun gətirildiyi qapalı
nəqliyyat məsələsinin məqsəd funksiyasının qiymətləri üst - üstə düşür. Əgər C
matrisinə əlavə edilmiş (m+1) – ci sətir və ya (n+1) – ci sütuna “0” – dan fərqli böyük
ədədlər yazılmışsa, onda açıq nəqliyyat məsələsinin məqsəd funksiyasının minimum
qiymətini tapmaq üçün bu məsələnin gətirildiyi qapalı nəqliyyat məsələsinin nəqliyyat
xərclərinin cəmindən X – daşınmalar matrisindən silinmiş sətir və ya sütunla bağlı
nəqliyyat xərclərinin cəmini çıxmaq lazımdır.
downloaded from KitabYurdu.org
Mövzu 13: Nəqliyyat məsələsinin həll üsulları
Nəqliyyat məsələsi riyazi ifadəsinə görə xətti proqramlaşdırmanın əsas məsələsidir.
Odur ki, məsələni Simpleks metodu ilə həll etmək mümkündür. Lakin nəqliyyat
məsələsinin indiyə qədər baxılan xətti proqramlaşdırmadan fərqli cəhətləri vardır. Bu
fərqli cəhətlər aşağıdakılardır:
1. Nəqliyyat məsələsinin dəyişənləri iki indekslidir;
2. Məsələnin bütün məhdudiyyət şərtləri tənliklərdən ibarətdir;
3. Hər bir dəyişən yalnız iki məhdudiyyət şərtində iştirak edir;
4. Məsələnin məhdudiyyət şərtlərində iştirak edən bütün dəyişənlərin əmsalları vahidə
bərabərdir.
Bu fərqli cəhətlər ona gətirib çıxarır ki, məsələni Simpleks üsulla həll etmək nəzəri
cəhətdən mümkün olsa da, praktik baxımdan mümkün olmur (hesablama işlərinin sayı
həddən artıq çox olur).
Odur ki, nəqliyyat məsələsini həll etmək üçün bu fərqli cəhətləri nəzərə alan və
optimal həllin tapılmasını prosesini asanlaşdıran bir sıra sonlu həll metodları
hazırlanmışdır. Bu metodlara misal olaraq potensiallar metodunu, macar metodunu, bölgü
metodunu, diferensial renta metodunu, Foqelin approksimasiyası metodunu və s.
göstərmək olar.
Nəqliyyat məsələsinin həllində ən çox işlənən metod potensiallar metodudur.
Potensiallar metodunun alqoritmi hazırlıq hazırlıq mərhələsindən və sonlu sayda
eyni tipli yaxınlaşmalardan ibarətdir. Hazırlıq mərhələsində məsələnin hər hansı bir
daşınmalar matrisi tərtib edilir və onun optimal olub olmaması yoxlanılır.
Hər bir yaxınlaşma iki mərhələdən ibarətdir (birinci və sonuncu yaxınlaşmalardan
başqa. Birinci yaxınlaşma yalnız ikinci mərhələdən, sonuncu yaxınlaşma isə yalnız birinci
mərhələdən ibarətdir). Yaxınlaşmanın birinci mərhələsində əvvəlki yaxınlaşmalarda tərtib
edilmiş daşınmalar planının optimal olub – olmaması yoxlanılır.ikinci mərhələdə optimal
olmayan plan yaxınlaşdırılaraq daha az (ən pis halda ona bərabər) nəqliyyat xərclərinə
malik yeni daşınmalar planı tərtib edilir.
Hazırlıq mərhələsinin məzmunu. Bu mərhələdə məsələnin X daşınmalar matrisi ilə
verilmiş başlanğıc daşınmalar planı tərtib edilir və onun optimal olub olmaması yoxlanılır.
Ilkin daşınmalar matrisini aşağıdakı üsullardan biri ilə tərtib etmək olar:
1. Şimal – qərb bucağı üsulu
2. Ən kiçik element üsulu
3. Iki dəfə nəzərə alma üsulu
4. Foqeli approksimasiyası üsulu
Ən kiçik element üsulu timsalında nəqliyyat məsələsinin başlanğıc daşınmalar
planının alqoritmini ətraflı şəkildə nəzərdən keçirək. Ən kiçik element üsulu ilə X dayaq
daşınmalar matrisini qurmaq üçün C nəqliyyat xərcləri matrisində ən kiçik tapılır tutaq ki,
downloaded from KitabYurdu.org
min
;
=
−
,
Bu elementə X daşınmalar matrisində
elementi uyğun gəlir. Həmin elementin
qiyməti aşağıdakı məntiqi müqayisə mexanizmi vasitəsi ilə təyin edilir:
= min
;
,
Burada
–
– cı müəssisənin (sətrin) ehtiyatı;
-
– cı istehlakçının (sütunun) tələbidir.
Bu zaman aşağıdakı 3 haldan biri mümkündür.
1.
<
onda
=
olur və X daşınmalar matrisinin
– cı sətrinin
qalan bütün elementlərinin qiyməti “0” – a bərabər olur. Bu sətrin qalıq ehtiyatı “0” – a
bərabər olur. – cı sütunun qalıq tələbi isə
`
=
−
kimi hesablanır.
2.
>
onda
=
olur və X daşınmalar matrisinin
– cı
sütununun qalan bütün elementlərinin qiyməti “0” – a bərabər olur. Bu sütunun tələbi isə
“0” – a bərabər olur.
– cı sətirin qalıq ehtiyatı isə
`
=
−
kimi hesablanır.
3.
=
onda
=
=
olur. X daşınmalar matrisinin
– cı
sətrinin həm də – cı sütununun qalan bütün elementlərinin qiyməti “0” – a bərabər olur.
Həm
– cı sətirin qalıq ehtiyatı, həm də
– cı sütunun qalıq tələbi “0” – a bərabər olur.
Beləliklə, X daşınmalar matrisinin elementinin qiyməti təyin edilən zaman paralel
olaraq bu matrisin
– cı sətirinin, ya
– cı sütununun, ya da hər ikisinin bütün
elementlərinin qiymətləri tapılmış olur. Sonra C nəqliyyat xərcləri matrisində bu bağlı
sətir və ya sütuna uyğun gələn sətir və ya sütun silinir. Daha sonra C matrisinin qalan
elementləri içərisində yenidən ən kiçiyi seçilir və proses təkrarlanır. Bu proses X
daşınmalar matrisinin bütün elementlərinin qiymətləri təyin edilənə qədər davam etdirilir.
Yuxarıda sadaladığımız digər üsullar bu üsuldan yalnız X daşınmalar matrisinin
təyin ediləcək elementinin seçilməsi ardıcıllığı ilə fərqlənir. Məsələyə baxaq:
Məsələ:
Tutaq ki, 4 müəssisədə uyğun olaraq
= 220 ℎ , = 340,
= 410,
= 230 vahid məhsul vardır. Bu məhsulları 5 istehlak məntəqəsinə daşımaq lazımdır.
Birinci istehlakçının tələbi
= 250 ℎ , ikinci istehlakçının tələbi
= 150 ℎ ,
üçüncü istehlakçının tələbi
= 250 ℎ , dördüncü istehlakçının tələbi
=
150 ℎ , beşinci istehlakçının tələbi
= 400 ℎ
. Məhsul vahidlərinin daşınma
xərcləri aşağıdakı nəqliyyat xərcləri matisi ilə verilmişdir.
downloaded from KitabYurdu.org
=
3 2 6 5 9
5 4 3 8 6
2 1 9 4 7
7 2 6 6 8
Nəqliyyat məsələsinin iqtisadi – riyazi modelini qurun və ən kiçik element üsulu ilə
başlanğıc daşınmalar matrisini tərtib edin.
Həlli:
Tutaq ki,
{ , } kommunikasiyası üzrə
- vahid məhsul daşınacaqdır. Onda alarıq:
( ) = 3
+ 2
+ 6
+ 5
+ 9
+ 9
+ 4
+ 3
+ 8
+
6
+ 2
+
+ 9
+ 4
+ 7
+ 7
+ 2
+ 6
+ 6
+ 8
→
.
+
+
+
+
= 220
+
+
+
+
= 340
+
+
+
+
= 410
+
+
+
+
= 230
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
+
+
+
= 250
+
+
+
= 150
+
+
+
= 250
+
+
+
= 150
+
+
+
= 400
≥ 0 ( = 1,4 , = 1,5)
Məsələdə
=
= 1200
olduğu üçün bu məsələ qapalıdır.
Məsələ üçün
– başlanğıc daşınmalar matrisi qurulmalıdır. Baxılan nəqliyyat
məsələsi 4 x 5 ölçülü olduğu üçün bu daşınmalar matrisi aşağıdakı kimi axtarılacaqdır.
=
Ən kiçik element metodu üsulunu tətbiq edək.
C nəqliyyat xərcləri matrisində ən kiçik element tapılır. Bu element
= 1
elementidir.
daşınmalar matrisində C matrisinin bu elementinə uyğun gələn element
olacaqdır. Deməli, ilk növbədə bu elementin qiyməti təyin edilməlidir.
=
{ ; } =
{410; 150 } = 150
< olduğu üçün
daşınmalar matrisinin 2-ci sətrinin qalan bütün
elementlərinin qiymətləri 0 - a bərabər olur:
= 0,
= 0,
= 0
downloaded from KitabYurdu.org
Göründüyü kimi
daşınmalar matrisinin 2 – ci sütununun qalıq tələbi
` = 0
olur. 3 – cü sətrin qalıq qiyməti isə
` = 410 − 150 = 260 olur. Beləliklə, daşınmalar
matrisinin 2 – ci sütununun bütün elementləri təyin edildiyi üçün C nəqliyyat xərcləri
matrisində 2 – ci sütunu silirik. Sonra bu matrisin qalan elementləri içərisində yenidən
yenidən ən kiçiyini tapırıq. Bu
= 2 elementidir. Deməli,
daşınmalar matrisinin
təyin ediləcək növbəti elementi
elementi olacaqdır:
= min{ `; } = min{260; 250} = 250
< ` olduğu üçün
daşınmalar matrisinin 1 – ci sütununun qalan
elementlərinin qiymətləri sıfıra bərabər olur:
= 0,
= 0,
= 0
1 – ci sütunun qalıq tələbi
` = 0 olur. 3 – cü sətrin qalıq ehtiyatı isə
`` = ` − ` = 260 − 250 = 10
olacaqdır.
daşınmalar matrisinin 1 – ci sütununun bütün elementləri təyin edildiyi üçün C
nəqliyyat xərcləri matrisində 1 – ci sütunu silinir və proses bu qayda ilə başlanğıc
daşınmalar matrisinin bütün elementləri alınana qədər davam etdirilir.
Beləliklə aşağıdakı daşınmalar matrisini alırıq:
=
0 0
0 0
0
140 80
250
0
90
250 150
0
0
0 10
0
0 0 230
Bu daşınmalar üçün nəqliyyat xərclərinin cəmi:
( ) = 5 ∙ 140 + 9 ∙ 80 + 3 ∙ 250 + 6 ∙ 90 + 2 ∙ 250 + 1 ∙ 150 + 4 ∙ 10 + 8 ∙ 230
= 5240 ℎ
downloaded from KitabYurdu.org
| 