|
MüHƏNDİSLİk faküLTƏSİ Rİyazi analiz və funksiyalar nəZƏRİYYƏSİ Riyazi analiz fənnindən
|
| Sana | 20.05.2024 | | Hajmi | 163,59 Kb. | | #246592 |
Bog'liq Rasional kəsrin inteqrallanması
Azərbaycan Respublikası Elm və Təhsil Nazirliyi
Sumqayıt Dövlət Universiteti
MÜHƏNDİSLİK FAKÜLTƏSİ
RİYAZİ ANALİZ VƏ FUNKSİYALAR NƏZƏRİYYƏSİ
Riyazi analiz fənnindən
SƏRBƏST İŞ
İxtisas: 050621 – Logistika və nəqliyyat texnologiyaları mühəndisiyi
Qrup: 665
Kurs: 1
Tələbə: Rəsul İsmayılov
Fənn müəllimi: Ass. Günel Eynazlı
Kafedra müdiri: Prof. Nəbi Qurbanov
Mövzu: Rasional kəsrin inteqrallanması
Ən sadə kəsrlər növləri.
İstənilən rasional funksiya iki çoxhədlinin nisbətindən ibarət rasional kəsr şəklində olur. Mühakimənin ümumiliyini azaltmadan, bu çoxhədlərinin ortaq vuruqlarının olmadığını fərz edə bilərik.
Surətinin dərəcəsi məxrəcinin dərəcəsindən kiçik olan kəsrlər düzgün, əks halda isə düzgün olmayan kəsrlər adlanır.
Düzgün olmayan kəsrin surətini məxrəcinə bölərək (çoxhədlilərin bölünməsi qaydasına əsasən) onu müəyyən bir çoxhədli ilə düzgün kəsrin cəmi şəklində göstərmək olar:
,
burada – çoxhədli, isə düzgün kəsrdir.
Tərif. Aşağıdakı şəkildə olan düzgün kəsrlərə uyğun olaraq I, II, III və IV növ sadə kəsr deyilir:
I.
II. (k müsbət tam ədəddir və k≥2),
III. (məxrəcin kökləri kompleks ədədlərdir, yəni ),
IV. (k müsbət tam ədəddir və k≥2,məxrəcin kökləri kompleks ədədlərdir).
I, II və III növ sadə kəsrlərin inteqrallanması çətin olmadığından onları izah etmədən verə bilərik:
I.
II.
III.
(bax §5).
IV.
Burada birinci inteqral əvəzləməsi tətbiq edilməklə hesablanır. Doğrudan da
İkinci inteqralı ilə işarə edək və aşağıdakı kimi çevirək:
burada
qəbul edilmişdir (şərtə əsasən məxrəcin kökləri kompleks ədədlərdir, deməli, ). Sonra isə hesablamanı belə aparırıq:
(1)
Axırıncı inteqralı aşağıdakı kimi çevirək:
Alınmış inteqralı hissə-hissə inteqrallayaraq:
Bu ifadəni (1) bərabərliyində yerinə yazaq:
Sağ tərəfdə də şəklində inteqralı var, lakin inteqralaltı funksiyanın məxrəcinin dərəcəsi bir vahid kiçikdir, yəni k-1-dir. Beləliklə, inteqralını inteqralı ilə ifadə etdik.
Bu qayda ilə davam etməklə, məlum inteqrala gəlib çıxarıq:
t və m-in yerinə onların ifadələrini yazsaq IV inteqralının x və verilmiş A, B, p, q ədədləri vasitəsi ilə ifadəsini alarıq.
Sadə irrasionallıqların inteqrallanması.
I. inteqralına baxaq, burada R – öz arqumentlərinin rasional funksiyasıdır.
Tutaq ki, k ədədi kəsrlərinin ortaq məxrəcidir. əvəzləməsi aparaq. Onda x-ın hər bir kəsr üstlü qüvvəti
t-nin tam qüvvəti ilə ifadə olunar və deməli, inteqralaltı funksiya t-nin rasional funksiyasına çevrilər.
II. İndi
şəklində inteqrala baxaq. Bu inteqral
əvəzləməsinin köməyi ilə t-nin rasional funksiyasının inteqralına gətirilir, burada k ədədi kəsrlərinin ümumi məxrəcidir.
4. ( ) şəklində inteqrallar.
Belə inteqrallar aşağıdakı Eyler əvəzləmələrinin köməyi ilə yeni dəyişəninin rasional funksiyasının inteqralına gətirilir.
1. Eylerin birinci əvəzləməsi. Əgər olarsa,
əvəzləməsini qəbul edirik. Müəyyənlik üçün -nın işarəsini müsbət götürək. Onda
olar. Buradan isə x dəyişəni t-nin rasional funksiyası kimi tapılır:
(deməli, dx də t ilə rasional şəkildə ifadə olunar). Buna görə ifadəsi t-nin rasional funksiyası olur
Beləliklə, , x və dx ifadələri t vasitəsi ilə rasional şəkildə göstərilir; deməli, verilmiş inteqral t-nin rasional funksiyasının inteqralına gətirilir.
2. Eylerin ikinci əvəzləməsi. Əgər olarsa,
əvəzləməsini aparaq. Onda (müəyyənlik üçün qarşısındakı işarəni müsbət götürək)
.
Buradan x rasional funksiya kimi t ilə ifadə olunur:
Göründüyü kimi, dx və də t ilə rasional şəkildə
ifadə olunur; ona görə x, və dx-in qiymətlərini inteqralında yerinə yazaraq onu t-nin rasional funksiyasının inteqralına gətirərik.
3. Eylerin üçüncü əvəzləməsi. Tutaq ki, və həqiqi ədədləri üçhədlisinin kökləridir.
qəbul edək. olduğundan
Buradan x dəyişəni t-nin rasional funksiyası kimi ilə ifadə olunur:
.
dx və də t ilə rasional ifadə olunduqlarından, verilmiş inteqral t-nin rasional funksiyasının inteqralına gətirilir.
Qeyd. Eylerin üçüncü əvəzləməsi yalnız olduqda deyil, olduqda da tətbiq olunur, ancaq çoxhədlisinin köklərinin həqiqi olmalıdır.
|
| |
