Uchinchi metod Hilbert va Shmidt (Schmidt) lar tomonidan ishlab chiqil

3) Uchinchi metod Hilbert va Shmidt (Schmidt) lar tomonidan ishlab chiqil-
gan bo`lib, u yechim (37.6) integral operatorning xos funksiyalari (funda-
mental funksiyalari) va f(x) ning chiziqli kombinatsiyasi shaklida ifodalanadi
[1], [7]. 37 va 38-paragraarda Hilbert-Shmidt metodi bilan misollar yechib
ko`rsatilgan.
39-paragrafda λ parametrli ikkinchi tur Fredholm integral tenglamalari
yechimlari xossalari o`rganilib, ular integral operatorlar qatnashgan integral
tenglamalarni yechishga qo`llaniladi. Chiziqli integral tenglamalarni yechish-
ning yuqorida bayon qilingan birinchi usuli keltiriladi va u misollarga tadbiq
qilinadi. Bu paragrafda C[a, b] fazoda λ parametrli ikkinchi tur Fredholm
integral tenglamalarini yechish usullari bilan shug`ullanamiz. Dastlab Fred-
holm va Volterra tipidagi integral tenglamalar uchun ketma-ket o`rniga qo`yish
usulini bayon qilamiz. Keyin esa λ parametrli ikkinchi tur Fredholm integral
tenglamalarini ketma-ket yaqinlashishlar usuli bilan yechamiz.
40-paragrafda esa integral tenglamalarni Fredholm tomonidan berilgan ye-
chish usulini batafsilroq bayon qilamiz.
35- § . Kompakt operatorlar
Dastlab normalangan fazodagi kompakt, nisbiy kompakt to`plamlarga ta'rif
beramiz. Chunki kompakt operatorlar shu tushunchalar asosida ta'rianadi.
Biz normalangan fazolarda kompaktlik kriteriylarini ham keltiramiz. Keyin
esa asosiy tushuncha kompakt operatorga ta'rif beramiz va unga misollar kelti-
ramiz.
Banax fazosida kompakt operatorlar. Bizga X − Banax fazosi va
M ⊂ X
to`plam berilgan bo`lsin. Agar M to`plamdan olingan ixtiyoriy {x
n
}
ketma-ketlikdan M da yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin
bo`lsa, M ga kompakt to`plam deyiladi (21.6-ta'rifga qarang). Agar N to`plam-
ning yopig`i [N] kompakt to`plam bo`lsa, u holda N nisbiy kompakt to`plam
372

deyiladi (21.7-ta'rifga qarang). To`plam nisbiy kompakt bo`lishi uchun uning
to`la chegaralangan bo`lishi zarur va yetarli (21.5-teoremaga qarang). Chekli
o`lchamli fazolarda to`plam kompakt bo`lishi uchun (21.4-teoremaga qarang)
uning chegaralangan va yopiq bo`lishi zarur va yetarlidir. Asosiy funksional
fazolardan biri C[a, b] fazodir. Bu fazodagi to`plamning nisbiy kompaktlik
kriteriysi Arsela teoremasi (21.6-teoremaga qarang) yordamida bayon qilin-
gan. `
p
, p ≥ 1
fazoda to`plam nisbiy kompakt bo`lishining zarur va yetarli
shartlari 21.8-teoremada keltirilgan.
Chekli o`lchamli fazolarda aniqlangan chiziqli operatorlardan farqli o`laroq,
cheksiz o`lchamli fazolardagi ixtiyoriy chiziqli operatorning spektrini to`la o`r-
ganish ancha qiyin masaladir. Lekin kompakt operatorlarning spektrini to`la-
roq o`rganish mumkin. Kompakt operatorlar xossalariga ko`ra chekli o`lchamli
operatorlarga o`xshab ketadi va ularning spektri yetarlicha aniq tavsiflanadi.
Bundan tashqari, kompakt operatorlar ko`plab tatbiqlarga ega, masalan in-
tegral tenglamalar nazariyasida. Bu nazariyaning bir qismini biz keyingi 37 
40 - paragraarda keltiramiz.
35.1-ta'rif. Agar A ∈ L(X, Y ) va dim ImA < ∞ bo`lsa, u holda A ga
chekli o`lchamli operator deyiladi. Agar dim ImA = n bo`lsa, u holda A ga
n
o`lchamli operator deyiladi.
35.2-ta'rif. Bizga A : X → Y operator berilgan bo`lsin. Agar A operator
X
dagi har qanday chegaralangan to`plamni Y dagi nisbiy kompakt to`plamga
akslantirsa, u holda A kompakt operator yoki to`la uzluksiz operator deyiladi.
Chekli o`lchamli fazolarda to`plam kompakt bo`lishi uchun (21.4-teorema)
uning chegaralangan va yopiq bo`lishi yetarli va zarurdir. Demak, chekli o`lcham-
li fazodagi har qanday chegaralangan to`plam nisbiy kompaktdir va aksincha
(21.1-natijaga qarang).
35.1-teorema. A : C