EKSPERIMENT NATIJALARI USTIDA ISHLASH.
Таққослаш принципига асосланган таққослаш теоремалари турли ночизиқли масалар синфини, ҳамда оддий дифференциал тенгламаларни ва ҳусусий ҳосилали тенгламаларни, айниқса ночизиқлиларини тадқиқ қилишда муҳим ўрин тутади. Мазкур теоремалар ушбу ёндашишнинг ночизиқли масаларни тадқиқ қилишда дифференциал тенгсизликлар методи деб ҳам номланади ва у мазмун жиҳатдан чекли ночизиқли тенгламалар ечимининг Чаплигин усули ғояларини ривожлантиришдан иборатдир. Мазкур усул, аввал биринчи тартибли скаляр оддий дифференциал тенгламалар учун Коши масаласи, сўнг ночизиқли параболик типдаги масалалар мисолида намоён этилади. Бу масала биринчи бўлиб, Чаплигин томонидан ўтган асрнинг 20 йиллари бошларида қаралган бўлиб, ночизиқли дифференциал тенгламалар назариясининг самарали усулларидан бирининг бошланишига олиб келган.
Энди, Коши масаласи мисолида кўриб чиқамиз
(5.1)
Бунинг муҳим жиҳати шундаки, масаланинг берилишига кирувчи - фиксирланган оралиқ вақтда қаралишидир. Бунда, (5.1) масала математик модель сифатида иштирок этади. Классик теореманинг мавжудлик ва ягоналиги локалдир, яъни етарлича кичик бошланғич нуқта атрофида ечимнинг мавжудлигини кафолатлайди [1].Теоремани келтирамиз.
Теорема 1. Агар функция оралиқда аниқланган ва узуликсиз бўлса, у ҳолда бўлади. Шунинг дек, функция D соҳада Липщиц шартини y ўзгарувчи бўйича қаноатлантирсин. У ҳолда, (5.1) Коши масала оралиқда ягона ечимга эга.
Ҳақиқатдан, теорема 1 катта М да ечимнинг мавжудлик оралиғида қўпол баҳо беради. Бу сингуляр қўзғалувчи масалаларда яққол кўринади, яъни ўнг томони эга бўлганда. Бу ерда - кичик параметр. Теоремага асосан, қуйдаги баҳо бўйича ечимнинг оралиқ мавжудлигидир. Яна, маълум бир теореманинг тузилишини келтирамиз. Бу теореманинг исботи теорема 1 дагидек бажарилади, [2].
Теорема 2. Агар функция аниқланган, узуликсиз ва да y ўзгарувчи бўйича Липщиц шарти бажарилсин. У ҳолда, (5.1) Коши масала оралиқда ягона ечимга эга.
Теорема 2 локал эмас, функциялар синфида теорема шарти бажарилиши тордир. Шунинг учун, (5.1) масалани текшириш учун, Чаплигин дифференциаль тенгсизлигидан фойдаланиш эффектлироқдир. Теореманинг намойиши қуйдаги классик натижадан бошлаймиз.
|
