Изоҳ 1. Қуйи ва юқори ечимларни аниқлашда, қаттий бўлмаган тенгсизлик-лардан фойдаланишни кўрсатиш мумкин. Ҳусусий ҳолда, (5.1) масаланинг қуйи (юқори) ечими кўринишида олиш мумкин, бунда бошланғич момент бўлади. Ҳақиқатдан, фаразимиз нуқтада билан кесишади ва бу нуқта атрофида ечимнинг ягоналик шартини бузилишига олиб келади.
Изоҳ 2. Агар қуйи ва юқори ечимлар оралиқда аниқланган бўлса, функция узлуксиз ва Липщиц дойимийси бўйича Липщиц шарти қаноатлантирсин. t га боғлиқ бўлмаган оралиқда теорема 4 бажарилади.
Бундан биз =уйида фойдаланамиз.
5.3. Мисоллар.
10. Қуйидаги бошланғич масалани кўриб чиқамиз
Мавжудлик ва ягоналик классик теорема ([1]), оралиқда ечимнинг мавжудлик баҳосини беради. Сўнг, Липщиц шарти , бунда, бажарилмайди. қуйи ечимни танлаймиз (изоҳ 2). Ҳақиқатдан, келтирилган таъриф бажарилмоқда юқори ечимни танлаймиз. Юқори ечимнинг таърифи ҳам бажарилмоқда. . функция чекланишга эга, бу ерда - иҳтиёрий сон, ҳосила ва Чаплыгин теоремаси шартларини қаноатлантиради. (Теоремы 4) (Липщиц шартини қаноатлантиради). У ҳолда, қуйидаги ечим мавжуд , .
20. Бошланғич масалани кўриб чиқамиз
бу ерда, функция теорема 4 шартларини қуйидаги расмда тасвирланган ҳар бир да қаноатлантирсин.
Агар - биринчи манфий илдиз, - биринчи мусбат илдиз ва муносабат ўринли бўлса ва бошланғич қиймат шартни қаноатлантирсин. Шунингдек, бўлсин. У ҳолда қуйи ва юқори ечимларни танлаймизки, , шартларда дифференциал тенгсизликлар бажарилсин. Чаплыгин (Теорема 4) теоремасидан, қаралаётган масалани шартни қаноатлантирувчи ечими мавжуд.
ҳол учун кўриб чиқамиз. ҳол учун автомодель ечим турғунлиги шартини аниқлаймиз. Қуйида t+ нинг RN бўйича текис тақсимланган стабиллашуви ҳақида теорема исботланган.
Теорема 1.7. ҳол учун Т>0,
бўлсин. (1.37)
У ҳолда , (1.38)
(1.39)
Исботи. Теоремани исботлаш учун [19,48] да келтирилган усулдан фойдаланамиз. Бунинг учун
,
деб фараз ўиламиз ва орқали бошланғич шартли (1.75) тенгламанинг ечимини белгилаймиз. экани маълум.
, , ,
шартни қаноатлантирувчи функцияни кўриб чиқамиз.
|
