5.1. Дифференциал тенгсизликлар теоремаси
Теорема 3. (Чаплигин таққослаши ). (5.1) масаланинг y(t) (классик) ечими мавжуд. Қуйидаги функция мавжуд бўлса,
У ҳолда, тенгсизликка эга бўламиз.
Исбот. t=0 да тенгсизлик бажарилади. Биринчи марта шарт да бузилсин, у ҳолда бу нуқтада га эга бўламиз. эгри чизиқда, y(t) ва z(t) кесишади ёки урунади. Демак,
муносабат теоремага зид. Теорема 3 исботланди.
Эслатма. С.А.Чаплигин z(t) функцияни қуйи функция деб атайди, ҳудди шундай юқори функция щам аниқланади.
5.2. Мавжудлик теоремаси
Теорема 3 ёрдамида (5.1) масаланинг мавжудлигини исботлаш мумкин. Бунинг учун биз, қуйи ва юқори ечимларни аниқлашимиз керак. Ҳозирги вақт адабиётларида, Чаплигиннинг қуйи ва юқори функцияси деб ёзиш келишилган.
Таъриф. Функция (5.1) масаланинг қуйи ечими дейилади, агар қуйидаги тенгсизлик бажарилса.
Функция (5.1) масаланинг юқори ечими дейилади, агар қуйидаги тенгсизлик
бажарилса.
Натижа. Таққослаш теоремасининг схемасига мувофиқ, қуйи ва юқори ечимлар орасида тенгсизликга эришиш қийин эмас.
Теорема 4. (Чаплигиннинг мавжудлик ва ягоналиги). (5.1) масаланинг қуйи ва юқори ечимлари мавжуд бўлсин, , ҳолатда. Агар функция узлуксиз ва у ўзгарувчи бўйича Липщиц шартлари бажарилса, У ҳолда, (5.1) Коши масаласи тенгсизликни қаноатлантирувчи y(t) ягона ечимга эга.
Исбот. (5.1) масаланинг ўрнига, f(t,y) функция текисликда узлуксиз ва Липщиц шартини қаноатлантириши учун давом эттирамиз.
(5.2)
бу ерда, h(t,y) мисол учун,
Теорема 2 га асосан, (5.2) масаланинг ечими мавжуд ва ягонадир ( функция Липщиц дойимийси билан Липщиц шартини қаноатлантирсин, бу ерда L функциянинг Липщиц дойимийси). Теорема 3 га асосан бу ечим қуйи ва юқори ечимлар орасида ётади. Демак, лар учун (5.2) масаланнинг ечими (5.1) масаланинг ечими ҳисобланади. ■
|
