1.8 SPIN A MAGNETICKÝ MOMENT ELEKTRÓNU
Z klasickej fyziky je známe, že magnetický moment a moment hybnosti nabitej častice pohybujúcej sa po uzavretej dráhe spolu úzko súvisia. Uvažujme, ako najjednoduchší prípad, časticu s hmotnosťou m a nábojom q pohybujúcu sa rovnomerne po kruhovej dráhe s polomerom r. Moment hybnosti častice má smer kolmý na rovinu pohybu a jeho veľkosť je L = mvr.
Podľa teórie elektromagnetického poľa je magnetický moment slučky s plochou S, obtekanej prúdom I daný vzťahom = IS a má tiež smer kolmý na rovinu slučky. Časticu pohybujúcu sa po kružnici si môžeme predstaviť ako slučku,
okolo ktorej tečie prúd rovný náboju prenesenému istým miestom na slučke za jednotku času. Takto máme
Plocha slučky je S = r2 a pre magnetický moment máme
Odtiaľ vyplýva vzťah medzi magnetickým momentom a momentom hybnosti
Tento vzťah sme odvodili len v najjednoduchšej situácii. V skutočnosti je jeho oblasť platnosti oveľa širšia.
Pri analýze atómových spektier postuloval Pauli r. 1925 existenciu nového kvantového čísla spojeného s elektrónom. Toto kvantové číslo malo súvisieť len s vlastným („vnútorným“) stavom elektrónu a nie s orbitálnym pohybom elektrónu v atóme. Vzápätí Goudsmit a Uhlenbeck interpretovali nové kvantové číslo elektrónu ako jeho vlastný (či vnútorný) moment hybnosti nazývaný spin. So spinom súvisí aj vlastný magnetický moment elektrónu. Podľa hypotézy Goudsmita a Uhlenbecka priemet spinu elektrónu na určitú os môže nadobúdať iba dve hodnoty a to ±ħ/2. Klasický argument spomínaný na začiatku tohto článku vedie k predpokladu, že priemet vlastného magnetického momentu elektrónu na určitú os môže tiež nadobúdať iba dve hodnoty. Poznamenajme ešte, že hypotéza Goudsmita a Uhlenbecka bola formulovaná ešte pred vznikom kvantovej mechaniky (v tom istom 1925 roku). Kvantová mechanika potom vysvetlila štruktúru atómov a vtedy sa ukázalo, že presvedčivým dôkazom vlastného magnetického momentu elektrónu sú výsledky pokusu Sterna a Gerlacha uskutočneného už skôr (1921).
V týchto experimentoch prechádzal zväzok atómov s jediným valenčným elektrónom (zväzok atómov striebra) cez silne nehomogénne magnetické pole
v usporiadaní, ktorého princíp je znázornený na obr. 1.9. Pólové nástavce magnetu majú taký tvar, aby medzi nimi vzniklo silne nehomogénne pole. Atómy s jediným elektrónom na valenčnej sfére majú vykompenzované magnetické momenty všetkých ostatných elektrónov a vonkajšie silne nehomogénne pole interaguje iba s magnetickým momentom jediného elektrónu.
Silu, ktorá pôsobí v nehomogénnom magnetickom poli na časticu s magnetickým momentom určíme takto: Energia častice vo vonkajšom poli je W =
= − . B. Sila pôsobiaca na časticu je F = −grad W. Ak je B rovnobežné s osou z, potom sila bude mať zložku iba v smere osi z a pre jej veľkosť máme
kde z je priemet magnetického momentu častice do osi z. Pôsobením tejto sily sa zväzok častíc vychýli z pôvodného smeru a zmeraním výchylky možno určiť z.
Obr. 1.9
Podstatným výsledkom experimentov tohto typu, v ktorých sa meralo z bolo zistenie, že z môže nadobúdať iba dve hodnoty, a to
Pretože spinový moment hybnosti sz nadobúda iba dve hodnoty sz = ±ħ/2, vzťah medzi priemetom magnetického momentu a momentu hybnosti elektrónu na určitú os je
(3)
čo sa líši faktorom 2 od klasického vzťahu (1). Gyromagnetický pomer z/sz bol meraný aj v experimentoch Einsteina a de Haasa (1915), ale interpretácia výsledkov tu bola pomerne zložitá a v prvých štúdiách sa objavili aj experimentálne chyby. Presná hodnota gyromagnetického pomeru bola touto metódou získaná až neskôr v prácach Becka (1919), Avidssona (1920) a Stewarta (1918). Úplné
a presvedčivé vysvetlenie týchto výsledkov, potvrdzujúce vzťah (3) bolo dosiahnuté ešte o niekoľko rokov neskôr, po vysvetlení povahy feromagnetického stavu. Veľmi pekne napísaný a v mnohom poučný prehľad o experimentoch typu Einsteina a De Haasa možno nájsť v knižke Frenkela a Javelova13.
Teoretické vysvetlenie „anomálneho“ gyromagnetického pomeru elektrónu (chýbajúca dvojka v (3)) priniesla až Diracova relativistická rovnica elektrónu (1928). Presné merania však ukázali, že rovnicu (3) treba zmeniť na
kde = Ke2/ħc ≈ 1/137 je konštanta jemnej štruktúry. Vysvetlenie tejto korekcie je jedným z najväčších úspechov kvantovej elektrodynamiky (Schwinger, 1948). Bodky v predchádzajúcom vzťahu označujú korekcie vyšších rádov.
Napokon ešte dve poznámky: 1. Často používané formulácie ako „uvažujme elektrón prechádzajúci Sternovým a Gerlachovým prístrojom…“ treba chápať len ako skrátený opis reálnej situácie, alebo ako myšlienkový experiment. Pokus Sterna a Gerlacha sa prakticky nedá uskutočniť so zväzkom voľných elektrónov. Na nabité častice v magnetickom poli pôsobí Lorentzova sila a táto je väčšia (a je málo pod kontrolou pre silnú nehomogenitu poľa) ako interakcia magnetického momentu elektrónu s nehomogénnym poľom.
| 