|
1-Ma’ruza. Vektorlar ustida amallar. Vektorning va nuqtaning koordinatalari. Reja
|
| bet | 6/11 | | Sana | 13.09.2023 | | Hajmi | 2.04 Mb. | | #81537 |
Bog'liq 2-seminar ШАХСИЙ РЕЖА KITOBCHA, истиқболли режа З.Бозоров, Informatika 7-sinf. 1-Mavzu axborot tushunchasi va bilish haqid, AXBOROT TUSHUNCHASI VA BILISH HAQIDA, 7-sinf, Ta`lim muassasasi menejmenti Reja, Pedagogik mahorat. Mavlonova, Sinfdan tashqari o‘qish uchun mavzular bo‘yicha badiiy asarlar ro‘yxatini tuzish, TUG’ILISH DAVRI INQIROZI, 6277 403 5112000-Жисмоний маданият узбек 2021, “Bir million dasturchi”, 1-mavzu amaliy hemis, 8742dd91-7cd2-429e-adb3-a15c062acb18, 270dc967-8e4e-40e0-8914-aa118f3de539, kerio-control-userguideMustahkamlash uchun savollar:
Skalyar va vektor kattaliklar. Vektorlar ustidagi chiziqli amallar.
Vektorlar orasidagi burchak. Vektorning o‘qdagi proeksiyasi.
Tekislikdagi to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi. Fazodagi to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi.
Tekislikdagi va fazodagi vektorlarning chiziqli bog‘liqligi.
Tekislikda va fazoda bazis. Affin koordinatalar.
6-7-Ma’ruza. Matritsalar va ular ustida amallar.
Reja:
Matritsa haqida tushuncha.
Matritsalarning tengligi.
Matritsalar ustida amallar.
Teskari matritsa. Matritsa rangi.
Tayanch so’z va iboralar: matritsa, determinant, rang, teskari matritsa, minor, algebraic to’ldiruvchi.
Ta’rif. n-tartibli determinantning istalgan r ta satri va r ta ustunini (1rTa’rif. Determinantda r ta satr va r ta ustunni o‘chirib o‘chirilmasdan qolgan elementlardan berilgan determinantdagidek tartibda olib, (n-r)-tartibli determinant tuzsak, u determinant r-tartibli minorga qo‘shimcha minor deyiladi.
Misol.
determinantda birinchi va uchinchi satrlarni, ikkinchi va to‘rtinchi ustunlarni o‘chiraylik. o‘chirishdan kesishgan joylardagi elementlardan tuzilgan
ikkinchi tartibli determinant berilgan determinantning 2-tartibli minori deyiladi. Determinantdagi o‘chirilmay qolgan elementlardan tuzilgan
determinant yuqoridagi hosil bo‘lgan 2-tartibli minorga qo‘shimcha minor deyiladi.
Ta’rif. n-tartibli determinantdagi aij elementning minori deb determinantdagi i-satr, j-ustunni o‘chirgandan keyin qolgan (n-1)-tartibli determinantga aytiladi va u ko‘rinishda belgilanadi (bunda M= aij bo‘ladi).
Misol. Oldingi misoldagi D determinantdagi a23 elementning minori
bo‘ladi.
Ta’rif. n-tartibli D determinantning r-tartibli M minorining shu determinantda qatnashgan satr va ustunlar nomerlarini mos ravishda k1,k2,...,kr va l1,l2,...,lr desak, u holda M minorning algebraik to‘ldiruvchisi deb songa aytiladi va u A orqali belgilanadi (Bu erda minor M minorga qo‘shimcha minor).
Ta’rif. n-tartibli determinantdagi aij elementning algebraik to‘ldiruvchisi deb (-1)i+j songa aytiladi va u Aij ko‘rinishda belgilanadi.
Ta’rifga ko‘ra Aij=(-1)i+j bo‘ladi.
Misol. determinantdagi –1 sonining algebraik to‘ldiruvchisi A22=(-1)2+2 =4, A22=4 bo‘ladi.
Teorema. (Laplas teoremasi). n-tartibli D determinantda tanlangan r ta ixtiyoriy satr (ustun) lardan barcha r-tartibli minorni tuzib va ularni mos algebraik to‘ldiruvchilariga ko‘paytirib, bu ko‘paytmalar qo‘shilsa, u holda hosil bo‘lgan yig‘indisi D determinantga teng bo‘ladi.
Bu teoremaning isboti [1] da keltirilgan.
Agar Laplas teoremasidagi D determinantda qandaydir r(1rn-1) ta satrni tanlab, ulardan tuzilgan barcha r-tartibli minorlarni, M1,M2,...Mt va ularga mos algebraik to‘ldiruvchilarni A1,A2,...At desak, u holda
D=M1A1+M2A2+...+Mt At (1)
bo‘ladi. Agar Laplas teoremasida r=1 bo‘lsa, ya’ni D determinantda bitta i-satr ajratilsa, u holda M1,M2,...Mt minorlar 1-tartibli minorlar sifatida, shu i-satrning ai1,ai2,...,ain elementlaridan iborat bo‘ladi. A1,A2,...At algebraik to‘ldiruvchilar bu vaqtda ai1,ai2,...,ain elementlarning Ai1,Ai2,...,Ain algebraik to‘ldiruvchilariga aylanib (1) tenglik
D=ai1Ai1+ ai2Ai2+...+ ainAin (2)
ko‘rinishni oladi. (2) yig‘indi D determinantning i-satr elementlari bo‘yicha yoyilmasi deyiladi.
Misol.
Teorema. D determinantning bitta satri (ustuni) dagi elementlarni boshqa satr (ustun) dagi mos elementlarining algebraik to‘ldiruvchilariga ko‘paytirib, natijalarni qo‘shsak, u holda yig‘indi nolga teng bo‘ladi, ya’ni
ai1Aj1+ ai2Aj2+...+ ainAjn=0 (ij), (3)
a1kA1i+ a2kA2i+...+ ankAni=0 (ki) (4)
bo‘ladi.
Endi minorlar va algebraik to‘ldiruvchilardan foydalanib berilgan matritsaga teskari matritsani topishni o‘rganaylik.
Ushbu
n-tartibli xosmas (determinant noldan farqli) kvadrat matritsa berilgan bo‘lsin. Haqiqatan A matritsaning satrlari chiziqli bog‘lanmagan bo‘lgani sababli uning determinanti noldan farqli, ya’ni
bo‘ladi.
Teorema. A matritsaga teskari matritsa mavjud bo‘lishi uchun A matritsaning xosmas matritsa bo‘lishi zarur va etarli.
Isboti. 1. Zarurligi. A matritsa uchun A-1 teskari matritsa mavjud bo‘lsin. Isbot qilish kerak |A|0 ekanligini.
Haqiqatan, AЌA-1=e ekanligidan |AA-1|=|e| bo‘ladi. Ammo |AA-1|=|A||A-1|, |e|=1 bo‘lgani uchun |A||A-1|=1 bo‘lib, bundan |A|0 kelib chiqadi.
2. etarliligi. |A|0 bo‘lsin. Isbot qilish kerak A uchun A-1 matritsa mavjudligini. A matritsa barcha elementlarining algebraik to‘ldiruvchilarini hisoblaylik va ulardan ushbu
matritsani tuzaylik. AЌV matritsani qaraylik.
=
,
ya’ni tenglik hosil bo‘ladi. Bu tenglikning ikki tomonini songa ko‘paytirib tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikdan ko‘rinadiki, ekanligi, ya’ni
bo‘ladi. Bu esa A matritsaga teskari matritsadir.
Teorema. (Laplas teoremasi). n-tartibli D determinantda tanlangan r ta ixtiyoriy satr (ustun) lardan barcha r-tartibli minorni tuzib va ularni mos algebraik to‘ldiruvchilariga ko‘paytirib, bu ko‘paytmalar qo‘shilsa, u holda hosil bo‘lgan yig‘indisi D determinantga teng bo‘ladi.
Bu teoremaning isboti [1] da keltirilgan.
Agar Laplas teoremasidagi D determinantda qandaydir r(1rn-1) ta satrni tanlab, ulardan tuzilgan barcha r-tartibli minorlarni, M1,M2,...Mt va ularga mos algebraik to‘ldiruvchilarni A1,A2,...At desak, u holda
D=M1A1+M2A2+...+Mt At (1)
bo‘ladi. Agar Laplas teoremasida r=1 bo‘lsa, ya’ni D determinantda bitta i-satr ajratilsa, u holda M1,M2,...Mt minorlar 1-tartibli minorlar sifatida, shu i-satrning ai1,ai2,...,ain elementlaridan iborat bo‘ladi. A1,A2,...At algebraik to‘ldiruvchilar bu vaqtda ai1,ai2,...,ain elementlarning Ai1,Ai2,...,Ain algebraik to‘ldiruvchilariga aylanib (1) tenglik
D=ai1Ai1+ ai2Ai2+...+ ainAin (2)
ko‘rinishni oladi. (2) yig‘indi D determinantning i-satr elementlari bo‘yicha yoyilmasi deyiladi.
Misol.
Teorema. D determinantning bitta satri (ustuni) dagi elementlarni boshqa satr (ustun) dagi mos elementlarining algebraik to‘ldiruvchilariga ko‘paytirib, natijalarni qo‘shsak, u holda yig‘indi nolga teng bo‘ladi, ya’ni
ai1Aj1+ ai2Aj2+...+ ainAjn=0 (ij), (3)
a1kA1i+ a2kA2i+...+ ankAni=0 (ki) (4)
bo‘ladi.
Endi minorlar va algebraik to‘ldiruvchilardan foydalanib berilgan matritsaga teskari matritsani topishni o‘rganaylik.
Ushbu
n-tartibli xosmas (determinant noldan farqli) kvadrat matritsa berilgan bo‘lsin. Haqiqatan A matritsaning satrlari chiziqli bog‘lanmagan bo‘lgani sababli uning determinanti noldan farqli, ya’ni
bo‘ladi.
|
| |
