5. Kompleks sonlar
5.1. Kompleks sonning kelib chiqishi va ta’rifi
XVI-asrdan Sharqda fan inqiroz sari yuz tutdi. Islom dunyosi olimlarining asarlari X-XII asrlardan Evropaga tarqalib, tarjima qilina boshlagan va matematikaning XVI asrdan jadal rivojlanish yoliga kirishi uchun zamin hozirlagan. Jumladan al-Xorazmiy, al-Farg’oniy asarlari Ispaniya va Italiya orqali Ulug’bekning “Ziji jadidi Ko’ragoniy” asari Istanbul orqali Evropaga kirib borgan. Bu asarlar ta’sirida Italiyada matematikaga qiziqish kuchaydi(L.Fibonachchi, L.Pacholi, N.Tartalya). Arifmetik amallar qator daraja, ildiz va logarifm o’rin egallaydi. Uchinchi va to’rtinchi darajali tenglamalarning ildizlari haqiqiy bo’lsada, manfiy sondan kvadrat ildiz vositasidagina echish mumkinligi kompleks sonlarga ehtioj tug’diradi.
K.F.Gauss n –chi darajali kompleks sonlar maydonoda n ta chiziqli ko’paytuvchiga ajralishini(algebraning asosiy teoremasini)bekamu ko’st isbotladi. Gauss va Galua g’oyalari ta’sirida avval mustaqil rivojlangan sohalarning bir-biriga aralshuvi boshlandi: Kompleks o’zgaruvchili funksiyalar differensial tenglamalar va sonlar nazariyasiga, algebra-sonlar nazariyasi va kristallografiyaga tatbiq etildi.
Ta’rif. Agar x va y haqiqiy sonlar hamda i begi uchun :
munosabatlar o’rinli bo’lsa, u holda ifodaga kompleks son deyiladi.
belgini odatda mavhum birlik deyiladi.
kompleks sonda x – kompleks sonning haqiqiy qismi , yi - – kompleks sonning mavhum qismi deyiladi.
5.2.Kompleks son berilish usullari
(5.1) Z=x+iy kompleks sonning algebraik ko’rinishi
Z=x+iy kompleks son (x;y) haqiqiy sonlar jufti bilan aniqlanadi. Shuning uchun kompleks son tekislikdagi M(x;y) nuqta yoki uning radius - vektori bilan ifodalanadi.
y
y M(x,y)
r
O x x A
Chizmadan ko’rinib turibdiki
. bo’lgani uchun boladi va bu ifodaga kompleks sonning trigonometrik ko’rinishi
Misol:
z = -2+2i trigonametrik ko’rinishga keltiring
5.3.Kompleks son ustida amallar
Trigonometrik ko’rinishidagi kompleks sonlarni ko’paytirish va bo’lish.
berilgan bo’lsa, u holda
Misollar:
5.4. Muavr formulasi
Agar bolsa , u holda
Bu formulaning r = 1 bo’lgandagi ko’rinishiga Muavr formulasi deyiladi:
Kompleks sondan ildiz chiqarish
bu yerda k=0,1,2,…,n-1.
- Eyler formulasi deyiladi
|
