|
Al-xorazmiy nomidagi
|
| Sana | 07.03.2024 | | Hajmi | 0.5 Mb. | | #168523 |
Bog'liq Taqribiy integrallash usullari aniqligi va hisoblash hajmi bo\'yicha taqqoslash MIMAR ташПЭС, датчиклар111, датчиклар, 4-мавзу, shahs-zhinsiy-identifikatsiyasi-psihologik-fenomen-sifatida, mustaqil ish 6 — копия, mustaqil ish 5
MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI
“Algoritimlarni loyihalash” fanidan tayyorlagan
MUSTAQIL ISH
Topshirdi: Rahmatullayev Asatilla
071-21 guruh
Tekshirdi: Turg’unov A.
Taqribiy integrallash usullari aniqligi va hisoblash hajmi bo‘yicha taqqoslash
1. To`g`ri to`rtburchaklar formulasi
Faraz qilaylik, y = f (x) funksiya [a,b]kesmada uzluksiz funksiya bo`lsin.
b
Ushbu ò f ( x)dx aniq integralni hisoblash talab qilinsin. [a,b] kesmani a
a = x0 ,x1,......,xn = b nuqtalar bilan n ta bo`lakka ajratamiz. Har bir bo`lakning
uzunligi Dx = b - a ga teng bo`ladi. n
f (x) funksiyaning x0 ,x1,x2 ,x3,......,xn nuqtalardagi qiymatini mos ravishda
y0 = f ( x0 ), y1 = f ( x1 ), . . . . . yn = f ( xn )
belgilaymiz va quyidagi yig`indini tuzamiz.
y0D +x y x1D +......+ yn-1Dx ån-=1 y xiD ,
i=0
y x1D + y2D +x ......+ yn Dx ån=y xi D .
Bu yig`indilarning har biri [a,b] i=1kesmada f (x) funksiyaning integral yig`indisi bo`lishi ravshan va shuning uchun taqriban integralni ifodalaydi:
òba f x dx( ) » b-na (y0 + + + +y1 y2 ... yn-1), (1) òba f x dx( ) » b-na (y1 + + +y2 ... yn). (2)
(1) formula (ichki) va (2) formula (tashqi) lar o`rinli bo`ladi.
Taqribiy hisoblashning absolyut xatoligi
R1 = M1 (b - a)2 (3)
4n
dan katta emas. Bu yerda M1 = max f ¢(x); h = Dx = b - a bo’lak uzunligi.
[a,b]n
2.Trapesiyalar formulasi
[a,b] kesmani n ta teng bo`lakka bo`lamiz. Dx = b - a y = f (x) chiziqning har bir yoyini n
bu yoyning uchlarini tutushtiruvchi vatar bilan almashtiramiz.
Berilgan egri chiziqli trapetsiyaning yuzini n ta to`g`ri chiziqli trapetsiyalar yuzlarini yig`indisi bilan almashtiramiz.
òba f x dx( ) » ( y0 +2 y1 D +x y1 +2 y2 D +x .....+ y yn-21 n Dx) ( )4
Bu trapetsiyalar formulasidir.
(b-a)3
Trapetsiyalar formulasini absolyut xatoligi R2 = M2 12n2 dan katta emas. Bu yerda M2 = max f ¢¢(x) .
[a,b]
3. Simpson formulasi
[a,b] kesmani n=2 ta juft miqdordagi teng qismlarga bo`lamiz. Uchta nuqta olamiz va bu (x0; у0)
(x1; у1),(х2; у2) nuqtalar orqali
У = Ах2 + Вх + С parabolani o`tkazamiz. Bu parabola bilan y = f ( x) funksiya grafigini almashtiramiz. Huddi shunga o`xshash y = f ( x) [a,b] funksiya grafigi [x2;х4],[х4;х6] va boshqa kesmalarga almashtiramiz.
Shunday qilib y = f ( x) egri chiziqli trapetsiya yuzini bu kesmadagi parabolalar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyalar yuzlarini yig`indisi bilan almashtiramiz.
Bunday egri chiziqli trapetsiyalar parabolik trapetsiyalar deyiladi. parabola tenglamasining А, В , С koeffisentlari parabolaning berilgan uchta nuqtadan o`tish shartidan aniqlanadi.
А, В,С koeffisentlarni parabolaning [- h; у0],(0;у2),(h;у2) nuqtalardan o`tish shartidan to’amiz.
h = Dx = b - а = b - а n 2m
ìy0 = Аh2 - Вh + C, ï
í у1 = С
ïî у2 = Аh2 + Вh +C
bu tenglamalar sistemasini yechib
А = 21h2 (y0 - 2y1 + y2) C =Y1,В = 21h (y2 - y0) ni aniqlaymiz.
Endi parabolik trapetsiyaning S yuzasini aniq integral yordamida topamiz.
S1 = òhh(Ах2 + Вх + С)dx = ççèæ A x33 + В х22 + схö÷÷ø -hh = h3 (2Ah3 + 6C)
-
А va В ning topilgan qiymatlarini o`rniga qo`yib, quyidagilarni hosil qilamiz:
S1 = h( y0 +4y1 + y2 )
3 S3 = h( y4 +4y5 + y6 ) h 3
S2 = ( y2 +4y3 + y4 )
3.................................................
S2m = h ( y2m-2 +4y2m-1 + y2m ) 3
òab f x dx( ) = h3 (y0 + +y2m 4(y1 + + +y3 ... y2 1m- )+ 2(y2 + + +y4 ... y2 2m- )) (5)
bunda h =Dx = b - a 2m
Shunday qilib, aniq integralni taqribiy hisoblashning Simpson formulasi (parabolik trapetsiyalarni formulasi) bunday ko`rinishni oladi.
òba f x dx( ) = b2-ma (y0 + y2m +4(y1 + y3 +...+ y2 1m- )+ 2(y2 + y4 +...+ y2m )) (6)
(b-a)5 b-a
Sim’son formulasining absolyut xatosi R3 = M3 2880n4 h= Dx = 2m dan katta
emas. Bu yerda M3 = max f IV (x) .
[a,b]
1-misol Ushbu I = ò1 dx integralni taqribiy qiymatini to`g`ri to`rtburchaklar formulasi
1+ x
bo`yicha hisoblang.
Yechish. Avval integralni aniq qiymatini Nuyuton-Leybnits formulasi bo’yicha hisoblaymiz.
dx 1 ò = ln1+a = ln 2 » 0.69315.
1+ x 0
0
[0;1] kesmani Dx = = 0.1 qadam bilan teng 10 bo’lakka ajratamiz va har bir nuqtada f (x) = 1 funktsiyani qiymatini hisoblab quyidagi jadvalni tuzamiz.
1+ x
i
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
xi
|
0
|
0.1
|
0.2
|
0.3
|
0.4
|
0.5
|
0.6
|
0.7
|
0.8
|
0.9
|
1.0
|
yi
|
1
|
0.9091
|
0.8333
|
0.7692
|
0.7143
|
0.6667
|
0.6250
|
0.5882
|
0.555
|
0.526
|
0.500
|
1. To`g`ri to`rtbrchak formulasi bo’yicha
h =10, Dx = = 0.1 bo’yicha (1) formulaga qo’yib hisoblaymiz
I » 0.1(1+ 0.9091+...+ 0.5263) = 0.71877 (2) formula bo’yicha I » 0.1(0.9091+ 0.8333+...+ 0.5) = 0.66877; Endi xatoligini hisoblaymiz:
f (x) = 1 va f ¢(x) = - 1
(x +1)2
M1(b - a)2
M1 = max f ¢(x) = max - £ 1 demak R1 = 4n = 4×110 = 0.025 dan ortmaydi.
2. Trapetsiya formulasi bo’yicha
(4) formulaga asosan
I » 0,1( +0,9091++0,5263) = 0,69377 hosil bo`ladi.
f ¢( )x = - 1 2 , bo`lganligi uchun f ¢¢( )x = 2
(1+ x) (1+ x)3
[0,1] kesmada f ¢¢(x ) £ 2 . Demak, M 2 =2
M b2( -a)2 2 1
Natijani xatosi 2 = = < 0,02
12n 12 100× 600
Kattalikdan ortiq bo`lmaydi.
Integralni absolyut xatosi 0,69315-0,69377 = 0,00062
3. Simpson formulasi bo’yicha
n = 2m =10 bo`lsa, Dx b-=a 1 = (6) formulaga asosan
3n 30
I = (1,0000+0,5000+ 4(0,9091+0,7692+0,6667 +0,5882+0,5263)+
+2(0,833+0,7143+0,6250+0,5556)) = 0,693146
Natijaning absolyut xatosi f IV = 24 5 , M 4= max0,1 24 5 £ 24 .
(1+ x) [ ] (1+ x)
R3 = M3 (b -a)45 = 24 » 0,000008 dan ortmaydi.
2880n 2880 10000×
Natijalarni taqqoslab, Simpson formulasi ancha aniq ekaniga ishonch xosil qilamiz.
2-misol. ò2 sin(x dx2 ) integralni trapetsiyalar formulasi yordamida hisoblang.
0
Yechish. n =10, Dx = b - a = 2 - 0 = 0.2
n 10
quyidagi jadvalni to’ldiramiz.
i
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
xi
|
0
|
0.2
|
0.4
|
0.6
|
0.8
|
1,0
|
1,2
|
1,4
|
1,6
|
1,8
|
2,0
|
yi
|
0
|
0,004
|
0,1593
|
0,3523
|
0,5972
|
0,8415
|
0,9915
|
0,9249
|
0,5487
|
0,3427
|
0,1576
|
trapetsiya formulasiga asosan
2
òsin( )x dx2 »0.2 (+0.04 0.1593 0.3523 0.5972 0.8415 0.9+ + + + + 915 0.9249 0.5487 0.3427 ) 1.11722+ + + =
0
Endi absolyut xatoligini topamiz:
f ¢( )x = (sin(x2 ))¢ = 2xcos(x2 ) f ¢¢( )x = 2cos(x2 )-4x2 sin(x2 )
M 2 = max 2cos(x2 )-4x2 sin(x2) £ 2
R2 = M212(bn-2a)3 = 122**1008 = = 0.013
dan katta emas.
12
3-misol. ò x3 +13 dx integralni parabolalar formulasi yordamida taqribiy hisoblang.
2
Yechish. n =10, h= Dx = 1.
f x( )= x3 +13
quyidagi jadvalni to’ldiramiz.
i
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
xi
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
yi
|
4,582
|
6,324
|
8,775
|
11,747
|
15,133
|
18,868
|
22,913
|
27,240
|
31,828
|
36,661
|
41,725
|
(6) formulaga asosan
12ò2 x3 +13 dx» 13 éë4,5882+ 41,725+ 4 6,324( +11,747 +18,868+ 27,240+36,661)+
+2 8,775( +15,133+22,913+31,828)ù=û 197,808
Mustaqil yechish uchun misollar.
Quyidagi integrallarni integrallash oralig`ini 10 bo`lakka bo`lib, to`g`ri to`rtburchak, Trapetsiyalar va Simpson formulalari yordamida taqribiy hisoblang. Absolyut xatoni aniqlab bo`lmagan holda hisoblashlarni 0,001 aniqlikda bajaring.
p
1. 13ò3 x3 +3 dx 2. 10ò0 x + 4 dx 3. 10ò0 x3 +1 dx 4. pò2 sinxxdx
4
5. ò10 2+1 x dx 6. -ò82 x +12 dx 7. ò01 e dx-x2 8. ò20 3+1 x dx
123112
9. ò x3 +8 dx 10.ò dx 11.ò 3-x dx2 12. ò x2 +7 dx
202
13. ò50 x 1-2 dx 14. 11ò1 x +6 dx 15.ppò cosx x dx 16. ò21 x +1 7 dx
2
17. 14ò4 x3 +5 dx 18. ò72 lnx1 dx 19. ò38 x1-1dx 20.11ò1 x3 +9 dx
p
21. ò30 cos x dx 22. ò85 x +1 7 dx 23. 15ò5 x3 -1dx 24. ò01 1+ 4x dx3 25.ò30 x +1 7 dx
Foydalanilgan adabiyotlar
Ё. Х. Соатов «Олий математика» 1-2-қисм. Тошкент-1995 й.
Д.Т.Ж.Жўраев «Олий математика асослари» 1-2-қисм Тошкент-1995 й.
В. Е. Шнайдер ва бошқалар «Олий математика қисқа курси» 2-қисм Тошкент1992 й.
В. П. Минорский «Олий математикадан масалалар тўплами» Тошкент-1977 й.
П. Е. Данко и др. «Высшая математика в упражнениях и задачах» Част I. Москва1986 г.
|
| |
