PURIGAJ INSTALAĴOJ POR MALPURIGITA AKVO EL LA URBOJ KAJ VILAĜOJ DE LA NORDAJ DISTRIKTOJ DE GDR
(kun lumbildoj)
D-ro Inĝ. V. Müller (GDR)
La Germana Demokratia Respubliko havas tre streĉitan akvo-ekonomion. Kiel ni scias, la akvo ne plimultiĝas. Ni povas konsumi aŭ ankaŭ utiligi nur tiom da akvo, kiom la naturo prezentas. Ĉe ni la akvo estas meznombre ekspluatata pli ol tridekprocente, antaŭ ol ĝi devas deflui. Plej facile utiligebla estas la pura akvo. Bedaŭrinde la pura akvo fariĝis pli kaj pli rara. En la pasinteco oni neserioze zorgis pri la purigado de la akvodefluo el urboj kaj vilaĝoj, ankaŭ hodiaŭ la taskoj de la konstruo de loĝejoj kaj la taskoj de la industrio estas tiel grandaj, ke la akvomastrumado devas tre klopodegi, por ke malpliiĝu la parte tre forta malpurigado de la fluanta kaj subtera akvoj.
La grandaj industrioj regionoj de GDR troviĝas en la sudo de nia lando. Malgraŭ tio la taskoj de la akvomastrumado en la nordaj distriktoj ne malgrandiĝis. Multaj purigaj instalaĵoj estis konstruitaj kaj la pluaj estas preparataj. Tiuj ĉi instalaĵoj ne havas tian potencon kiel en la sudo, sed la problemoj estas la samaj.
Ekzemple la klineco de la deflua tubaro ĝis la instalaĵoj ne sufiĉas. La akvo mem ne fluas, ĝi devas esti pumpata survoje. Survoje ĝi atingas la meĥanikan kribrilon de puriga instalaĵo. Tiu ĉi kribrilo retenas la grandajn malpuraĵojn el la akvo. Plu la akvo trafluas mallarĝan kaj longan basenon, en kiu de-
68
vas sedimenti nur kunfluanta sablo. Post tiu ĉi sablokaptilo venas la akvo en alian basenon, kie la surfundiĝema malpuraĵo en la akvo, la šlimo, surfundiĝas. La šlimo estas purigata per aliaj specialaj instalaĵoj kaj poste sekigata en la aero. Nun en la ankoraŭ malpura akvo troviĝas la nesurfundiĝemaj malpuraĵoj. La pluaj instalaĵoj utiligas la akvopurigan kapablecon de bakterioj. En la komplekso ekzistas diversaj konstruaĵoj, en kiuj la akvo estas diversmaniere aerumata. En la procedo denove estiĝas šlimo, tiel nomata biologia šlimo, kiu devas sedimentiĝi en sekvantaj basenoj.
La priskribita puriga instalaĵo propradire estas instalaĵaro. La malpurigitan akvon el vilaĝoj oni devas purigi almenaŭ en instalaĵoj, kiuj unuigas per unu teĥnologia procedo kribrilon, sablokaptilon, sedimentujon, aerumujon kaj šlimputrigilon. Ekzemple ĉe ni oni ofte konstruas basenojn (lagetojn) por la purigado de la akvodefluo el vilaĝoj. Antaŭ ol la malpura akvo atingas la lageton, ĝi devas traflui sedimentujon, por ke la surfundiĝema malpuraĵenhavo (sabla, šlimo) sedimentiĝu. Tiu ĉi sedimentujo estas samtempe šlimputrigilo kaj ĝi devas esti malplenigata laŭ sia kapacito plurfoje en jaro. En la lageto agas la algoj kaj la bakterioj kontraŭ la nesurfundiĝemaj malpuraĵoj de la akvo.
El la diversaj ekzistantaj konstruaĵoj por la purigado ĉe poluciita akvo estas montritaj nur kelkaj kaj estis klarigitaj iliaj efikoj.
69
AŬTOMATIZADO DE RANĜOSTACIOJ
Inĝ. Ladislav Kovář
Antaŭ mia parolo pri aŭtomatizado de ranĝostacioj mi konatigos vin kun la problemo de disranĝado de vagonoj ĝenerale.
Estas konata fakto, ke por trajnformado oni disponigas en vartrafiko pli ol unu trionon de ĉiuj trafik-kostoj. Dum unu cirkulo ĉiu varvagono estas manipulata meznombre en tri ĝis kvar stacioj kaj tempo de ĝia restado en ĉi tiuj stacioj estas pli longa ol kvarono de ĝia cirkuldaŭro. Se la restado de vagonoj en ranĝostacioj mallongigas je unu horo, Ĉeĥoslovakaj stataj fervojoj disponus ĉiutage preskaŭ je unu mil vagonoj pli. Per tio estus eble špari ĉiujare centmilionojn da kronoj.
Malpliigo de entuta nombro de stacioj, en kiuj vagono estas manipulata, kaj mallongigo de tuta tempo de vagonrestado en stacioj estas ĝenerale teĥnologia afero. Ĝi devas esti konsiderata en la tuta transport-procesa kaj ankaŭ ĉe kliento mem (formado de unucelaj vagonaroj ktp.). Sekuriga teĥniko povas kontribui al ĉi tiuj klopodoj per instaliĝo de tiaj sekurigaj staciaj instalaĵoj, kiuj ebligas tian fideblan kaj sekuran ranĝadon kaj manovradon, kiuj limigas malfruiĝadon per ĝenaj trajnveturoj (oportune lokigitaj signaliloj kaj rimedoj por influo de trajno je vakigo de trajnvojo ktp.). Tiucele plej efike povas esti eluzitaj rimedoj de sekuriga teĥniko en ranĝostacioj, kie la restado de vagonoj estas plej longa. Ankaŭ tie estas plej konvena okazo efektivigi la meĥanizadon de laboro kaj ankaŭ la aŭtomatizadon de la tuta proceso de disranĝado de vagonaroj kaj formado de novaj vagonaroj.
Ranĝostacioj konsistas el enirtrakaro, ranĝoĝibo, trakforkaro, direktotrakoj kaj forvetura trakaro. Al la enirtrakaro alvenas trajnoj el diversaj direktoj kaj tie okazas teĥnika kontrolado de vagonaro, pretigado de ranĝoslipo, destinas direkton de unuopaj vagonoj dum disranĝado de la vagonaro kaj krome tie finas sian laboron linia lokomotivo.
Dum ranĝado la disigota vagonaro estas pušata per manovrolokomotivo aŭ per sia propra pezo al la supro de ranĝoĝibo, malantaŭ kiu sekvas kruta deklivo kun klineco 30 ĝis 50 promiloj (milonoj). Sur ĉi tiu deklivo unuopaj vagonoj aŭ grupoj de vagonoj akiras necesan movenergion, kiu ebligas al vagono transveturon de trakforkaro ĝis al vagonoj starantaj sur la direktotrakoj. Sur ĉi tiuj trakoj estas formataj novaj vagonaroj laŭ direktoj, al kiuj estas destinitaj unuopaj vagonekspedaĵoj. De ĉi tie tiras manovrolokomotivo la vagonaron al la forvetura trakaro, kie ĝi estas preparata el forveturo.
En stacioj, kie la supre menciitaj grupoj de trakaro situas unu post la alia, la disigo kaj formado de vagonaroj estas la plej simpla kaj plej rapida, ĉar unuopaj teĥnologiaj procesoj sekvas unu la alian. Sed tiu sistemo postulas grandan areon, ekzemple la ranĝastacio Ĉeská Třebová, kiu pleje proksimiĝas al tiu modelo, estas longa ĉirkaŭ 5 kilometrojn. Aliaj ranĝostacioj de Ĉeĥoslovakaj štataj fervojoj ne havas tiel bonajn kcndiĉojn, estas do necese uzi kompromison, ekzemple komunan enirtrakaron kaj forveturtrakaron, kio kaŭzas malaltiĝon de efikeco de ranĝostacio.
Ĉi tiuj kondiĉoj estas preskaŭ ĉiam nešanĝeblaj, sed ek-
70
zistas ankaŭ aliaj malhelpoj al centprocenta eluzo de ranĝostacio, nome malnova labormaniero.
Diversaj tipoj de ekipado de ranĝostacioj
La plej granda problemo durn disranĝado de vagonaroj estas doni al manovritaj vagonoj precizan rapidecon, nome tioman, ke la vagono kiel eble plej rapide atingu sian lokon sur direktotrako, sed samtempe ne tioman, ke ĝi atingu la antaŭan vagonon veturantan sur trakforkaro, kiu povus kaŭzi misveturon, aŭ ke ĝi kunpušiĝu kun starantaj vagonoj sur direktotrako tro forte, kio povus kaŭzi difekton aŭ detruon de vagonoj aŭ ekspedaĵoj.
Laŭ reguladmaniero de rapido estas eble klasifiki manovrostaciojn en kvar grupojn - nemeĥanizitaj,
- meĥanizitaj,
- duonaŭtomataj
- aŭtomataj
Por tute simplaj stacioj, kie manovrado de vagonoj estas malofta (nur kelkaj dum tago), ne estas necese konstrui iujn instalaĵojn por ebligi pli produktivan laboron, sufiĉas nur kelkaj trakoj, manovrolokomotivo kaj kelkaj manovristoj. Regulado de rapido de manovrataj vagonoj okazas aŭ per mana vagonbremso aŭ per bremsšuoj. Komutado de pintrelaĵoj okazas ankaŭ mane. Ĉi tiu laboro estas tre danĝera kaj ankaŭ malagrabla. Oni devas efektivigi ĝin en ĉiuj klimataj cirkonstancoj, kio kaŭzas oftajn vundiĝojn eĉ mortigojn.
Stacioj, kie okazas manovrado regule, estas jam ekipitaj per diversaj instalaĵoj - ekzemple ranĝoĝibo, trakoj speciale destinitaj por ĉi tiu laboro, same ankaŭ per aparta lokomotivo por puši vagonarojn al la ĝibo kaj por starigo de vagonaroj sur forveturaj trakoj kaj kompreneble ankaŭ per konforma nombro de manovropersonaro laŭ kapacito de la ranĝostacio. Ĉi tiuj stacioj povas havi ankaŭ trakbremsojn, kiujn priservas bremsistoj el aparta deĵorejo kune kun trakforkistoj, kiuj prizorgas centran komutadon de pintrelaĵoj por unuopaj vagongrupoj. Kvankam ĉi tiu maniero multe plibonigas laborkondiĉojn por la manovropersonaro kaj plialtigas efikecon de la stacio, tamen restas danĝera ankoraŭ bremsado de vagongrupoj sur direktotrakoj, tielnomata celbremsado, kiun prizorgas manovristoj per bremsošuoj.
La tria grupo de ranĝostacioj, nome la duonaŭtomataj, estas ekipitaj simile kiel la antaŭaj, sed krome ili havas instalaĵon, kiu ebligas aŭtomatan komutadon de pintrelaĵoj laŭ programo, kiun starigas manovristo laŭ ranĝoslipo de alveninta trajno kaj enmetas en storon de de la aparato antaŭ la komenco de laboro. Poste dum ranĝado la aŭtomato mem direktas komutadon de pintrelaĵoj laŭ veturantaj vagongrupoj al destinitaj direktotrakoj. Ĉi tiu maniero pligrandigas efikecon de la stacio, ĉar traveturo de vagongrupoj tra trakforkaro estas pli rapida kaŭze de tio, ke la pintrelaĵoj šanĝas sian pozicion rapide kaj tuj post forpaso de la lasta vagono de sur ĝi. Ankaŭ okazas malpli da eraraj veturoj, kiujn kaŭzas homo per siaj eraroj.
Se necesas, estas eble interrompi aŭtomatan direktadon kaj daŭrigi ĝin per mana maniero.
Fine la lasta grupo - aŭtomataj ranĝostacioj. Ĉi tie es-
71
tas jam ĉiu laboro aŭtomatigita, homoj nur kontrolas la laboron de la aŭtomato kaj transprenas gvidadon dum neantaŭviditaj okazoj. Ekzistas diversaj sistemoj de ĉi tiu plej alta teĥniko - iuj orientiĝas nur al trakbremsoj (ankaŭ en direktotrakoj - tiuj nomiĝas celbremsoj) aliaj ankaŭ al bremsoj, sed en la direktotrakoj ili uzas diversajn pušilojn (veturiletojn tiratajn per kablomašo, pneŭmatajn levilojn, kiuj foršovadas vagonradojn traveturantajn ilian laborspacon k.t.p.). Tasko de ĉi tiuj pušiloj estas foršovi vagonan, alvenintan de ranĝoĝibo, al aliaj vagonoj, kiuj jam staras sur direktotrako kaj viciĝas en vagonaro. Ĉi tiu sistemo ekzistas ekzemple en nova manovrostacio Maschen apud Hamburgo.
Ĉiu el la konataj sistemoj havas sian pozitivan kaj negativan ecojn. Tiuj kun veturiletoj estas tro multekostaj, ĉar ili bezonas vastajn konstruadaptojn en la direktotrakoj, sed la rezulta laboro de ĉi tiu sistemo (t.e. kunpušiĝo de vagonoj sur direktotrakoj) estas pli preciza - ĝi okazas laŭ difinita rapido.
En mia kontribuaĵo mi dediĉos atenton al la aŭtomata sistemo kun celbremsoj.
Aŭtomata regulado de rapido de vagongrupoj
Ĉi tiu sistemo konsistas el tri vicoj de trakbremsoj, kies bremspovo estas regata per komputoro. La unua vico, kiu konsistas el du trakbremsoj, troviĝas senpere sube post la ranĝoĝibo. La dua vico estas jam antaŭ unuopaj trakfaskoj inter la trakforkaro. La nombro de trakbremsoj dependas de la nombro de trakfaskoj en ranĝostacio. Tasko de ĉi tiuj du vicoj estas tiel nomata intervala bremsado. Tio signifas, ke la bremsoj prizorgas necesajn intervalojn inter la moviĝantaj vagongrupoj, por ke la pintrelaĵoj povu esti ĝustatempe komutataj al nova direkto por la sekvanta vagongrupo.
La tria vico - celbremsoj - troviĝas jam en direktotrakoj malantaŭ la lasta trakforko en vagonvojo. En ĉiu direktotrako estas unu bremso. Ilia tasko estas bremsi vagongrupon tiel, ke en momento, kiam ĝi forlasas la bremson, ĝia rapido devas esti tia, ke ĝi atingu celon (starantajn vagonojn sur direktotrako) per ĝusta rapido, maksimume 1 m/s.
Por sia laboro - regulado de rapido de vagongrupoj, la komputoro bezonas diversajn enirinformojn - kategorion de pezo de vagono aŭ vagongrupo (ĝi povas esti malpeza - ĝis 3,4 tunoj je unu rado; mezemalpeza - ĝis 5,1 tunoj je unu rado; meza - ĝis 6,8 tunoj; peza - pli ol 6,8 tunoj), plu veturreziston de vagongrupo, longon de vagongrupo, ĝian rapidon en diversaj lokoj dum ĝia veturo, longon de liberaj direktotrakoj, klinecon de direktotrakoj kaj ankoraŭ aliajn cirkonstancojn.
Por mezurado de ĉi tiuj enirinformoj ekzistas diversaj instalaĵoj, kiuj kun necesa rapideco kaj precizeco kunlaboras kun la centra komputoro. Ĉi tie estas la alvenintaj informoj prilaborataj kaj la rezulto estas impulso, kiu regas la bremspovon de unuopaj bremsoj.
Mezurinstalaĵoj, kiuj estas uzataj en ĉi tiu aŭtpmata sistemo, estas jenaj:
- Pesmašino, kiu dum veturado de vagonoj aŭ vagongrupoj pesas
72
ilin kaj liveras al komputoro informojn pri kategorio de ties pezo. Ĝi estas lokita sur ranĝoĝibo kaj ĝia elirinformo estas transdonata al ĉiuj vicoj de trakbremsoj laŭ tio, kiel la vagongrupo veturas de unu al alia.
- Radara rapidmezurilo - ĝi mezuras rapidon de vagongrupoj veturantaj trans unuopaj bremsoj. Ĝi sekurigas senĉesan mezuradon de 3 ĝis 25 km/horo.
- Instalaĵo por mezurado pri longo de liberaj direktotrakoj konsistas el speciala relcirkvito, ekipita per transformatoro (ĝi provizas la cirkviton per alterna kurento), per induktivaj detektiloj (ili konstatas, ĉu la alterna kurento trafluas ilin) kaj per relajsoj, kiuj influas la mezurcirkviton - laŭ ĝia rezisto la komputoro konstatas, kiel longa estas la vaka parto de la direktotrako.
Funkciado de la sistemo
Vagongrupo moviĝanta de ranĝoĝibo atingas la pesmašinon. La informo pri kategorio de pezo iras al komputoro. Laŭ ĉi tiu pezokategorio estas elektita programo de bremsado de la vagongrupo. La programo difinas eliran rapidon el la unua vico de bremsoj. En okazo, ke la elkalkulita rapido estas pli malgranda ol la reala (ĝin mezuras la radaro), estas elsendita ordono al bremso, ke ĝi malrapidigu la vagongrupon ĝis la rapido preskribita. De ĉi tie veturas la sekvata vagongrupo al la dua vico de trakbremsoj kaj atingas ĝin per iu rapido. Ĉi tiu rapido estas ree komparata kun la difinita rapido (ĝi estas limigita per konstruebloj de la bremsoj kaj per dinamika elkalkulo de la ranĝostacio). Por atingi la plej altan efikecon estas preferinde, ke ĉi tiu enira rapido estu proksimume la sama kiel la konstrurapido de la bremso.
Rezulto pri komparo de la difinita kaj la reala eniraj rapidoj en la dua bremsovico estas transdonata reen al la rega instalaĵo de la unua bremso. Ĉi tie estas la informo statistike prilaborata - ĝi komparas, ĉu por la difinita pezkategorio estas la rezulto ĝusta, kaj decidas pri tio, ĉu estas necese šanĝi la reĝimon de laboro de la unua bremsvico por
tiu ĉi pezkategorio aŭ ne. Tio signifas, ke la reĝimo de la unua bremsvico povas esti aŭtomate šanĝita, kiam šanĝiĝas entuta kvalito de veturado de vagongrupoj inter la unua kaj la dua bremsvico. Tio okazas praktike dum la šanĝlĝo de veteraj kondiĉoj.
Samtempe la informo pri komparo de la elkalkulita kaj la reala eniraj rapidoj en la dua bremsvico estas eluzata por elkalkulo de elira rapido el la bremsvico.
Laboro de ĉi tiuj bremsoj estas la sama, kiel en la unua kazo. La enira rapido en la tria bremsvico estas same prilaborata, kiel estis priskribita antaŭe. Pri la tria bremsvico mi diris antaŭe, ke ĝia laboro estas celbremsado.
Elkalkulo de elira rapido de ĉi tiu bremso estas iomete pli komplika - ĝi konsideras permeseblan rapidon ĉe kunpušiĝo t.e. 1 m/s, reduktitan akcelon de gravito, longon de libera direktotrako, longon kaj entutan veturoreziston de vagongrupo kaj klinecon de direktotrako.
En kazo, ke kelke da vagongrupoj proksimiĝas sinsekve al
73
bremso en la tria vico, elkalkulo de la elira rapido por dua kaj sekvanta vagongrupo estas farata tiel, ke anstataŭ informo pri momenta longo de libera trako (ĝi ne estas ĝusta, ĉar antaŭa vagongrupo ankoraŭ ne atingis starantajn vagonojn) estas enkondukata informo pri libereco de direktotrako, kiu estis destinita por la unua vagongrupo, kun subtraho de ĝia longo.
Soci-ekonomia rezulto
Laŭ spertoj el ranĝostacioj, kie la priskribita sistemo estas instalita, estas eble pliigi la efikecon de disranĝado de vagonoj je 30 + 35 % per malpliigo de eraroj en regado kaj per plirapidigo de disrangado ĝis la permesita rapido.
Aŭtomatizado de rapidregulado de disranĝataj vagonoj en ranĝostacioj ebligas tute forigi danĝeran kaj malefikan laboron de bremsšuistoj kaj malpliigi nombron de manovroestroj.
Per ĝi pliiĝas la kultureco kaj labor-produktiveco de gvidlaboristoj en ranĝostacio. Ĝi ebligas eluzi plej modernajn teĥnologiajn metodojn dum disranĝado de vagonaroj.
74
PRI CERTAJ KALKUL-METODOJ POR IMPLICITA FUNKCIO
RNDr. Jaromír Švejda
En multaj teknikaj aplikadoj ofte aperas problemo determini la funkcion y = y (x) por x (a,b), kie la funkcio y kontentigas ekvacion
G (x, y(x)) = 0, (a,b) (1)
Ni diras pri la funkcio kontentiganta la ekvacion (1), ke ĝi estas implicite difinita. Ni prezentos kelkajn procedojn ebligantajn tabeligi la serĉatan funkcion y (x).
La premisojn, sub kiuj ekzistas la funkcio y, kontentiganta la ekvacion (1), formulas la teoremo pri implicita funkcio [1].
T e o r e m o 1: Estu donita ekvacio (1) kaj la punkto (zo, yo), sekve validas
G (xo, yo) = 0. (2)
Se la funkcio G (x, y) en la ĉirkaŭaĵo de punkto (xo, yo) havas kontinuan partan derivaĵon de la 1-a ordo, validas la rilato
G (xo, yo) 0. (3)
y
Poste ni povas trovi tian ĉirkaŭaĵon de la punkto xo, en kiu ekzistas unusola kontinua solvo y = y (x) de la ekvacio (1) kontentiganta y = y (x).
La funkcio y en la ĉirkaŭaĵo de punkto xo havas kontinuajn derivaĵojn y' (x) kontentigantajn la ekvacion
G+2G . y' (4)
x y
Ni prezentu nun la kalkulmetodojn por konsistigi tabelon de la funkcio y = y (x), kiuj konvenas por komputilo. Ni konsideru la plej facilan kazon, kiam la ekvacion (1) ni povas skribi en la formo
y = p(x, y) x s (a,b) ( 5)
kaj ni solvu ĉi tiun ekvacion per metodo de gradaj aproksimoj, t.e.
n, = PlX,y ), , y eetas aonita (6)
La kondiĉojn, en kiuj la vico (yn) konverĝas al solvo, formulas la teoremo pri firma punkto.
T e o r e m o 2: Estu yo komenca aproksimanto kaj ekzistu la nombroj r> 0, 0< <1. La funkcio P(x,y) estu kontinua kune kun
2Plx, ) 2 en aro de valoroj xE(a,b],
y - yo r.
Se validas sendepende de x E(a,b J
1. P c d A Por y ~ yo =r
y, - ;io / r . - oc
poste la vico (y") difinita per la preskribo (6)konverĝas al unusola solvo de ekvacio y = P(x,y), nome al tia solvo, kiu validas regule rilate al x6[a,b).
Validas la estimo
lylx) - y"lxJ/ . /y, (x) - y% x Ela, bl C7!
eventuale
lylx)- (.tj/ / h k) - " (x)/ i8)
Rimarko: Verkontroli konverĝ-kondiĉojn de la vico fyn o, t e. determini la nombrojn C,r, estas ofte pli malfacile ol solvi la problemon (5). Praktike estas eble difini o C el tri sinsekvaj iteraciaj pašoj yb,y ye laŭ formulo
d, ayt= ir!- i.
y,.
Kaze de malrapida konverĝado, se por o C validaa CE (0.7 ; 1. , estas eble determini 1a
pli precizan valoron por y laŭ formulo
10
Ni demonstru kelkajn ekzemplojn de transformiĝo de ekvacio (1) al la formo (5), kiu
estas konvena por solvado per gradaj aproksimoj.
E k z e m p l o 1: Tabeligu la funkcion y = x(x) por x sufiĉe malgranda kaj por x sufiĉe granda, se validas
y3+ y ' x(11)
Solvo: Evidente por x--0+ estos y- Ot.
Ni skribu la ekvacion (11) en formo
x
y 1+ 2
y .
Ni povas atendi, ke por sufiĉe malgranda x la pašoj konverĝos.
yn l = -x- , yo' D 1')
1+ yr
Ekzemple por x = 0,1 estas
ya = 0
y 0,100000
y:= 0,099010
y3 0,0990?9
y4 0,0990?9
- (13)
Simile por x - 0,? estas yo = 0,099 025 kaj grade laŭ (12) ni ricevas y6= 0,192 830.
La rezultojn ni povas ordigi tabele:
- X ---Y .--. -
0,0 0,000000 00
0,1 0,099 029 40
0,2 0,19? 830 60
0,3 0,278418 8o
0,4 o,355189 7?
0,5 0,423854 81 ,
En la tabelo "n“ signifas la nombron de pašoj por atingi 6-decimalan precizecon, "m“ signifas la nombron de konverĝ-rapidigoj laŭ la formulo (10).
Ekzemple, se ni postulas la solvon de ekvacio (11)por x sufiĉe granda, ni enkondukos novan nekonaton u per rilato
y = x.u.(14)
Per substituo en (8) kaj post rearanĝo estas
x2u3t u = 1
de kie elfluas la ekvacio en formo
u =
3 l u
x
estanta konvena por solvo per aproksim-pašoj, kiam x estas sufiĉe granda.
En iuj kazoj, kiam ni ne povas el la ekvacio (1) dedukti la formon (5), ni povas
uzi Newton metodon, t.e. transformo de la ekvacio (1) al formo
= - G fx, ) a G lx 41
a !C16)
Por yo sufiĉe proksima al solvo, la metodo kondukas al rapida konverĝo.
E k z e m p l o 2: Por la ekvacio (11) uzante la rilaton (16) ni ricevas la formon
2 3+ x
3yz + (17)
Ekzemple por la komenca punkto (x,y ), G (x , yo) = C, kie xo 1, y= 0,68 32 ,
ni povas tabeligi la funkcion y (x) en la ĉirkaŭaĵo de punkto x -xo.
Por x ; 1,1ni egaligas yo = 0,6823?8
kaj la aproksim-pašoj
n+ =
donas
y. y 0,72? 637.
Plu por x = 1,? ni metas y = 0,72263?
kaj le aproksim-pašojn ni praktikas laŭ la preskribo
2, " + !2
Iakaze nesciante la ekvacion (1)skribi en la formo (5)ni povas uzi la sekvantan šanĝon:
Ni konu la anstataŭan funkcion S(x,y) tian, ke la ekvacion por y
S.(x,Y) = a (xJ 18
ni scipovas facile solvi; samtempe validas
5(x,Y) ~ G (x,Y) - 19%
Poste ni povas anstataŭigi la ekvacion (1) per la ekvacio
S (x,Y7 = S (x,Y - (x,Y),(20j
kiun kun sufiĉe bona aproksimo de la funkcio G (x,y), ni povas solvi laŭ (19) per aproksim-pašoj
S(x,Y"+TJ=S (x,Y") - G(x,Ya).(21j
Pli ĝenerela formo de la ekvacio (5)estas la ekvacio
ply) = p Cx,y)
Ni supozu, ke la pašoj
'P (y" + ) = P lx, n)(23)
konverĝas. Por la donitaj x,y ni povas efektivigi la determinon de y", el la ekvacio (23) ekzemple per inverea interpolado, sed ĝi estus iom nekonvena por realigo per komputil-kalkulo.
Ni uzos la metodon de anstataŭigo, laŭ (20) ni povas skribi la ekvacion (22) en formo
'P (2
eventuale
'PP
(-5
kie le funkcio anstataŭigas sufiĉe precize la funkcion y. Pri la funkcio y ni supozas, ke la ekvacion
!y) = e
por donita a oni povas solvi ekzakte.
E k z e m p l o 3: Por la donitaj l, A>0 determinu k el la ekvacio
kJ;(kf)+AJ, k!)=0
kie J,(x)signifas Bessel-funkcion.
Solvado: Ni metu
kf 41= x 0(?7Ĵ
sekve ( 0) estas en la formo
y
( 28)
Se ni konsideras la konatan rilaton (2)
ni povas skribi (28)en la formo
lyl =
29
kie ni metis
p yl = = = - x
J
La funkcio-grafaĵo de 'y)estas en la figuro 1. El la grafaĵo estas evidente, ke por la donita la ekvacio (29) havas nombreble da solvoj. Plu ni studu ekzemple la solvon de
y el la ekvacio (29)situanta en intervalo
3,8317, '7,0156 31)
t.e. solvo responda al la 2-a branĉo en fig. 1.
I 2-e bro"ĉo 3-n bronĉol 4.e broneo I I I I
I
I I I
! e bienĉo I I I
I I I
I I I I
I
i ,=3e > iyl o s I I
Fig. 1
Ni aproksimu la 2-an branĉon per la funkcio f(y) en la formo
_ 2
yl = < - ; 3'r + l)
tiel, ke ĝi trairas tri donitajn punktojn, ekzemple la punktojn
2 yi _ (YI)
1 4,5 6,?427 2 5,5 0,11o?
3 6,5 -10,9E93
Ni determinos la konstantojn a,b,c el la kondiĉoj
'f l ĉ = 5o i ! 2, 3
Se ni konsideros, ke y =3,8317 kaj y 2 7,0156 la serĉata funkcio y()estas en la formo
2,5905 O 84 ,1 j + 2688l69 ( ?4 Ĵ , i
Nun laŭ (24) ni povas skribi y(y)= +y
yo = S4, = 2 9305 +- " ~ Ĵ ) - y" ( 2 - 6 0562 + 2 9s49
a+ ! = h (3 5
"+ - rQ84 3 t 26 8816
La solvado de ĉi tiu ekvacio kondukas el kvadrata ekvacio. Estas necese nur elekti el du radikoj( n ) l la situantan en la intervalo (36).
La plua eblo por determini implicitan funkcion el la ekvacio (1), se ni scias la punkton (:o,yo), por kiu validas (?), estas la transformiĝo de ekvacio (1) al diferenciala ekvacio.
Se estas plenumitaj kondiĉoj de la teoremo 1, ni povas laŭ (4) skribi
'= rx,y), J XoJ = yo (37)
kie
X, yl = - 2 z G
Per numera solvado de ĉi tiu ekvacio ni ricevas la solvon de la ekvacio (1). Sed estas necese prikonsideri eblan numeran nestabilecon de la procedo. Se validas ekzemple
x. yl 0
,a y
en la ĉirkaŭaĵo de solvo (x,y(x) oni povas la metodon de anstataŭigo uzi.
E k z e m p l o 4: Estu donita la ekvacio
4y3+ - x = 0, o) 0
Laŭ (37) oni povas skribi
3 2 i Oi s oy0 I 3 8 Ĉi tie eats
' , - G5i < 0
! ay C + y2 2
kaj la diferenciala ekvacio do estas uzebla por tabeligi le funkcion y(x).
E k z e m p l o 5: Determinu la pozitivajn radikojn de ekvacio
ĉ92 - (z f z3)(39)
Solvo: Ni metu
Z z/ 2(4Oj
kaj per substituo en (39) estiĝas ekvacio
tg Z = Z + 423
Per la bildigo de la dekstra kaj la maldekstra flankoj de la ekvacio, vidu la fig. 2, oni povas esprimi la k-an radikon en formo
Z= rk cj' z. 2.kf1 . k 012..(42)
2
N ' '5
, 1 I
I I 1x I
,, I
Ii I
I I
I
I I
II I
a9.z
Por k 1 validas zk 4,7 kaj estas eble supozi, ke estas malgranda nombro rilate al zk.
Per substituo de (42) a1 (41) kaj post rearanĝo estas
=
ĉar
Z ( * 4Z2)
t - l = cof9cj =
9
se k> 2,por Z validas
Z=,zk.,j xk (2k+/) 2>3?l 2=4,
kaj por Z > 4,7 estas
9 z( f 4z < 0,0o13(43
Estas do eble supozi, ke por k 1 estas
Ĵ< 0,003( Ĵ
44
Ni skribu la ekvacion (43) en formo
= arcl9'
z !+ 4z )
aŭ por Z granda
94I (45)
= QrCf
se ni konsideros (42), ni povos skribi
(46)
Enkondukinte novajn variablojn x,y
zk = x,cI/.z y(4?)
kaj uzante (46),(47),ni povas skribi (45) en
x arcf9
4 - yĴ ! * 4 l z (48)
Tiamaniere ni ricevis ekvacion por y = y(x), kiun por malgranda x ni povas solvi per
grada aproksimado. Ni solvos la ekvacion (48) por malgranda x per aproksimoj en formo
de potenca serio,
Laŭ (47) por k 1estas
x= - 2
.74 124*!) r- - k= o24,...
Por malgranda o validas la formulo de elvolvaĵo
r9 d,. +...
s (4e)
estas do eble laŭ (49), (48) por x<0,2 skribi
x < O 00!6< 0,DOZ.
Se ni postulas la 6-decimalan precizecon, estas jam
y < 0,000000008por y < 0,002/
=9< 0,0000005 por x 0,2
En kalkulo ni do povas y3 kaj pli altajn potencojn de y neglekti. Ni metu y(x) = 0 kaj
ni solvu la ekvacion (39) per gradaj aproksimoj
J
! = X arcl 4 .(51)
Ni esprimos la dekstran flankon de termo por malgranda x laŭ potencoj de x.Validas
\! Ĥ3l4+ 4/ z 4JI 4tx4
.=+ ,...
6
4
x3-Xr + X .(52)
Per apliko de (49), (52) estas
arCl9d oC !- " " -...
+ S
z xsXB 4
!6- J2 t... .~ 0
de tie
CYrcf9 4! ~ x3- x * ' .
j
kaj laŭ (51) estas
yi ~ 4 6 + 6 -
Nun ni determinos y2. Validas z x /6
x( f 2fy t.. x( f S x(53)
Plu laŭ (53) estas
( y + 4 ylz!41 I + 41!
l, z x2 x4 X xs xi
4 * i4 4+ s ... y - 6*64-..
Laŭ (52), (53) la argumentoj en la funkcio arctg estas la samaj kaj ni denove ricevos
J(i_.Gsxe
ŭ P 416; 6'4
do
.
4-Ĝ E4 ' x y Oj(55
Nun laŭ (39),(42),(47),(55) estas
z=21=2(.r -cI) 224(!-
x 2 ! c4+k6_ XB, ../
4i6 64
2 x3x x '
.z x - 2; B - z,....
Se ni substituos ĉi tien laŭ (47)
'.G (k. O,S 7r
ni ricevos asimptotan esprimon de k-a radiko de la ekvacio (39) en formo
z z 2 (k 0,5) 2 r3 k oJ * ! !
(,sl B -f(4*Ds)s
-JI i (k"os : *. z 6,283 es(k os)-
_ O l26rt 000(OB _O O 010
(k*o5) (k os)s (4*oS) t -..
La formulo donas por k 2 la rezultojn kun 6-decimala precizeco.
Por kompari ni enkonduku la tabelon de precizaj kaj proksimumaj valoroj,
k - z-asimp. formulo z-preciza relat.eraro
0 3,0243613,009644 0,5
1 9,420 0529,4?0046 0,6.10%
2 15,?0693515,?06935 0,3.109G
Konklude ni rimarkigu, ke la pliparto de metodoj ĉi tie demonstritaj estas uzebla por
sistemo de implicitaj funkcioj
4L lX, lx),..., r(Xl) = O,ĉ =.i r,
Literaturo
1) Rektorys, K.: Přehled užité matematiky. Praha, SNTL 1968
2) Dwight, H.R.: Tablici integralov i drugie matematiĉeskie formuli. Moskva, Nauka 1964
77
|
