|
Asosiy tenglamalar va munosabatlar
|
| Sana | 19.01.2024 | | Hajmi | 109,47 Kb. | | #141265 |
Bog'liq 1-Doiraviy elastik sterjenning buralma tebranishi masalasi
Asosiy tenglamalar va munosabatlar
Doiraviy sterjen uch o’lchamli shakilga ega bo’lganligi uchun, uning dinamik xatti-harakatlarini tasvirlashda elastik nazariyasining uch o’lchovli harakat tenglamalaridan foydalanamiz. Lekin, o’qqa nisbatan simmetrik masalani qarayotganligimiz uchun, sterjen nuqtalaridagi kuchlanish va deformatsiyalar θ burchak koordinatalariga bog’liq bo’lmaydi. U holda silindrik koordinatalar sistemasida harakat tenglamalarini quyidagicha hisobga olamiz:
(1.1)
Bu (1.1) tenglamalar sistemasida fizik chiziqli (Guk) munosabatlatni hisobga olamiz. Ya’ni, kichik deformatsiyalar va kuchlanish komponentalari orasidagi chiziqli bog’liqlik, silindrik koordinatalar sistemasida quyidagicha ifodalangan:
Biz simmetrik masalani qarayotganimiz uchun, yuqoridagi munosabatlarda, deformatsiya va ko’chish komponentalari (Koshi munosabatlari) orasidagi bog’lanishni quyidagicha hisobga olamiz:
(1.2)
(1.3)
bu yerda va ‒ radyal, buralma va bo’ylama ko’chishlar.
2. Doiraviy elastik sterjenlarning o’qqa nisbatan simmetrik nochiziqli buralma tebranishlari masalasining qo’yilishi.
Doiraviy sterjenlarda buralma tebranishlarni hisobga olganda faqat, buralma ko’chish noldan farqli bo’ladi, ya’ni:
.
U holda (1.1) harakat tenglamalarida birinchi va uchunchi harakat tenglamalari ayniyatga aylanadi va faqat ikkinchi harakat tenglamasi qoladi
(2.1)
Bu (2.1) tenglamada (1.2) munosabatlardan quyidagilarni hisobga olamiz:
(2.2)
bu yerda (1.3) munosabatlardan
(2.4)
hisobga olinadi. Ya’ni (2.2) munosabatda (2.3) va (2.4) munsabatlar orqali ifodalab
(2.5)
formulalarga ega bo’lamiz va bu (2.5) hamda (2.6) formulalarni (2.1) harakat tenglamasida hisobga olamiz. Natijada,
(2.7)
ko’rinishidagi ikki o’lchamli nochiziqli tenglamaga ega bo’lamiz.
Bu tenglamani taqribiy yechamiz. Yechimni quyidagi ko’paytma ko’rinishida izlaymiz:
, (2.8)
Yuqoridagi (2.7) tenglamani quyidagi tenglikka keltirib yozamiz:
(2.9)
Bu tenglikda (2.8) ni hisobga olamiz. Tenglikning har ikki qismini ga bo’lamiz
(2.10)
bu yerda
Agar (2.10) tenglamadagi R(r) izlanuvchi funksiya, shunday bir funksiya bo’lsinki, natijada, quyidagi tenglik bajarilsin
(2.11)
bu yerda λ-xos son. Bundan
U holda (2.11) tenglikni bo’lganda qanoatlantiruvchi yechim quyidagicha bo’ladi:
, (2.12)
bu yerda - Bessel funksiyalari; - integrallash o’zgarmaslari. Bu (2.12) yechimni tog’ridan to’g’ri ko’paytma hisobga olinadi:
, (2.14)
Doiraviy elastik sterjenning buralma tebranishi: Faraz qilaylik doiraviy elastik sterjenning buralma tebranishlari uning sirtiga ta’sir etuvchi tashqi kuch ta’sirida yuzaga kelsin. U holda sterjen sirtida ushbu chegaraviy shart o’rinli bo’ladi:
(2.25)
Boshlang’ich shartlarni esa nolga teng deb hisoblaymiz. Ya’ni,
;
,
, ,
Boshlang’ich shartlar
bundan
bundan
Chegaraviy shartlar
bundan
bundan
|
| |
