| Példák
1. Az egyetemi menza két ételkiadó ablakához 6 hallgató érkezik. Hányféle módon választhatják ki maguk közül az első két hallgatót?
Megoldás
A kiválasztásnál a sorrend nem fontos. A csoportok számát a 6 fő 2-od osztályú kombinációja adja
2. Egy öttagú családnál a telefon 4-szer szólalt meg TV nézés közben. Egy személy 3-szor is odamehetett a készülékhez. A sorrendet nem figyelve, hányféle módon vehették fel a kagylót?
Megoldás
A csoportok száma 5 elem (fő) 3-ad osztályú ismétléses kombinációja
3.3. Binomiális együtthatók tulajdonságai
Az olyan kifejezéseket amelyek két tagból állnak binomiális kifejezéseknek nevezzük, pl. (a+b) vagy (a–b). Vegyük az (a + b) binom hatványait sorba egészen a 3. hatványig (n = 0,1,2,3):
(a + b)0 = 1
(a + b)1 = a + b
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Ha az egyes tagok együtthatóit egymás alá írjuk, akkor az ún. Pascal háromszöget kapjuk, ahol a külső szárak mentén csak 1–es áll. A háromszög belsejében álló bármely szám a közvetlen felette lévő és attól balra álló két szám összege:
Vezessük be az jelöléseket és írjuk fel a Newton–féle binomiális tételt:
ahol az együtthatókat binomiális együtthatóknak nevezzük.
A tételt a kifejtett binomiális együtthatókkal is felírhatjuk:
A tételnek egy következménye az alábbi kifejezés:
(1+x)n 1+nx (nx közel van a 0–hoz)
3.4. Kísérlet és esemény
Kísérletnek lehet tekinteni egyrészt minden olyan tevékenységet, amit valamilyen cél érdekében hajtunk végre.
A kísérlet egyes lehetséges kimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük. Az eseményeket az ABC nyomtatott nagybetűivel jelöljük. Két eseményt azonosnak tekintünk, ha egy kísérlet minden lehetséges kimenetelét figyelembe véve vagy mindkettő bekövetkezik, vagy egyik sem. Ha két esemény A és B olyan kapcsolatban van egymással, hogy A csak akkor következhet be, ha B is bekövetkezik, akkor azt mondjuk, az A esemény maga után vonja a B eseményt. Az ilyen eseményeket a következő módon jelöljük:
A B
Egy kísérlet összes elemi eseményeinek a halmaza az eseménytér ().
Az elemi eseményekkel kapcsolatos három további fogalom:
a) lehetetlen esemény (): sohasem következhet be a kísérlet folyamán,
b) biztos esemény (): mindig bekövetkezik,
c) ellentett (komplementer) esemény () csak akkor következhet be, ha az A esemény nem következik be.
3.4.1. Eseményalgebra
3.4.1.1. Összeadás
Az A és B események összege az a C esemény, amely akkor következik be, ha az A és B események közül legalább az egyik bekövetkezik:
A + B = C
3.4.1.2. Kivonás
Az A és B események különbsége az a A–B esemény, amely akkor következik be, amikor az A esemény teljesül, de a B esemény nem:
A – B = F = A
3.4.1.3. Szorzás
A G és H események szorzatán azt az eseményt (jelölésben AG) értjük, amely csak akkor következik be, ha a G és H esemény is bekövetkezik:
K = GH
Ha a B és C eseményre igaz, hogy szorzatuk a lehetetlen eseményt adja akkor a két esemény kizárja egymást:
BC =
Egy A eseményre vonatkozóan az alábbi műveletek végezhetők el:
Összeadás
|
Szorzás
|
Komplementer művelet
|
A + A = A
|
A =
|
Ic =
|
A + Ac = I
|
A + I = I
|
A A = A
|
c = I
|
A Ac =
|
A + = A
|
A I = A
|
(Ac)c = A
|
|
Az eseményekkel végezhető műveleteket összefoglalóan Boole–algebrának hívják. A gyakorlatban főleg a logikai áramkörökben fontosak az ún. de Morgan–azonosságok ( az események fölött a vonás a komplementer jele):
és
Ezek a kifejezések több tagra is érvényesek és kiterjeszthetők.
3.4.1.4. Összetett esemény
Egy A esemény összetett vagy felbontható esemény, ha legalább két, tőle különböző esemény összegeként egyértelműen előállítható.
K = G + H K G és K H
Egy elemi esemény nem állítható elő ilyen alakban.
3.4.1.5. Teljes eseményrendszer
Az A1, A2, A3, ..., An események teljes eseményrendszert képeznek ha igazak rájuk az alábbi feltételek:
a) A1 + A2 + A3 + ... + An = I
b) AiAj = O ha ij (i = 1, 2, 3, ..., n és j = 1, 2, 3, ..., n)
3.5. A valószínűség fogalma
A mindennapi életben igen gyakran használjuk ezt a fogalmat, amikor egy esemény bekövetkezési esélyét próbáljuk számszerűen meghatározni. A lehetetlen esemény valószínűsége 0, a biztos esemény valószínűsége 1, és a két szélső érték között a valószínűségi skála egyéb értékei szerepelnek. Minél nagyobb egy esemény bekövetkezésének az esélye, valószínűsége annál inkább közelíti az 1 értéket. A valószínűségi értékeket p–vel jelöljük.
A valószínűség másik ismert megadási módja a százalékos forma, amikor pl. p = 0.5 helyett 50 %–os esélyt mondunk egy esemény bekövetkezésére. Ha magát az A eseményt is jelöljük a valószínűségével együtt, akkor a P(A) jelölést használjuk.
3.5.1. Kolmogorov–axiómák és következményei
Egy esemény valószínűségére az alábbiak érvényesek:
1) 0 P(A) 1
Egy esemény valószínűsége csak 0 és 1 közötti szám lehet.
2.) P(0) = 0
A lehetetlen esemény valószínűsége 0.
2.) P(I) = 1
A biztos esemény valószínűsége 1.
3) Ha az A és B egymást kizáró események (vagyis AB = 0) akkor az A és B eseményekre igaz:
P(A+B) = P(A) + P(B)
Az axiómák következményei:
a.) Ha az A esemény maga után vonja a B eseményt, akkor a valószínűségeikre teljesül, hogy:
P(A) P(B)
b) Az A eseményre és ellentétjére az –ra igaz, hogy:
P(A)+ = 1
c) Két esemény független egymástól, ha szorzatukra igaz, hogy
P(AB) = P(A)P(B)
d) Ha az A1,A2,A3,...,An események páronként kizárják egymást, akkor igaz az alábbi felbontás:
P(A1 + A2 + A3 + ... + An) = P(A1)+ P(A2)+ P(A3)+...+P(An)
Ennek az additivitásnak egy fontos esete az, ha a A1 + A2 + A3 + ... + An események teljes eseményrendszert alkotnak, akkor:
P(A1)+ P(A2)+ P(A3)+...+P(An) = 1
3.5.2. Klasszikus valószínűségi modell
A valószínűséget az egyes események relatív gyakorisága alapján határoztuk meg, amit úgy számítunk, hogy:
vagy
P(A) =
| 