Példa 1. Egy dobozban 5 piros, 3 fehér, 2 kék tabletta van. Mi a valószínűsége a kék tabletta húzásának? Megoldás

1. Egy dobozban 5 piros, 3 fehér, 2 kék tabletta van.

Mi a valószínűsége a kék tabletta húzásának?
Megoldás
Az összes lehetőségek száma n = 10. A kedvező lehetőségek száma k = 2
P(A) =

3.5.3. Feltételes valószínűség

Legyen A és B két esemény és P(B) 0. Az A eseménynek a B esemény melletti feltételes valószínűsége az A esemény bekövetkezésének a valószínűségét jelenti, ha a B esemény mint feltétele az A eseménynek bekövetkezett:

P(A B) =

Következmény:

P(AB) = P(A B) P(B)

Ezt az egyenlőséget felhasználva, az A₁,A₂,A₃,...,A_n események szorzatára kapjuk, hogy:

P(A₁ A₂ A₃ ... A_n) = P(A_n A₁A₂A₃...A_n–1) P(A_n–1 A₁A₂A₃...A_n–2) ... P(A₂ A₁) P(A₁)

Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy kétgyermekes családban mindkét gyermek fiú, ha

b) legalább az egyikük fiú

(A fiú és leány születésének valószínűsége azonos.)
Megoldás
Legyen A az az esemény, hogy az idősebb gyermek fiú, B a fiatalabb gyermek fiú. Ekkor a keresett feltételes valószínűségek
a) P(AB|A) =

b) P(AB|A+B)=

A kísérlet során az A esemény bekövetkezési valószínűsége legyen

P(A) = p

és az ellentett esemény () valószínűsége:

P()= 1–p= q

Legyen >0 tetszőleges valós szám, ekkor a nagy számok gyenge törvénye szerint:

A törvényt Bernoulli–féle törvénynek is nevezik. A törvény azt fejezi ki, hogy a kísérletszám (N) növelésével egyre kisebb lesz annak valószínűsége, hogy valamely esemény relatív gyakorisága és valószínűsége között nagy a különbség.

P(AB)=P(A)P(B)

Ha a B₁, B₂, B₃, ..., B_n események teljes eseményrendszert alkotnak és igaz továbbá, hogy P(B_i) 0 ,akkor tetszőleges A esemény valószínűségére igaz az alábbi kifejezés:

P(A) =

vagyis az A esemény valószínűsége a B_i események feltétele mellett meghatározható.

Az anatómia vizsgán az A csoport hallgatóinak 60% -a, a B csoport hallgatóinak 80%-a sikerrel szerepel. Az A csoport az évfolyam 15%-át teszi ki. Mi a valószínűsége annak, hogy egy véletlenül kiválasztott hallgató sikeresen vizsgázik?

a) Legyen A a vizsgált esemény.

b) Legyen C₁ az az esemény, hogy a kiválasztott egyén A csoport beli. Ennek kiválasztására az esély
P(C₁) =
c) Legyen C₂ az az esemény, hogy a B csoportból választottunk. Erre az esély
P(C₂) =
A sikeres vizsgázás valószínűsége csoportonként
A csoport:
P(A|C₁) = %

B csoport:

= 0.6*0.15 + 0.8*0.85 = 0.77

Ha a B₁, B₂, B₃, ..., B_n események teljes eseményrendszert alkotnak és igaz továbbá, hogy P(B_i) 0 és egy tetszőleges A eseményre P(A) 0,akkor a B_i eseményekre igaz az alábbi kifejezés:

Tehát a B_i események valószínűsége az A esemény bekövetkezése esetén mint feltétel mellett a formula segítségével meghatározható. A kifejezésben a P(B_i) valószínűséget priori valószínűségeknek nevezzük. A Bayes–tétel fontos alkalmazási területe a szakértői rendszerek világa. Pl. egy diagnosztikus folyamat leírása ezen az úton valósulhat meg.

Atomrobbanás környezetében háromzónát különböztetnek meg. Ezekben a túlélő lakosságnak 15, 40, 45 százaléka lakik. Az első zónában minden túlélő sugársérülést szenved, a második illetve a harmadik zónában 60 illetve 25 százalék ez az arány.

Mi a valószínűsége annak, hogy véletlenszerűen kiválasztva egy sugársérülést szenvedett egyént, az az első zónából való?
Megoldás
Események
A₁: első zónából való

A₂: második zónából való

A₃: harmadik zónából való

B : az illető sugársérült

3.6. Valószínűségi változók jellemzése

A biometriai vizsgálatok során megfigyelt vagy mért értékek véletlentől függő mennyiségek, amelyekhez számértékeket rendelünk. Ezeket a véletlen által befolyásolt értékeket közös néven valószínűségi változóknak (random variable) nevezzük. A változó név onnan származik, hogy az értéke megfigyelési egyedenként más és más értéket vehet fel, vagyis az érték egyedenként változik. Ezeket az értékeket bizonyos valószínűségek mellett veszik fel a változók, ezért használhatjuk a valószínűségi változó elnevezést.

A valószínűségi változóknak két formáját ismerjük: diszkrét és folytonos valószínűségi változókat.

Ha a valószínűségi változó értékkészlete véges vagy megszámlálhatóan végtelen x_k számsorozat, akkor magát a –t diszkrét valószínűségi változónak nevezzük. Ha az A_k olyan részhalmaz, amelynek elemi eseményeihez a hozzárendeli az x_k számsorozat értékeit, akkor az egyes események valószínűségeit (p_k) a:

p_k = P(A_k) = P( = x_k)

formulával lehet megadni. Az így meghatározott valószínűségeket a változó eloszlásának nevezzük. A képlet azt fejezi ki, hogy a valószínűségi változó az egyes x_k értékeket milyen valószínűséggel veszi fel.

Egy valószínűségi változó eloszlásfüggvényét (distribution function) F(x) jelöljük és annak valószínűségét adja meg, hogy a milyen valószínűséggel vesz fel egy tetszőleges x értéknél kisebb értéket. Jelölésben:

F(x) = P( < x)

Megjegyzendő, hogy a diszkrét valószínűségi változó F(x) eloszlásfüggvénye lépcsős alakú függvény.

Az F(x) eloszlásfüggvény tulajdonságai az ábráról is leolvashatók:

balról folytonos,
monoton növekedő,
értéke 0 és l közötti.
3.6.2. Folytonos valószínűségi változók

A valószínűségi változók azon csoportját, amelyek értékkészlete véges vagy nem megszámlálhatóan végtelen, folytonos valószínűségi változóknak nevezzük.

Az ilyen típusú változó eloszlásfüggvényének meghatározása éppen a végtelen értékkészlete miatt nehezebb mint diszkrét változó esetében. Az egyes tartományok (szakaszok) valószínűségének megadása ugyanis közvetlenül nem lehetséges. Ezért került bevezetésre a sűrűségfüggvény (f(x)) használata, amelynek révén minden szakasz valószínűsége megadható a szakaszhoz tartozó függvénygörbe alatti terület (integráljának) nagyságával.

Az is mondható, hogy az eloszlásfüggvény (F(x)) a sűrűségfüggvény f(x) integrálja. Folytonos valószínűségi változók esetében mindig létezik a valószínűségi változónak sűrűségfüggvénye. A sűrűségfüggvény tulajdonsága, hogy

értéke 0 (hiszen a valószínűség nem lehet negatív értékű),

a függvény görbe alatti területe = l (a valószínűség max. értéke csak 1 lehet).

Némely esetben a sűrűségfüggvény meghatározása nem egyszerű, mert ha ismerjük is, nem könnyű elvégezni a függvény integrálását. Ezért a biometriában leggyakrabban használt folytonos függvényekre mint pl.² eloszlás, normális eloszlás, F eloszlás, t eloszlás, stb. eloszlástáblázatokat készítettek éppen a gyakorlati munka megkönnyítése miatt. Ezekből a táblázatokból a kívánt valószínűségeket egyszerű módon ki lehet olvasni.
3.6.3. Valószínűségi változók várható értéke

Ha egy kísérletet sokszor megismétlünk és mindegyik kísérletet egymástól függetlenül hajtjuk végre, akkor a valószínűségi változónak az egyes kísérletek során felvett értékei egy jól meghatározott érték körül ingadoznak. Ezt az értéket várható értéknek nevezzük. Diszkrét valószínűségi változó esetén a várható érték véges k esetén:

Folytonos eloszlású valószínűségi változó esetén az f(x) függvény ––től +–ig integrálja adja a várható értéket. Ennek meghatározása az esetek többségében nem könnyű feladat.

3.6.4. Valószínűségi változók szórása

Egy valószínűségi változó értékeinek a várható értéke körüli elhelyezkedését, szóródását nevezzük a változó szórásának. Jelölve D(). Ennek négyzete a variancia ami a változó és várható értéke különbségének a négyzete, illetve ennek várható értéke:

Var() = D²() = M(–M())² = M()–M()²

A szórás nyilván csak akkor van értelmezve, ha a várható érték is létezik.

Diszkrét valószínűségi változó esetén a szórásnégyzet (variancia):

Var() = D²() =

Folytonos valószínűségi változó esetén a Var() kétszeri integrálással határozható meg.
3.6.5. Nevezetes diszkrét eloszlások

3.6.5.1. Binomiális eloszlás

Végezzünk el egy kísérletet n–szer egymástól függetlenül. A kísérlet során egy A esemény bekövetkezésének valószínűsége legye P(A) = p és az ellentett esemény valószínűsége pedig = q = 1–p. A p–ről feltesszük, hogy konstans a kísérlet folyamán. A valószínűségi változó az A esemény bekövetkezéseinek a számát jelenti. Ekkor annak valószínűsége, hogy a kísérlet során az A esemény k–szor következik be a következő alakban adható meg:

p_{k =} P( = k) = (k = 0, 1, 2, ..., n)

A valószínűségi változó eloszlását binomiális eloszlásnak nevezzük, amelynek várható értéke:

M() = np

D() =

formában határozható meg.
Példa
1. Egy bizonyos betegség a hagyományos terápiával az esetek egynegyed részében gyógyítható. Új kezelést akarnak bevezetni, melyet előzőleg 10 betegen kipróbálnak. Ha legalább heten meggyógyulnak, akkor az új kezelést bevezetik. Ha legfeljebb hárman gyógyulnak meg, akkor az új eljárást elvetik. Ha 4, 5, vagy 6 beteg gyógyul meg, akkor az eljárást tovább vizsgálják.

A kezelés hatása a régi terápiás eljárással azonos. Határozzuk meg a három esethez tartozó valószínűségeket.

A

p_k = P( = k) = (k = 0, 1, 2, ...)

Poisson eloszlást követnek pl. a kalácsban egy adott területre eső mazsolák száma, a lehulló hópelyhek száma egy adott tartományon, baktériumok, sejtek száma.egy adott téfogatban, balesetek száma egy időintervallumban, stb.

A Poisson–eloszlás és a binomiális eloszlás között szoros a kapcsolat. Ha a binomiális eloszlásban n nagy és a vizsgált esemény valószínűsége a p értéke 0–hoz közeli érték (az np szorzat értéke < 5), ilyenkor a = np választással a binomiális eloszlás jól közelíthető a Poisson–eloszlással:

A Poisson–eloszlás várható értéke:

M() =

szórása:

D() =

Példa

Egy vizsgálat kimutatta, hogy egy adott tóban a baktériumok 2 baktérium/cm³ sűrűséggel fordulnak elő, és Poisson-típusú eloszlást követnek. Mi a valószínűsége, hogy egy 2 cm³ nagyságú minta

a) baktériummentes

b) legalább két baktériumot tartalmaz?

b) 1-(P(k=0)+P(k=1))=1-5e^-4=0.9080

3.7.1. Egyenletes eloszlás

Az egyenletes eloszlás sűrűségfüggvénye és grafikonja:

f(x) =

F(x) = P(
A várható érték és szórás:

M() = és D() =

3.7.2. Exponenciális eloszlás

Az exponenciális eloszlás sűrűségfüggvénye:

f(x) =

ahol x>0 tetszőleges pozitív szám.

F(x) = P(
A várható érték és szórás:

M() = és D() =

Exponenciális eloszlást követnek pl. a radioaktív bomlási folyamatok, az alkatrészek élettartamai stb.

Az exponenciális eloszlás általánosított alakja a Weibull–eloszlás, amelynek sűrűségfüggvénye (c > 0 és > 0 állandók):

f(x) =
Eloszlásfüggvénye:

F(x) =

A Weibull–eloszlás egyik sajátságos felhasználási területe a gyógyszerkinetikai vizsgálatok.
3.7.3. Normális eloszlás

A statisztikai vizsgálatok szempontjából az egyik legfontosabb eloszlás a normális eloszlás. Központi helyet foglal el a vizsgálatok között mivel számos statisztikai eljárás ezen az eloszlástípuson alapszik. Maga az elnevezés is arra utal, hogy a mért adatainktól az várjuk, hogy ilyen módon viselkedjenek, mert az a természetes, a normális viselkedése az adatoknak. Az eloszlás többféle elnevezéssel is használatos: Gauss–eloszlás, harang–görbe elnevezések szinonimái a normális jelzőnek.

Egy tetszőleges valószínűségi változó normális eloszlású, ha sűrűségfüggvényére igaz az alábbi kifejezés:

f(x) =

A kifejezésben a és az eloszlás két paramétere, ahol tetszőleges valós szám, a tetszőleges pozitív szám. Ez a két paraméter határozza meg, hogy a végtelen sok eloszlást tartalmazó ún. normális eloszláscsaládnak éppen melyik tagját vizsgáljuk.

Az ilyen típusú eloszlások szimmetrikus, egycsúcsú eloszlások, amelynek szárai a – és + –hez tartoznak. A függvények az X–tengelyt csak aszimptótikusan közelítik, de azt soha nem érintik. A görbe maximum helye az X–tengelyen a értéknél van. A paraméter a görbe szélességét, vagyis az adatok elhelyezkedését határozza meg.

Az eloszlás várható értéke és szórása:

M() = és D() =

A harang–görbe csúcsa az eloszlás várható értékénél a értéknél található.

Bármely normális eloszlásra igaz, hogy az adatok 68 %–a a várható értéktől a – és + távolságon belül helyezkednek el, vagyis az adatok a várható érték körül tömörülnek. További jellegzetessége az eloszlásnak, hogy az adatok 95 %–a a –2 és +2 értékek közt van és az adatok 5 %–a helyezkedik el ezen távolságokon kívül. Ez a rész az ún. farok rész (tail) a szignifikancia vizsgálatokban kap igen fontos szerepet. Ebbe a részbe csak kis valószínűséggel esnek adatok, s ezt a tulajdonságot használjuk fel döntéseinkhez.

Mivel a normális eloszlások átszámolhatók az egyikből a másikba, minden eloszlás azonos alakra hozható az ún. standardizálási eljárással. Az így kapott normális eloszlást standard normális eloszlásnak nevezzük, és igaz rá, hogy az eloszlás várható értéke a = 0, szórása = 1. A standardizálási formula, amellyel bármelyik normális eloszlású változót egy új z változóba standardizálhatjuk:

z_i =

A kifejezés azt jelenti, hogy minden mért x_i értékből levonjuk az eredeti normális eloszlás várható értékét és a különbséget osztjuk a szórással. Az így kapott z_i értékek eloszlása standard normális eloszlású lesz. Az eljárás eredményeképpen az eloszlás szimmetria–tengelye az Y–tengely lesz és a szórások egységnyi távolságban helyezkednek el az origó körül. A standard normális eloszlás sűrűségfüggvénye:

(x) =

A standard normális eloszlás sűrűségfüggvényére a (x), az eloszlás függvényére a (x) jelöléseket használjuk.

A függvény tulajdonságai az alábbiak szerint foglalható össze:

a) szimmetrikus függvény az y–tengelyre (az y tengely a szimmetria tengelye)

(x) = (–x) és (–x) = 1–(x)

b) a függvény legmagasabb pontjának koordinátái:

(0, ) értékek

c) a függvény görbe alatti területe = 1, ami azt jelenti, hogy egy standard normál eloszlású valószínűségi változó értékei 1 valószínűséggel a (–, +) tartományból származnak

f) az a) és e) pontok értelmében az y tengelytől jobbra és balra első területek nagysága:

g) egy tetszőleges (,) paraméterű normális eloszlású valószínűségi változó sűrűség és eloszlásfüggvénye kifejezhető a standard normális eloszlás hasonló függvényeivel:

sűrűségfüggvény: f(x) =

eloszlásfüggvény: F(x) =

h) a binomiális eloszlás tagjait jó megközelítéssel meghatározhatjuk a standard normális eloszlás segítségével, ha az n nagy és a p, q értékek nincsenek szorosan a 0 közelében, akkor:

a közelítés akkor jó, ha az np>5 és nq>5 egyenlőtlenség teljesül.

Hasonló kapcsolat van a Poisson–eloszlás és standard normális eloszlás között is, ha a elég nagy, akkor a Poisson–eloszlás jól közelíthető a standard normális eloszlással:



Példa. Tegyük fel, hogy a sorozáson megjelenő férfiak körében a systoles vérnyomásérték várható értéke 130 Hgmm és a szórása 12 Hgmm. Várhatóan a férfiaknak hány %–a esik a 140–150 Hgmm tartományba, ha a vérnyomás értékek eloszlása normális eloszlást követ?