Az interneten




Download 58.84 Kb.
bet1/4
Sana25.03.2017
Hajmi58.84 Kb.
#2446
  1   2   3   4

KVANTUM FŐNIX - HULLÁMCSOMAG-DINAMIKA

AZ INTERNETEN

Vancsó Péter, Biró László Péter, Márk Géza István

MTA Mu˝ szaki Fizikai és Anyagtudományi Kutatóintézet

Nanoszerkezetek Osztály

A kvantummechanika ismerete alapvető fontosságú,

hogy megértsük a körülöttünk lévő természetet, annak

működését. Az elektronok mozgásának, az atomok

és molekulák tulajdonságainak leírásához a

klasszikus fizika törvényei (már) nem elegendőek.

Habár az a mikroszkopikus méret- és időtartomány,

amelyben a kvantummechanika törvényei érvényesek,

távol esik emberi világunk méret- és időskálájától,

ez a tudomány mégsem csupán a kutatók birodalma.

A 21. század elején az embereket a mindennapokban

körülvevő modern technikai eszközök [1]

- például tranzisztor, lézer - működésének megértésénél

is nélkülözhetetlenek a kvantummechanikai

ismeretek. Ezeknek az ismereteknek az átadása az

oktatás feladata, legyen szó középiskolai vagy egyetemi

szintű oktatásról [2].

A kvantummechanika oktatása az egyik legnehezebb

feladat a fizika tanítása folyamán, mivel a diákok

túl absztraktnak, matematikailag túl bonyolultnak

tartják [3]. Ez érthető is, ha végiggondoljuk, hogy a

klasszikus fizika fogalomkörének és törvényeinek

megértésénél segítségünkre vannak mindennapi tapasztalataink,

mindenki által könnyen elvégezhető

kísérletek. Ezzel szemben a kvantummechanika mérettartományában

végzett mérések többnyire közvetettek

és nehezen értelmezhetők.

Matematikai szempontból ahhoz, hogy klasszikus

mechanikai leírását adjuk egy részecske (tömegpont)

mozgásának, 6 paramétert kell megadnunk: r(t) és



p(t ), azaz a hely és a lendület x, y és z komponensét

az idő függvényében. Ezek határozzák meg a többi

dinamikai változót, például az energiát. A Newtontörvények

ismeretében kiszámíthatjuk az r(t) és p(t )

függvények értékeit minden pillanatra, ha ismerjük a

függvények értékét valamely tetszőleges t0 kezdeti

pillanatban, azaz adottak az r0 = r(t0) és p0 = p(t0)

kezdeti hely- és lendületértékek, továbbá ismerjük a

részecskére hatóerőket. A kvantummechanikai leírásmód

ennél bonyolultabb. A részecske állapotát t pillanatban

egy hullámfüggvény adja meg, ψ(r, t ), amely

tartalmazza az összes információt, amit a részecskéről

tudni lehet. Látható tehát, hogy a 6 paraméter helyett,

most végtelen számú paraméterünk van: a ψ 3+1 = 4

változós függvény értékei a tér minden pontjában,

minden időpontban. A ψ(r, t ) függvényt valószínűségi

amplitúdónak nevezzük, mert

annak a valószínűségét adja meg, hogy a részecske t

ρ(r, t ) dr3 = ψ(r, t ) 2 dr3

időpontban egy r pont körüli dr3 térfogatelemben

található, ρ(r, t ) pedig a megtalálási valószínűségsűrűség.

A hullámfüggvény időfejlődését az időfüggő

Schrödinger-egyenlet írja le, amely egy homogén lineáris

parciális differenciálegyenlet:

Ez az az egyenlet, amely mai ismereteink szerint az
atom- és molekulafizika, a szilárdtestfizika, sőt a kémia

és a biológia összes (nem-relativisztikus) jelenségét

kormányozza. Következményeit számtalan kísérlet

igazolta az egyenlet megalkotása óta eltelt több,

mint 80 év folyamán.

A Schrödinger-egyenlet determinisztikus; adott

ψ0(r) = ψ(r, t=t0) kezdőállapot esetén a hullámfüggvény

kiszámíthatóbár mely t időpontra. A véletlenszerűség,

az indeterminizmus, a fizikai mennyiség mérése

folyamán jelenik meg a kvantummechanikában. A

Schrödinger-egyenlet megoldásához a kezdő állapot

ismeretén kívül szükséges az adott fizikai rendszert

meghatározó H Hamilton-operátor. Konzervatív rendszerek

esetén H = K+V, ahol K a kinetikus, V pedig a

potenciális energia operátora, tehát a rendszert végső

soron a V potenciáloperátor írja le. Ha ez a potenciál

lokális, akkor a potenciális energia operátor hatása

egy egyszerű V(r) potenciálfüggvénnyel adható meg.

Látható tehát, hogy a kvantummechanika matematikai

nyelvezetének megértése szintén nem egyszerű

feladat, és további probléma, mint említettem, hogy a

jelenségeket nem tudja a diák a mindennapi tapasztalataihoz

kapcsolni - ψ(r, t ) komplex értékű függvény(!) -,

a mérések pedig mindig közvetettek: maga a hullámfüggvény

nem mérhető, csak a belőle származtatott

mennyiségek, az úgynevezett megfigyelhető mennyiségek,

mint például 〈r〉, a hely várhatóértéke:

Ahhoz, hogy mégis szemléletes képet tudjunk adni a


diákoknak a Schrödinger-egyenlet „működéséről”,

egy nagyon hasznos eszközt alkalmazhatunk: a számítógépes

szimulációt. A mai személyi számítógépek

sebessége és tárolókapacitása már bárki számára lehetővé

teszi egyszerű kvantummechanikai rendszerek

numerikus vizsgálatát. Ha például a háromdimenziós

hullámfüggvényt egy x, y,z-ben egyaránt 256 pontból

állófelosztáson modellezzünk, a hullámfüggvény

(duplapontos komplex) tárolásához 256 Megabyte

tárolókapacitás szükséges - egy mai köznapi PC-ben

általában több mint 1024 Megabyte memória található.

Ha a számítást két dimenzióra korlátozzuk és/vagy

kihasználjuk az adott rendszer szimmetriáit, akkor

még kevesebb memória elegendő a számításokhoz.

Web-Schrödinger

Az MTA Műszaki Fizikai és Anyagtudományi Kutatóintézet

Nanoszerkezetek Osztályán, belga kutatókkal

együttműködésben kifejlesztett Web-Schrödinger egy

olyan interaktív számítógépes szimuláció, amely

szemléletessé teszi az időfüggő Schrödinger-egyenlet

megoldását. A numerikus számítás maga egy alkalmazásszerveren

fut, így a felhasználónak nem kell telepíteni

semmit a saját számítógépén, egyszerű web-böngésző

segítségével használhatja a programot (http://

www.nanotechnology.hu/online/web-schroedinger/

index.html címen). A program interaktív voltából adódóan

pedig a felhasználó betöltheti az előre elkészített

példákat, és változtathat azok beállításain, továbbá

készíthet teljesen új példákat, amelyek mentése

szintén lehetséges. Ahhoz, hogy megértsük hogyan

„kormányozhatja a hullámfüggvényt” a felhasználó a

szimuláció során, kicsit részletesebben meg kell ismerkednünk

a programmal.

A szimuláció három lépésből áll:

• Először meg kell határoznunk a ψ0(r) kezdőállapot-

és a V(r) potenciálfüggvényeket, és beállítanunk

néhány számolási paramétert, mint például a szimulált

időintervallumot.

• Ezután a program kiszámítja a hullámfüggvény

időfejlődését.

• Végül megjeleníti a megtalálási valószínűség

időfejlődését.

A hullámcsomag-dinamikai módszer

Erwin Schrödinger 1926-ban [4] azzal a céllal alkotta

meg a kvantummechanikai hullámcsomag fogalmát,

hogy hidat építsen a klasszikus és a kvantummechanika

között. A hullámcsomag egy térben lokalizált hullámfüggvény,

azaz olyan kvantumállapotot ír le, amikor

a részecske nagy valószínűséggel egy adott pont közelében

található. A Schrödinger-egyenletből levezethető,

hogy a hullámcsomag tömegközéppontja jó közelítéssel

úgy mozog, mint egy klasszikus tömegpont, ha a

potenciál lassan változik a hullámcsomag méretéhez

képest. A hullámcsomag leggyakrabban alkalmazott

formája a Gauss-hullámcsomag - a Web-Schrödinger

program is ezt használja kezdőállapotként:

ahol k0 = (2π/λ)n a hullámcsomag hullámszámvektora,

λ a de Broglie hullámhossz, a pedig a hullámcsomag

szélessége - minél nagyobb a, annál szélesebb a

hullámcsomag. Az n vektor a részecske haladási irá-

nyát adja meg, N pedig egy normálási faktor. A

hullámszám a részecske lendületéből így számíthatóki:



Download 58.84 Kb.
  1   2   3   4




Download 58.84 Kb.