KVANTUM FŐNIX - HULLÁMCSOMAG-DINAMIKA
AZ INTERNETEN
Vancsó Péter, Biró László Péter, Márk Géza István
MTA Mu˝ szaki Fizikai és Anyagtudományi Kutatóintézet
Nanoszerkezetek Osztály
A kvantummechanika ismerete alapvető fontosságú,
hogy megértsük a körülöttünk lévő természetet, annak
működését. Az elektronok mozgásának, az atomok
és molekulák tulajdonságainak leírásához a
klasszikus fizika törvényei (már) nem elegendőek.
Habár az a mikroszkopikus méret- és időtartomány,
amelyben a kvantummechanika törvényei érvényesek,
távol esik emberi világunk méret- és időskálájától,
ez a tudomány mégsem csupán a kutatók birodalma.
A 21. század elején az embereket a mindennapokban
körülvevő modern technikai eszközök [1]
- például tranzisztor, lézer - működésének megértésénél
is nélkülözhetetlenek a kvantummechanikai
ismeretek. Ezeknek az ismereteknek az átadása az
oktatás feladata, legyen szó középiskolai vagy egyetemi
szintű oktatásról [2].
A kvantummechanika oktatása az egyik legnehezebb
feladat a fizika tanítása folyamán, mivel a diákok
túl absztraktnak, matematikailag túl bonyolultnak
tartják [3]. Ez érthető is, ha végiggondoljuk, hogy a
klasszikus fizika fogalomkörének és törvényeinek
megértésénél segítségünkre vannak mindennapi tapasztalataink,
mindenki által könnyen elvégezhető
kísérletek. Ezzel szemben a kvantummechanika mérettartományában
végzett mérések többnyire közvetettek
és nehezen értelmezhetők.
Matematikai szempontból ahhoz, hogy klasszikus
mechanikai leírását adjuk egy részecske (tömegpont)
mozgásának, 6 paramétert kell megadnunk: r(t) és
p(t ), azaz a hely és a lendület x, y és z komponensét
az idő függvényében. Ezek határozzák meg a többi
dinamikai változót, például az energiát. A Newtontörvények
ismeretében kiszámíthatjuk az r(t) és p(t )
függvények értékeit minden pillanatra, ha ismerjük a
függvények értékét valamely tetszőleges t0 kezdeti
pillanatban, azaz adottak az r0 = r(t0) és p0 = p(t0)
kezdeti hely- és lendületértékek, továbbá ismerjük a
részecskére hatóerőket. A kvantummechanikai leírásmód
ennél bonyolultabb. A részecske állapotát t pillanatban
egy hullámfüggvény adja meg, ψ(r, t ), amely
tartalmazza az összes információt, amit a részecskéről
tudni lehet. Látható tehát, hogy a 6 paraméter helyett,
most végtelen számú paraméterünk van: a ψ 3+1 = 4
változós függvény értékei a tér minden pontjában,
minden időpontban. A ψ(r, t ) függvényt valószínűségi
amplitúdónak nevezzük, mert
annak a valószínűségét adja meg, hogy a részecske t
ρ(r, t ) dr3 = ψ(r, t ) 2 dr3
időpontban egy r pont körüli dr3 térfogatelemben
található, ρ(r, t ) pedig a megtalálási valószínűségsűrűség.
A hullámfüggvény időfejlődését az időfüggő
Schrödinger-egyenlet írja le, amely egy homogén lineáris
parciális differenciálegyenlet:
Ez az az egyenlet, amely mai ismereteink szerint az
atom- és molekulafizika, a szilárdtestfizika, sőt a kémia
és a biológia összes (nem-relativisztikus) jelenségét
kormányozza. Következményeit számtalan kísérlet
igazolta az egyenlet megalkotása óta eltelt több,
mint 80 év folyamán.
A Schrödinger-egyenlet determinisztikus; adott
ψ0(r) = ψ(r, t=t0) kezdőállapot esetén a hullámfüggvény
kiszámíthatóbár mely t időpontra. A véletlenszerűség,
az indeterminizmus, a fizikai mennyiség mérése
folyamán jelenik meg a kvantummechanikában. A
Schrödinger-egyenlet megoldásához a kezdő állapot
ismeretén kívül szükséges az adott fizikai rendszert
meghatározó H Hamilton-operátor. Konzervatív rendszerek
esetén H = K+V, ahol K a kinetikus, V pedig a
potenciális energia operátora, tehát a rendszert végső
soron a V potenciáloperátor írja le. Ha ez a potenciál
lokális, akkor a potenciális energia operátor hatása
egy egyszerű V(r) potenciálfüggvénnyel adható meg.
Látható tehát, hogy a kvantummechanika matematikai
nyelvezetének megértése szintén nem egyszerű
feladat, és további probléma, mint említettem, hogy a
jelenségeket nem tudja a diák a mindennapi tapasztalataihoz
kapcsolni - ψ(r, t ) komplex értékű függvény(!) -,
a mérések pedig mindig közvetettek: maga a hullámfüggvény
nem mérhető, csak a belőle származtatott
mennyiségek, az úgynevezett megfigyelhető mennyiségek,
mint például 〈r〉, a hely várhatóértéke:
Ahhoz, hogy mégis szemléletes képet tudjunk adni a
diákoknak a Schrödinger-egyenlet „működéséről”,
egy nagyon hasznos eszközt alkalmazhatunk: a számítógépes
szimulációt. A mai személyi számítógépek
sebessége és tárolókapacitása már bárki számára lehetővé
teszi egyszerű kvantummechanikai rendszerek
numerikus vizsgálatát. Ha például a háromdimenziós
hullámfüggvényt egy x, y,z-ben egyaránt 256 pontból
állófelosztáson modellezzünk, a hullámfüggvény
(duplapontos komplex) tárolásához 256 Megabyte
tárolókapacitás szükséges - egy mai köznapi PC-ben
általában több mint 1024 Megabyte memória található.
Ha a számítást két dimenzióra korlátozzuk és/vagy
kihasználjuk az adott rendszer szimmetriáit, akkor
még kevesebb memória elegendő a számításokhoz.
Web-Schrödinger
Az MTA Műszaki Fizikai és Anyagtudományi Kutatóintézet
Nanoszerkezetek Osztályán, belga kutatókkal
együttműködésben kifejlesztett Web-Schrödinger egy
olyan interaktív számítógépes szimuláció, amely
szemléletessé teszi az időfüggő Schrödinger-egyenlet
megoldását. A numerikus számítás maga egy alkalmazásszerveren
fut, így a felhasználónak nem kell telepíteni
semmit a saját számítógépén, egyszerű web-böngésző
segítségével használhatja a programot (http://
www.nanotechnology.hu/online/web-schroedinger/
index.html címen). A program interaktív voltából adódóan
pedig a felhasználó betöltheti az előre elkészített
példákat, és változtathat azok beállításain, továbbá
készíthet teljesen új példákat, amelyek mentése
szintén lehetséges. Ahhoz, hogy megértsük hogyan
„kormányozhatja a hullámfüggvényt” a felhasználó a
szimuláció során, kicsit részletesebben meg kell ismerkednünk
a programmal.
A szimuláció három lépésből áll:
• Először meg kell határoznunk a ψ0(r) kezdőállapot-
és a V(r) potenciálfüggvényeket, és beállítanunk
néhány számolási paramétert, mint például a szimulált
időintervallumot.
• Ezután a program kiszámítja a hullámfüggvény
időfejlődését.
• Végül megjeleníti a megtalálási valószínűség
időfejlődését.
A hullámcsomag-dinamikai módszer
Erwin Schrödinger 1926-ban [4] azzal a céllal alkotta
meg a kvantummechanikai hullámcsomag fogalmát,
hogy hidat építsen a klasszikus és a kvantummechanika
között. A hullámcsomag egy térben lokalizált hullámfüggvény,
azaz olyan kvantumállapotot ír le, amikor
a részecske nagy valószínűséggel egy adott pont közelében
található. A Schrödinger-egyenletből levezethető,
hogy a hullámcsomag tömegközéppontja jó közelítéssel
úgy mozog, mint egy klasszikus tömegpont, ha a
potenciál lassan változik a hullámcsomag méretéhez
képest. A hullámcsomag leggyakrabban alkalmazott
formája a Gauss-hullámcsomag - a Web-Schrödinger
program is ezt használja kezdőállapotként:
ahol k0 = (2π/λ)n a hullámcsomag hullámszámvektora,
λ a de Broglie hullámhossz, a pedig a hullámcsomag
szélessége - minél nagyobb a, annál szélesebb a
hullámcsomag. Az n vektor a részecske haladási irá-
nyát adja meg, N pedig egy normálási faktor. A
hullámszám a részecske lendületéből így számíthatóki:
|