Az interneten

AZ INTERNETEN

Vancsó Péter, Biró László Péter, Márk Géza István

MTA Mu˝ szaki Fizikai és Anyagtudományi Kutatóintézet

Nanoszerkezetek Osztály

A kvantummechanika ismerete alapvető fontosságú,

hogy megértsük a körülöttünk lévő természetet, annak

működését. Az elektronok mozgásának, az atomok

és molekulák tulajdonságainak leírásához a

klasszikus fizika törvényei (már) nem elegendőek.

Habár az a mikroszkopikus méret- és időtartomány,

amelyben a kvantummechanika törvényei érvényesek,

távol esik emberi világunk méret- és időskálájától,

ez a tudomány mégsem csupán a kutatók birodalma.

A 21. század elején az embereket a mindennapokban

körülvevő modern technikai eszközök [1]

- például tranzisztor, lézer - működésének megértésénél

is nélkülözhetetlenek a kvantummechanikai

ismeretek. Ezeknek az ismereteknek az átadása az

oktatás feladata, legyen szó középiskolai vagy egyetemi

szintű oktatásról [2].

A kvantummechanika oktatása az egyik legnehezebb

feladat a fizika tanítása folyamán, mivel a diákok

túl absztraktnak, matematikailag túl bonyolultnak

tartják [3]. Ez érthető is, ha végiggondoljuk, hogy a

klasszikus fizika fogalomkörének és törvényeinek

megértésénél segítségünkre vannak mindennapi tapasztalataink,

mindenki által könnyen elvégezhető

kísérletek. Ezzel szemben a kvantummechanika mérettartományában

végzett mérések többnyire közvetettek

és nehezen értelmezhetők.

Matematikai szempontból ahhoz, hogy klasszikus

mechanikai leírását adjuk egy részecske (tömegpont)

mozgásának, 6 paramétert kell megadnunk: r(t) és

az idő függvényében. Ezek határozzák meg a többi

dinamikai változót, például az energiát. A Newtontörvények

ismeretében kiszámíthatjuk az r(t) és p(t )

függvények értékeit minden pillanatra, ha ismerjük a

függvények értékét valamely tetszőleges t0 kezdeti

pillanatban, azaz adottak az r0 = r(t0) és p0 = p(t0)

kezdeti hely- és lendületértékek, továbbá ismerjük a

részecskére hatóerőket. A kvantummechanikai leírásmód

ennél bonyolultabb. A részecske állapotát t pillanatban

egy hullámfüggvény adja meg, ψ(r, t ), amely

tartalmazza az összes információt, amit a részecskéről

tudni lehet. Látható tehát, hogy a 6 paraméter helyett,

most végtelen számú paraméterünk van: a ψ 3+1 = 4

változós függvény értékei a tér minden pontjában,

minden időpontban. A ψ(r, t ) függvényt valószínűségi

amplitúdónak nevezzük, mert

annak a valószínűségét adja meg, hogy a részecske t

ρ(r, t ) dr3 = ψ(r, t ) 2 dr3

időpontban egy r pont körüli dr3 térfogatelemben

található, ρ(r, t ) pedig a megtalálási valószínűségsűrűség.

A hullámfüggvény időfejlődését az időfüggő

Schrödinger-egyenlet írja le, amely egy homogén lineáris

parciális differenciálegyenlet:

Ez az az egyenlet, amely mai ismereteink szerint az
atom- és molekulafizika, a szilárdtestfizika, sőt a kémia

és a biológia összes (nem-relativisztikus) jelenségét

kormányozza. Következményeit számtalan kísérlet

igazolta az egyenlet megalkotása óta eltelt több,

mint 80 év folyamán.

A Schrödinger-egyenlet determinisztikus; adott

ψ0(r) = ψ(r, t=t0) kezdőállapot esetén a hullámfüggvény

kiszámíthatóbár mely t időpontra. A véletlenszerűség,

az indeterminizmus, a fizikai mennyiség mérése

folyamán jelenik meg a kvantummechanikában. A

Schrödinger-egyenlet megoldásához a kezdő állapot

ismeretén kívül szükséges az adott fizikai rendszert

meghatározó H Hamilton-operátor. Konzervatív rendszerek

esetén H = K+V, ahol K a kinetikus, V pedig a

potenciális energia operátora, tehát a rendszert végső

soron a V potenciáloperátor írja le. Ha ez a potenciál

lokális, akkor a potenciális energia operátor hatása

egy egyszerű V(r) potenciálfüggvénnyel adható meg.

Látható tehát, hogy a kvantummechanika matematikai

nyelvezetének megértése szintén nem egyszerű

feladat, és további probléma, mint említettem, hogy a

jelenségeket nem tudja a diák a mindennapi tapasztalataihoz

kapcsolni - ψ(r, t ) komplex értékű függvény(!) -,

a mérések pedig mindig közvetettek: maga a hullámfüggvény

nem mérhető, csak a belőle származtatott

mennyiségek, az úgynevezett megfigyelhető mennyiségek,

mint például 〈r〉, a hely várhatóértéke:

Ahhoz, hogy mégis szemléletes képet tudjunk adni a

egy nagyon hasznos eszközt alkalmazhatunk: a számítógépes

szimulációt. A mai személyi számítógépek

sebessége és tárolókapacitása már bárki számára lehetővé

teszi egyszerű kvantummechanikai rendszerek

numerikus vizsgálatát. Ha például a háromdimenziós

hullámfüggvényt egy x, y,z-ben egyaránt 256 pontból

állófelosztáson modellezzünk, a hullámfüggvény

(duplapontos komplex) tárolásához 256 Megabyte

tárolókapacitás szükséges - egy mai köznapi PC-ben

általában több mint 1024 Megabyte memória található.

Ha a számítást két dimenzióra korlátozzuk és/vagy

kihasználjuk az adott rendszer szimmetriáit, akkor

még kevesebb memória elegendő a számításokhoz.

Web-Schrödinger

Az MTA Műszaki Fizikai és Anyagtudományi Kutatóintézet

Nanoszerkezetek Osztályán, belga kutatókkal

együttműködésben kifejlesztett Web-Schrödinger egy

olyan interaktív számítógépes szimuláció, amely

szemléletessé teszi az időfüggő Schrödinger-egyenlet

megoldását. A numerikus számítás maga egy alkalmazásszerveren

fut, így a felhasználónak nem kell telepíteni

semmit a saját számítógépén, egyszerű web-böngésző

segítségével használhatja a programot (http://

www.nanotechnology.hu/online/web-schroedinger/

index.html címen). A program interaktív voltából adódóan

pedig a felhasználó betöltheti az előre elkészített

példákat, és változtathat azok beállításain, továbbá

készíthet teljesen új példákat, amelyek mentése

szintén lehetséges. Ahhoz, hogy megértsük hogyan

„kormányozhatja a hullámfüggvényt” a felhasználó a

szimuláció során, kicsit részletesebben meg kell ismerkednünk

a programmal.

A szimuláció három lépésből áll:

• Először meg kell határoznunk a ψ0(r) kezdőállapot-

és a V(r) potenciálfüggvényeket, és beállítanunk

néhány számolási paramétert, mint például a szimulált

időintervallumot.

• Ezután a program kiszámítja a hullámfüggvény

időfejlődését.

• Végül megjeleníti a megtalálási valószínűség

időfejlődését.

A hullámcsomag-dinamikai módszer

Erwin Schrödinger 1926-ban [4] azzal a céllal alkotta

meg a kvantummechanikai hullámcsomag fogalmát,

hogy hidat építsen a klasszikus és a kvantummechanika

között. A hullámcsomag egy térben lokalizált hullámfüggvény,

azaz olyan kvantumállapotot ír le, amikor

a részecske nagy valószínűséggel egy adott pont közelében

található. A Schrödinger-egyenletből levezethető,

hogy a hullámcsomag tömegközéppontja jó közelítéssel

úgy mozog, mint egy klasszikus tömegpont, ha a

potenciál lassan változik a hullámcsomag méretéhez

képest. A hullámcsomag leggyakrabban alkalmazott

formája a Gauss-hullámcsomag - a Web-Schrödinger

program is ezt használja kezdőállapotként:

ahol k0 = (2π/λ)n a hullámcsomag hullámszámvektora,

λ a de Broglie hullámhossz, a pedig a hullámcsomag

szélessége - minél nagyobb a, annál szélesebb a

hullámcsomag. Az n vektor a részecske haladási irá-

nyát adja meg, N pedig egy normálási faktor. A

hullámszám a részecske lendületéből így számíthatóki:

k0 = p0/ , = h/2π, ahol h a Planck-állandó. r0 adja

meg a részecske helyét - a negatív kitevőjű exponenciális

függvény miatt ezen a helyen maximális a ψ

hullámfüggvény abszolút értéke, r0-tól távolodva

gyorsan csökken. Mivel ρ = |ψ|2 adja a megtalálási

valószínűségsűrűséget a hely függvényében, azonnal

láthatjuk, hogy a Gauss-hullámcsomag valóban lokalizált

állapotot ír le: a részecske megtalálási valószínűsége

az r0 pontban a legnagyobb, attól távolodva rohamosan

csökken - lásd a 2. ábrát!

Mint azt korábban részletesen leírtuk [5], a hullámcsomag-

dinamikai módszerben egy adott potenciáltérben

vizsgáljuk meg a hullámcsomag mozgását (szimulált

szóráskísérlet). Ennek szemléltetése pedig kiemelkedő

fontosságú, ugyanis a diákok nehezen tudják

elképzelni, hogyan terjed egy elektron, mi történik,

ha potenciálgáttal érintkezik, hogyan megy végbe

a kölcsönhatás stb.

Paraméterek

Elsőként a felhasználó a számolási doboz méretét, illetve

annak felosztását tudja beállítani. Jellegzetes nanofizikai

alkalmazásoknál a számolási doboz mérete néhány

nanométer, a felosztást pedig úgy kell megadni,

hogy a szimulációban előforduló de Broglie hullámokat

jól mintavételezze. Elektronvolt nagyságrendű energiáknál

ez - elektronra - 0,01-0,1 nm lépésközt jelent.

A második lépés a potenciálfüggvény megadása,

voltaképpen ezzel határozzuk meg azt a fizikai rendszert,

amelyet vizsgálni akarunk. A különböző potenciálokkal

vagyunk tehát képesek különböző jelenségek

szemléltetésére, mint például az alagutazás folyamata,

a tiltott és megengedett sáv kristályokban, dobozba

zárt részecske stb.

Háromfajta potenciál „építőkocka” közül választhatunk;

a kör, a téglalap és a félsík, amelyeket tetszőleges

módon és számban helyezhetünk el a számolási dobozban,

természetesen értékeik megadásával, ezáltal széles

alkalmazási spektrumot kínálva a felhasználónak. Az 1.

láthatjuk, hogyan lehet bonyolult potenciálokat is

egyszerűen felépíteni a programmal: ezen a képen egy

szén nanocső pásztázó alagútmikroszkópos leképezésének

szimulációjánál használt potenciált [5] mutatunk

be. Az 1. ábrán az STM-tű - nanocső - hordozófelületnek

a csőre merőleges keresztmetszetét láthatjuk: az

alsó fekete félsík a hordozót, a középső gyűrű a nanocsövet

(amely a Van der Waals potenciálon „lebeg” a

hordozó fölött, körülbelül 0,335 nm távolságra), a fölső

félsík a félkör alakú kiemelkedéssel az alagútmikroszkóp

tűjét szimulálja. Az STM leképezésnek ezzel az

egyszerű, geometriai modelljével számos kísérleti eredmény

vált értelmezhetővé, amelyekről részletesen az

alábbi cikkekben lehet olvasni [5-7].

A következő lépés a kezdeti hullámcsomag paramétereinek

megadása. Itt tudja a felhasználó a hullámcsomag

kezdeti helyét, kinetikus energiáját, szélességét és

még egyéb, ehhez kapcsolódó adatokat beállítani.

Végül a már említett számolási lépésközt (δt) és a

szimulált időtartamot adhatjuk meg. A számolás eredményét

a program képek formájában jeleníti meg

(results menüpont). A képeken a megtalálási valószínűségsűrűség,

ρ(r, t) = |ψ(r, t )|2 időfüggése látható.

Megismerkedvén lehetőségeinkkel, a cikk következő

részében néhány példával szeretnénk bemutatni a

program működését (ezek szintén megtalálhatóak a

„példák” menüpont alatt).

Példák

Alagúteffektus

rendelkező részecske nem tud behatolni V > E potenciállal

rendelkező térrészbe, ez számára ugyanis tiltott

tartomány. Ennek szemléletes példája a mély gödör

alján lévő, abból kigurulni nem tudó labda esete. A

kvantummechanika azonban mást mond: hullámtulajdonságából

kifolyólag a részecskének van egy véges

valószínűségű esélye arra, hogy áthaladjon az energiáját

meghaladó„magasságú” potenciálfalon. Ezt a

jelenséget nevezzük alagúteffektusnak, ennek nem

egy megjelenési formájával találkozhatunk a természetben

és a technikában, a radioaktív bomlástól a

villanykapcsoló működéséig. A Web-Schrödingerrel

most ezt a jelenséget szeretnénk bemutatni.

A beállítások kritériuma, hogy a potenciálfal magassága

legyen nagyobb a hullámcsomag energiájánál.

Ekkor az áthaladási valószínűség jó közelítéssel

ahol κ paraméter a részecske tömegéből, energiájá-

ból, illetve a potenciál nagyságából számítható. Innen

már látszik, hogy nem érdemes a potenciálfal szélességét

túl nagyra választani, mert akkor

az átjutás mértéke túlságosan

csökkenhet, ezáltal a

jelenség kevésbé szemléletes.

A példában a potenciál értéke

pedig E = 5 eV. A potenciál

vastagsága d = 2 Ĺ. Ezekkel

az értékekkel az átmeneti valószínűségre

kapunk a fenti képletből, a

visszaverődési valószínűség

tehát R = 1-T = 0,83.

A megtalálási valószínűségsűrűség időfejlődése a 2.

ábrán látható. Mivel a kezdeti hullámcsomagnak egy

-y („lefelé”) irányú lendületet adtunk, megfigyelhetjük,

hogy időfejlődése során a -y irányba halad -

amíg csak el nem éri a potenciálfalat. A további képek

azt mutatják, ahogyan a hullámcsomag kölcsönhatásba

lép a potenciálfallal, az utolsókép pedig a kölcsönhatás

lezajlása utáni végállapotot ábrázolja. A

teljes folyamat 2,32 fs = 2,32 10-15 s időt vesz igénybe.

A vízszintes csíkokat a visszavert és beérkező hullámok

interferenciája okozza. Látható hogy bár a részecske

elég nagy eséllyel visszaverődik, mégis véges

valószínűséggel átjuthat a potenciálfalon (szürke folt

a potenciál túloldalán). Így tehát szemléletes képet

sikerült alkotnunk az alagutazás folyamatáról.

Tiltott és megengedett sáv kristályokban

Az ideális kristály a térben ismétlődő, azonos szerkezeti

egységekből állórendszer . Ha egy hullám, amelynek

hullámhossza összemérhető a kristály periodicitásával,

kölcsönhatásba lép a kristállyal, akkor fellép a diffrakció jelensége.

A diffrakció pedig erősen függ a hullámhossztól,

ezáltal bizonyos hullámhosszú hullámok át

tudnak hatolni a kristályon

(megengedett sáv), míg mások

visszaverődést szenvednek

(tiltott sáv). Ha elektronok

szóródnak, akkor ez a jelenség

alakítja ki többek között az

elektronok sávszerkezetét -

ezen alapul a félvezető eszközök

működése -, láthatófény

szóródásánál pedig különböző

színek megjelenését tapasztalhatjuk.

Azokat a kristályokat,

amelyek periodicitása a látható

fény hullámhosszának nagyságrendjébe

esik, fotonikus

kristályoknak nevezzük, és

bizonyos ásványoknál és élőlényeknél

ez okozza a színpompás

megjelenést. Ezzel

részletesen az alábbi cikk foglalkozik

[8].

megegyeznek, de a kezdeti állapotok energiái eltérőek,

így szemléltetve a tiltott és megengedett sáv hatását.

Láthatjuk, hogy a szimulációban a tiltott sáv esetén is

van egy kis áthaladás és a megengedett sáv esetén is

egy kis visszaverődés. Ez abból adódik, hogy a hullámcsomag

nem egy energia-sajátállapot, azaz van egy

bizonyos ΔE energiaszórása. Ezért a tiltott (megengedett)

sávba eső hullámcsomag - kis valószínűséggel -

áthaladhat (visszaverődhet) a kristály-potenciálon. A

hullámcsomag ΔE energiaszórását természetesen tetszőleges

mértékben csökkenthetjük, de ez csak azon az

áron lehetséges, hogy a Δr térbeli kiterjedését megnöveljük

(azaz egyre inkább közelítünk a síkhullám határesethez).

Ám a hullámcsomag térbeli kiterjedésének

növelése megnöveli a számolási doboz méretét is.

A kvantum főnix

A szabad térbeli kvantummechanikai hullámcsomag -

azaz, ha a részecske nem hat kölcsön semmi mással -

alapvető tulajdonsága a szétfolyás, azaz a megtalálási

valószínűség az idő előrehaladtával egyre nagyobb térrészre

terjed ki. Megfelelő potenciál alkalmazásával

azonban megfordíthatjuk ezt a folyamatot! Azt a

jelenséget, amikor a kezdeti hullámcsomag időfejlődése folyamán

újra kialakul a kezdeti állapot, quantum revivalnek

(kvantumállapot újjászületés) nevezzük. Egy végtelen

mély potenciáldoboz esetén a folyamat érdekessége

továbbá, hogy az a periódusidő, ami alatt a hullámfüggvény

visszatér kezdeti állapotába, független a kezdeti

hullámcsomag paramétereitől, csak a doboz méretei határozzák

meg, ami szöges ellentétben áll a klasszikus

szemlélettel. Ezt nevezik revival-paradoxonnak, további

részletek erről az alábbi cikkben találhatók [9]. Érdemes

megemlíteni, hogy hasonlójelenség (Talbot-effektus)

már 1836 óta ismert az optikában!

A kvantumállapot újjászületés bemutatásához a „dobozba

zárt részecske” modellből indulunk ki, amelyben

a hullámcsomag egy kétdimenziós potenciálgödörbe

van lokalizálva. ρ(x,y; t ) időfejlődését láthatjuk a 4. ábrán,

ahol a szimuláció teljes időtartama egy újjászületési

periódus. Megfigyelhetjük, hogy a kezdeti hullámcsomag

először elkezd szétfolyni, majd visszaverődik a

potenciálfalról, interferencia-mintázatok alakulnak ki. A

szimuláció végére rekonstruálódik a kezdeti állapot. Ám

a közbenső időkben is bámulatosan érdekes jelenséget

figyelhetünk meg, a többszörös (tört) újjászületéseket: a

kezdeti hullámcsomag több példányban rekonstruálódik

a potenciáldoboz különböző helyein. A többszörös

újjászületések szimmetriaszerkezetét a V(r) potenciál

szimmetriája szabja meg. Mivel a 4. ábrán a potenciál x

és y irányban szimmetrikus, a kezdeti hullámcsomag x

és y irányban is megismétlődik. Mint a hátsóborító n

láthatószínes kép bemutatja, az újjászületés és a többszörös

újjászületések bonyolult alakú hullámcsomagok

esetén is bekövetkeznek. A 4. ábrán a fehér felel meg a

nulla megtalálási valószínűségsűrűségnek, a fekete a

legnagyobb megtalálási valószínűségsűrűségnek. Láthatjuk,

ahogyan a hullámcsomag szétfolyik, úgy egyre

szélesebb lesz, de egyre alacsonyabb lesz a csúcsa. Fizikailag

ez azt jelenti, hogy a kezdeti, jól lokalizált állapotban

a hullámcsomag az r0 hely (ami a 4. ábrán az origó)

kis környezetében található nagy valószínűséggel,

de később már nagyobb térrészre tejed ki. A többszörös

rekonstrukciók esetén, ha a rekonstrukció n-szeres, a

maximális megtalálási valószínűség 1/n2 arányban csökken

a kiinduló állapothoz képest.

Természetesen az időfüggő Schrödinger-egyenlet

megoldásán alapuló hullámcsomag-dinamikai szimulációkat

nemcsak az oktatásban, hanem a kutatásban

is eredményesen lehet használni. Ennek szemléltetésére

a Web-Schrödinger példái közt szerepel még egy

érdekes, a hétköznapi tudományból származó példa,

amellyel az 1990-es években tanulmányoztuk a szén

nanocsövek alagútmikroszkópos leképezését.

Összegzés

A kvantummechanika megértéséhez nagyon hatékony

eszköz a számítógépes szimuláció, amellyel szemléletesen

tudunk bemutatni különböző folyamatokat. A

Web-Schrödinger egy ilyen szimulációs program,

amely a szemléletesség mellett interaktív is. Ezáltal a

diákok maguk készíthetnek példákat, modellezhetnek

folyamatokat, amelyek segítségével mélyebben megérthetik

a kvantummechanika jelenségvilágát.

Epilógus

filozófiai kérdéseit is segítenek megvilágítani

- már az egyszerű alagútjelenség példája segítségével.

Ugyanis a hullámcsomag, amíg nem éri el a

potenciálgátat, egyenletesen halad és közben szétfolyik.

A szétfolyás jelensége ellen még talán nem nagyon

berzenkedik a klasszikus szemléletünk - annyi történik

mindössze, hogy a részecske helyének „bizonytalansága”

egyre nagyobb lesz. Ám az alagútjelenség lezajlása

utáni végállapotban (2. ábra) azt láthatjuk, hogy a hullámcsomag

két különállórészre oszlott, amelyek egyre

távolodnak egymástól - azaz immár nem egy, hanem

két hely van, amelynek környezetében nagy valószínűséggel

megtalálhatóa részecske. Nevezzük ezeket A (a

potenciálfal egyik oldalán) és B (a potenciálfal másik

oldalán) helyeknek. Az idő múlásával a két rész-hullámcsomag

bármilyen messzire távolodhat egymástól.

De - mivel az egyrészecske hullámfüggvény valójában

egyetlen tömegpont megtalálási valószínűségsűrűségét

határozza meg - a részecske csak az A hely környezetében,

vagy a B hely környezetében lehet, viszont az,

hogy melyik helyen találjuk meg a részecskét, csak

akkor derül ki, mikor megmérjük, hogy hol van. Ám

amint megmérjük, hogy például az A oldalon van-e a

részecske és azt találjuk, hogy ott van (illetve nincs),

ekkor abban a szempillantásban meghatározottá válik,

hogy a másik oldalon nincs (illetve van). Az A és B helyeken

történő részecske helymeghatározás akkor is

antikorrelációt fog mutatni, ha a két mérés között a t =

d/c időnél rövidebb idő telik el, ahol d a két hely távolsága

és c a vákuumbeli fénysebesség. Ezekről a kérdésekről

lásd bővebben [10, 11] Geszti Tamás cikkeit!

Irodalom

(1996) 264.

2. Márk G. I.: A modern fizika alapjai a műszaki menedzser-képzésben

- Fizikai Szemle 47/9 (1997) 298.

3. D. F. Styer: Common misconceptions regarding quantum mechanics.

American Journal ofPhysics 64 (1996) 31-34.

4. E. Schrödinger: Quantisierung als Eigenwertproblem (Zweitere

Mitteilung). Ann. Phys. 79 (1926) 489.

5. Márk G. I.: Egy hullámcsomag kalandjai az alagútmikroszkópban.

6. G. I. Márk, L. P. Biró, J. Gyulai: Simulation of STM images of 3D

surfaces and comparison with experimental data: carbon nanotubes.

Phys. Rev. B 58 (1998) 12645.

7. G. I. Márk, L. P. Biró, P. Lambin: Calculation of axial charge

spreading in carbon nanotubes and nanotube Y-junctions during

STM measurement. Phys. Rev. B 70 (2004) 115423-1.

8. Rajkovits Zs.: Szerkezeti színek az élővilágban. Fizikai Szemle

72/4 (2007) 121.

9. D. F. Styer: Quantum revivals versus classical periodicity in the

infinite square well. American Journal ofPhysics 69/1 (2001)

56-62.

11. Geszti Tamás: Kvantum és klasszikus határán. Fizikai Szemle