| T ∼ e 2κd,
ból, illetve a potenciál nagyságából számítható. Innen
már látszik, hogy nem érdemes a potenciálfal szélességét
túl nagyra választani, mert akkor
az átjutás mértéke túlságosan
csökkenhet, ezáltal a
jelenség kevésbé szemléletes.
A példában a potenciál értéke
V = 7 eV, a kezdeti energia
pedig E = 5 eV. A potenciál
vastagsága d = 2 Ĺ. Ezekkel
az értékekkel az átmeneti valószínűségre
T = 0,17 értéket
kapunk a fenti képletből, a
visszaverődési valószínűség
tehát R = 1-T = 0,83.
A megtalálási valószínűségsűrűség időfejlődése a 2.
ábrán látható. Mivel a kezdeti hullámcsomagnak egy
-y („lefelé”) irányú lendületet adtunk, megfigyelhetjük,
hogy időfejlődése során a -y irányba halad -
amíg csak el nem éri a potenciálfalat. A további képek
azt mutatják, ahogyan a hullámcsomag kölcsönhatásba
lép a potenciálfallal, az utolsókép pedig a kölcsönhatás
lezajlása utáni végállapotot ábrázolja. A
teljes folyamat 2,32 fs = 2,32 10-15 s időt vesz igénybe.
A vízszintes csíkokat a visszavert és beérkező hullámok
interferenciája okozza. Látható hogy bár a részecske
elég nagy eséllyel visszaverődik, mégis véges
valószínűséggel átjuthat a potenciálfalon (szürke folt
a potenciál túloldalán). Így tehát szemléletes képet
sikerült alkotnunk az alagutazás folyamatáról.
Tiltott és megengedett sáv kristályokban
Az ideális kristály a térben ismétlődő, azonos szerkezeti
egységekből állórendszer . Ha egy hullám, amelynek
hullámhossza összemérhető a kristály periodicitásával,
kölcsönhatásba lép a kristállyal, akkor fellép a diffrakció jelensége.
A diffrakció pedig erősen függ a hullámhossztól,
ezáltal bizonyos hullámhosszú hullámok át
tudnak hatolni a kristályon
(megengedett sáv), míg mások
visszaverődést szenvednek
(tiltott sáv). Ha elektronok
szóródnak, akkor ez a jelenség
alakítja ki többek között az
elektronok sávszerkezetét -
ezen alapul a félvezető eszközök
működése -, láthatófény
szóródásánál pedig különböző
színek megjelenését tapasztalhatjuk.
Azokat a kristályokat,
amelyek periodicitása a látható
fény hullámhosszának nagyságrendjébe
esik, fotonikus
kristályoknak nevezzük, és
bizonyos ásványoknál és élőlényeknél
ez okozza a színpompás
megjelenést. Ezzel
részletesen az alábbi cikk foglalkozik
[8].
A 3. ábrán bemutatott szimulációban a potenciálok
megegyeznek, de a kezdeti állapotok energiái eltérőek,
így szemléltetve a tiltott és megengedett sáv hatását.
Láthatjuk, hogy a szimulációban a tiltott sáv esetén is
van egy kis áthaladás és a megengedett sáv esetén is
egy kis visszaverődés. Ez abból adódik, hogy a hullámcsomag
nem egy energia-sajátállapot, azaz van egy
bizonyos ΔE energiaszórása. Ezért a tiltott (megengedett)
sávba eső hullámcsomag - kis valószínűséggel -
áthaladhat (visszaverődhet) a kristály-potenciálon. A
hullámcsomag ΔE energiaszórását természetesen tetszőleges
mértékben csökkenthetjük, de ez csak azon az
áron lehetséges, hogy a Δr térbeli kiterjedését megnöveljük
(azaz egyre inkább közelítünk a síkhullám határesethez).
Ám a hullámcsomag térbeli kiterjedésének
növelése megnöveli a számolási doboz méretét is.
A kvantum főnix
A szabad térbeli kvantummechanikai hullámcsomag -
azaz, ha a részecske nem hat kölcsön semmi mással -
alapvető tulajdonsága a szétfolyás, azaz a megtalálási
valószínűség az idő előrehaladtával egyre nagyobb térrészre
terjed ki. Megfelelő potenciál alkalmazásával
azonban megfordíthatjuk ezt a folyamatot! Azt a
jelenséget, amikor a kezdeti hullámcsomag időfejlődése folyamán
újra kialakul a kezdeti állapot, quantum revivalnek
(kvantumállapot újjászületés) nevezzük. Egy végtelen
mély potenciáldoboz esetén a folyamat érdekessége
továbbá, hogy az a periódusidő, ami alatt a hullámfüggvény
visszatér kezdeti állapotába, független a kezdeti
hullámcsomag paramétereitől, csak a doboz méretei határozzák
meg, ami szöges ellentétben áll a klasszikus
szemlélettel. Ezt nevezik revival-paradoxonnak, további
részletek erről az alábbi cikkben találhatók [9]. Érdemes
megemlíteni, hogy hasonlójelenség (Talbot-effektus)
már 1836 óta ismert az optikában!
A kvantumállapot újjászületés bemutatásához a „dobozba
zárt részecske” modellből indulunk ki, amelyben
a hullámcsomag egy kétdimenziós potenciálgödörbe
van lokalizálva. ρ(x,y; t ) időfejlődését láthatjuk a 4. ábrán,
ahol a szimuláció teljes időtartama egy újjászületési
periódus. Megfigyelhetjük, hogy a kezdeti hullámcsomag
először elkezd szétfolyni, majd visszaverődik a
potenciálfalról, interferencia-mintázatok alakulnak ki. A
szimuláció végére rekonstruálódik a kezdeti állapot. Ám
a közbenső időkben is bámulatosan érdekes jelenséget
figyelhetünk meg, a többszörös (tört) újjászületéseket: a
kezdeti hullámcsomag több példányban rekonstruálódik
a potenciáldoboz különböző helyein. A többszörös
újjászületések szimmetriaszerkezetét a V(r) potenciál
szimmetriája szabja meg. Mivel a 4. ábrán a potenciál x
és y irányban szimmetrikus, a kezdeti hullámcsomag x
és y irányban is megismétlődik. Mint a hátsóborító n
láthatószínes kép bemutatja, az újjászületés és a többszörös
újjászületések bonyolult alakú hullámcsomagok
esetén is bekövetkeznek. A 4. ábrán a fehér felel meg a
nulla megtalálási valószínűségsűrűségnek, a fekete a
legnagyobb megtalálási valószínűségsűrűségnek. Láthatjuk,
ahogyan a hullámcsomag szétfolyik, úgy egyre
szélesebb lesz, de egyre alacsonyabb lesz a csúcsa. Fizikailag
ez azt jelenti, hogy a kezdeti, jól lokalizált állapotban
a hullámcsomag az r0 hely (ami a 4. ábrán az origó)
kis környezetében található nagy valószínűséggel,
de később már nagyobb térrészre tejed ki. A többszörös
rekonstrukciók esetén, ha a rekonstrukció n-szeres, a
maximális megtalálási valószínűség 1/n2 arányban csökken
a kiinduló állapothoz képest.
Természetesen az időfüggő Schrödinger-egyenlet
megoldásán alapuló hullámcsomag-dinamikai szimulációkat
nemcsak az oktatásban, hanem a kutatásban
is eredményesen lehet használni. Ennek szemléltetésére
a Web-Schrödinger példái közt szerepel még egy
érdekes, a hétköznapi tudományból származó példa,
amellyel az 1990-es években tanulmányoztuk a szén
nanocsövek alagútmikroszkópos leképezését.
Összegzés
A kvantummechanika megértéséhez nagyon hatékony
eszköz a számítógépes szimuláció, amellyel szemléletesen
tudunk bemutatni különböző folyamatokat. A
Web-Schrödinger egy ilyen szimulációs program,
amely a szemléletesség mellett interaktív is. Ezáltal a
diákok maguk készíthetnek példákat, modellezhetnek
folyamatokat, amelyek segítségével mélyebben megérthetik
a kvantummechanika jelenségvilágát.
Epilógus
A hullámcsomag-dinamikai szimulációk még a kvantummechanika
filozófiai kérdéseit is segítenek megvilágítani
- már az egyszerű alagútjelenség példája segítségével.
Ugyanis a hullámcsomag, amíg nem éri el a
potenciálgátat, egyenletesen halad és közben szétfolyik.
A szétfolyás jelensége ellen még talán nem nagyon
berzenkedik a klasszikus szemléletünk - annyi történik
mindössze, hogy a részecske helyének „bizonytalansága”
egyre nagyobb lesz. Ám az alagútjelenség lezajlása
utáni végállapotban (2. ábra) azt láthatjuk, hogy a hullámcsomag
két különállórészre oszlott, amelyek egyre
távolodnak egymástól - azaz immár nem egy, hanem
két hely van, amelynek környezetében nagy valószínűséggel
megtalálhatóa részecske. Nevezzük ezeket A (a
potenciálfal egyik oldalán) és B (a potenciálfal másik
oldalán) helyeknek. Az idő múlásával a két rész-hullámcsomag
bármilyen messzire távolodhat egymástól.
De - mivel az egyrészecske hullámfüggvény valójában
egyetlen tömegpont megtalálási valószínűségsűrűségét
határozza meg - a részecske csak az A hely környezetében,
vagy a B hely környezetében lehet, viszont az,
hogy melyik helyen találjuk meg a részecskét, csak
akkor derül ki, mikor megmérjük, hogy hol van. Ám
amint megmérjük, hogy például az A oldalon van-e a
részecske és azt találjuk, hogy ott van (illetve nincs),
ekkor abban a szempillantásban meghatározottá válik,
hogy a másik oldalon nincs (illetve van). Az A és B helyeken
történő részecske helymeghatározás akkor is
antikorrelációt fog mutatni, ha a két mérés között a t =
| 