24.Nostandart masalalarni yechishni o`rgatishda axborot texnologiyalaridan foydalanishni o`rgatish
Tenglama – tenglik belgisi bilanbirlashtirilgan ikkita ifoda; bu ifodalarga noma`lum deb ataluvchi bir yoki bir necha o`zgaruvchilar kiradi. Tenglamani yechish – noma`lumlarning tenglamani to`g`ri tenglikka aylantiradigan barcha qiymatlarini topish yoki bunday qiymatla yo`qligini ko`rsatish demakdir.
Maktab matematika kursida , odatda, noma`lumlari son qiymatlar qabul qiladigantenglamalar qaraladi. Bir noma`lumli tenglamada nom`lumning tenglamani qanotlantiruvchi son qiymati bu tenglamaning ildizi yoki yechimi deyiladi. Bir necha noma`lumli tenglamani qanoatlantiruvchi sonlar termasi bu tenglamaning yechimi deyiladi.
Matematikada noma`lumlari butun sonlar (Diofant tenglamalri), vektorlar (vektorial tenglamalar), funksiyalar (integral, funksional, differinsial tenglamalar)va boshqa tabiatli ob`ektlar bo`lgan tenglamalar ham qaraladi. Tenglama bilan birga uning aniqlanish sohasi (noma`lumning ruxsat etiladigan qiymatlari to`plami ) ni ham ko`rsatishadi; agar ruxsat etiladigan qiymatlar to`plami ko`rsatilgan bo`lmasa, bu to`plam- tenglamaning chap va o`ng tomonlarida turgan ifodalarning tabiiy umumiy aniqlanish sohasi deb faraz qilinadi.
Tenglama- matematikaning eng muhim tushunchalaridan biri. Ko`pgina amaliy va ilmiy masalalarda biror kattalikni bevosita o`lchsh yoki tayyor formula bo`yichahisoblash mumkin bo`lmasa, bu miqdor qanotlantiradigan munosabat (yoki bir necha munosabat) tuzishga erishiladi. Noma`lum kattalikni aniqlash uchun tenglama (yoki tenglamalar sistemasi )ana shunday hosil qilinadi.
Matematikaning fan sifatida vujudaga kelganidan boshlab uzoq vaqtgacha tenglamalar yechish metodlarini rivojlantirish algebraning asosiy tadqiqot predmeti bo`ldi. Tenglamarni bizga odat bo`lib qolgan harfiy yozilishi XIV asrda uzil-kesil shakllandi; noma`lumlarni lotin alifbosinig oxirgi harflari, ma`lum miqdorlar (parametrlar) ni latin alifbosining dastlabki harflari orqali belgilash an`anasini fransuz olimi R. Dekartdan boshlangan.
Tenglamalarni algebraik yechishning odatdagi yo`li (ko`pincha, analitik yechish deyiladi) shundan iboratki, uni almashtirishlar yordamida soddaroq tenglamarga keltirishadi. Agar bir tenglamaning barcha yechimlari ikkinchi tenglamaning ham yechimlari bo`lsa, u holdaikkinchi tenglama birinchisining natijasi deyiladi. Agar ikkata tenglamadan har biri boshqasining natijasi bo`lsa (ya`ni ularning yechimlari to`plami ustma-ust tushsa), bunday tenglamalar teng kuchli tenglamalar deyiladi. Tenglamaning ikkala tomoniga bir xil almashtirishni qo`llab, biz uning natijasini hosil qilamiz. Agar bu almashtirish teskarilanuvchan bo`lsa,hosil qilingan tenglama berilganiga teng kuchli bo`ladi. (masalan tenglamaning ikala tomonini bir xil songa ko`paytirsak, biz berilgan tenglamaning natijasini olamiz. Agar bu son noldan farqli bo`lsa, u holda bajarilgan almashtirish teskarilanuvchan , binobarin, hosil qilingan tenglama dastlabkisiga teng kuchli bo`ladi).
Bir noma`lumli tenglamani yechish borasida biz eng sodda tenglamalarga kelishga intilamiz, chunki, ular uchun tayyor formulalar bor . Chiziqli tenglamalar,kvadrat tenglamalar, ko`rinishdagi tenglamalar eng soda tenglamalardir, bunda -son, - asosiy elementar funksiyalardan biri; - darajali, - ko`rsatkichli, - logarifmik, , , - trigonometrik funksiyalar. tenglamaning umumiy yechiminiyozish funksiyaga teskari bo`lgan funksiyani kiritishni talab qiladi. Agar bo`lsa, u holda ; agar bo`lsa, u holda ; agar va bo`lsa, u holda .
Tenglamalar eng soda ko`rinishga qanday keltiriladi? Tenglamalarning konkret tiplari (algebraik, trigonometrik, irratsional, ko`rsatkichli, logarifmik, va h.k )ni yechish uchun xususiy usullar ishlab chiqilgan. Tenglamalarni yechishning umumiy metodlaridan eng ko`p uchraydigan uchtasiga to`xtalamiz.
Agar tenglamaning chap tomonidan ko`paytuchilarga yoyishga erishilsa, u holda berilgan tenglama , , . . . , tenglamalarga ajraladi, ular yechimlari to`plamlarining birlashmasi olingan tenglamaning yechimlar to`plamini beradi. Masalan, tenglamani qo`yidagicha yozish mukin:
Endi va tenglamani yechib, berilgan tenglamaning barcha ildizlarini topamiz: 1, 2 va -3. Bu metodni ko`paytuvchilarga ajratish metodi deb atash qabul qilingan.
Ko`pincha, yangi noma`lum sifatida eski noma`lumning biror funksiyasini qabul qilib, tenglamani soddalashtirishga erishiladi. Masalan, tenglamani yangi noma`lum kiritib, kvadrat tenglamaga keltirish mumkin. Hunonchi va tenglamaga kelamiz.
Ba`zan tenglamaning chap va o`ng tomonidagi ifodalarning funksional xossalarini tahlil qilib, yechishga muvaffaq bo`linadi. Masalan, tenglamaningchap tomoni o`suvchi, o`ng tomoni esa o`zgarmas bo`lgani uchun bu tenglama bittadan ortiq ildizga ega emas. Yagona ildiz esa oson payqaladi. tenglamani yechayotib barcha x lar uchun tengsizliklar bajarilishini hisobga olamiz, u holda , ammo , binobarin, berilagan tenglama ildizlarga ega emas.
Shu vaqtgacha biz tenglamaildizini son yoki parametrning ma`lum funksiyalari kombinatsiyasisifatida topishga imkon beradigan usullarni tahlil qildik. Ammo amaliyotda paydo bo`ladigan hamma tenlamalarni ham shunga o`xshash usullar bilan yechib bo`lmaydi. Masalan, beshinchi darajadan boshlab algebraik tenglamalarni yechish uchun umumiy formula mavjud emasligini XIX asr boshida isbotlandi. Shuning uchun ham , matematikada tenglamalarni taqribiy yechishning taqribiyyechishning turli metodlari ishlabb chiqilgan. Uchinchi darajali tenglamalarni Kardano formulasi yordamida, to`rtinchi darajali tenglamalarni Ferrrari usullari yordamida yechish usulllari aniqlandi. Ulardan eng soddasi qo`yidagi teoremaga asoslanadi, agar funksiya kesmaning barcha nuqtalarida uzluksiz bo`lsa va uning chetki uchlarida turli ishorali qiymatlarni qabul qilsa, u holda tenglama bu kesmada ildizga ega.
Tenglamarni grafik yordamida tadqiq qilish ayniqsa o`ng`ayddir; masalan, funksiya grafigi bo`yicha , tenglama da uchta, da ikkita va da bitta ildizga egaligini darrov ko`ramiz.
2-§. BA’ZI TENGLAMALARNI FUNKSIYANING SODDA XOSSALARIDAN FOYDALANIB YECHISH
Ushbu paragrafda bir qarashda murakkab, qiyin ko‘rinadigan ba’zi tenglama va tengsizliklarni ularda qatnashayotgan funksiyalarning sodda xossalari yordamida yechish usullari qaraladi.
Bunday usullar tenglama yoki tengsizlikda ikki xil xarakterdagi funksiyalar qatnashganda juda qo‘l keladi.
1.Aniqlanish sohasidan foydalanish. Ba’zi hollarda, tenglama yoki tengsizliklarda qatnashayotgan funksiyalarning aniqlanish sohasini bilish tenglama yoki tengsizlikning yechimi mavjud emasligini bilishga yoki yechimini topishga yordam beradi.
Kelgusida tenglama yoki tengsizlikning aniqlanish sohasi deganda unda qatnashayotgan funksiyalar aniqlanish sohalarining umumiy qismi tushuniladi.
1-misol. tenglamani yeching.
Yechish. Tenglamaning aniqlanish sohasi va tengsizliklarni bir vaqtda qanoatlantiruvchi sonlar to‘plamidan iborat. Tenglamaning aniqlanish sohasi bo‘sh to‘plam, demak tenglama yechimga ega emas.
Javob: ildizi yo‘q.
Shunday qilib, tenglamani yechmasdan uning ildizlari yo‘qligini aniqladik.
2-misol. tenglamani yeching.
Yechish. Tenglamaning aniqlanish sohasi va tengsizliklarni bir vaqtda qanoatlantiruvchi sonlar to‘plamidan iborat. Bundan tenglamaning aniqlanish sohasi faqat -2 va 2 sonlardangina iborat ekanligini ko‘rish qiyin emas. Bu sonlarni tenglamaga qo‘yib tekshiramiz.
da tenglamaning chap tomoni 2 ga, o‘ng tomoni –2 ga teng, demak
tenglamaning ildizi bo‘la olmaydi.
da tenglamaning chap va o‘ng tomonlari 2 ga teng, demak tenglamaning ildizi bo‘ladi. Javob: .
2-misol. tenglamani yeching.
Yechish:Tenglamaning aniqlanish sohasini topaylik.
Tenglamaning aniqlanish sohasi faqat bitta nuqtadan iborat. ni
Berilgan tenglamani qanoatlantirishini tekshiramiz. bo`lsa, tenglik to`g`ri. Demak, tenglama faqat ildizga ega. Javob:
2. Funksiyaning chegaralanganligidan foydalanish. Tenglama va tengsizliklarni yechishda biror to‘plamda funksiyaning quyidan yoki yuqoridan chegaralanganligi asosiy rol o‘ynaydi. Masalan, M to‘plamda , bo`lsa, u holda tenglama yoki tengsizlik yechimga ega bulmaydi. Ko‘p hollarda bo‘ladi, bunda M to‘plamda f(x) va g(x) funksiyalarning ishoralari haqida gapirish mumkin.
1-teorema.Agar haqiqiy sonlarning biror M to`plamida tengsizlik o`rinli bo`lsa, u holda tenglama M to`plamda tenglamalar sistemasiga teng kuchli bo`ladi.
Isbot. (2) ning yechimi (1) ning yechimi bo’lishi ravshan. (1) ning yechimi (2) ning yechimi ekanligini ko’rsatamiz. Teskaridan faraz qilamiz. (1) ning yechimi, lekin (2) ning yechimi bo’lmasin. U holda yoki bo’ladi. Buni hisobga olsak, bo’ladi, ya’ni (1) ning yechimi emas. Bu ziddiyat tasdiqning o’rinli ekanligini isbotlaydi.
2-teorema.Agar haqiqiy sonlarning biror M to`plamida tengsizlik o`rinli bo`lsa, u holda M to`plamida tenglama tenglamalar sistemasiga teng kuchli bo`ladi.
Isbot. (2) ning yechimi (1) ning yechimi bo’lishi ravshan. (1) ning yechimi (2) ning yechimi ekanligini ko’rsatamiz. Teskaridan faraz qilamiz. (1) ning yechimi, lekin (2) ning yechimi bo’lmasin. U holda yoki bo’ladi. Buni hisobga olsak, bo’ladi, ya’ni (1) ning yechimi emas. Bu ziddiyat tasdiqning o’rinli ekanligini isbotlaydi.
3-teorema.Agar haqiqiy sonlarning biror M to`plamida (yoki ) o`rinli bo`lsa, u holda M to`plamida tenglama tenglamalarning quyidagi sistemasining birlashmasiga teng kuchli:
Isbot. (2) ning yechimi (1) ning yechimi bo’lishi ravshan. (1) ning yechimi (2) ning yechimi ekanligini ko’rsatamiz. Teskaridan faraz qilamiz. (1) ning yechimi, lekin (2) ning yechimi bo’lmasin. U holda yoki ( yoki ) bo’ladi. Buni hisobga olsak, bo’ladi, ya’ni (1) ning yechimi emas. Bu ziddiyat tasdiqning o’rinli ekanligini isbotlaydi.
1-misol. tenglamani yeching.
Yechish: Ixtiyoriy son uchun va o‘rinli, ya’ni tenglamaning chap tomoni 1 dan katta, o‘ng tomoni 2 dan kichik bo‘la olmaydi. Bundan berilgan tenglamaning ildizi yo‘q ekanligi kelib chiqadi.
Javob: ildizi yo‘q.
2-misol. tenglamani yeching.
Yechish: Ravshanki, 0, -1, 1 sonlari tenglamaning ildizlari bo‘ladi. Uning boshqa ildizlari yo‘qligini ko‘rsatamiz. Buning uchun funksiyaning toqligidan foydalanamiz, ya’ni sohani tahlil qilish kifoyadir. Bu sohani va oraliqlarga ajratamiz.
Berilgan tenglamani ko‘rinishda yozib, uning chap va o‘ng tomonidagi funksiyalarni yuqoridagi oraliqlarda tekshiramiz. oraliqda bo‘lganligi sababli funksiya faqat manfiy qiymatlar, funksiya esa faqat musbat qiymatlar qabul qiladi. Demak, oraliqda berilgan tenglama yechimga ega emas.
bo‘lganda funksiya faqat musbat qiymatlar, funksiya har xil ishorali qiymatlar qabul qiladi. Xususan, oraliqda , demak oraliqda ham berilgan tenglama ildizi mavjud emas.
Agar бўлсa, u holda bo‘ladi. Bundan berilgan tenglamaning oraliqda ildizi yo‘q ekanligi kelib chiqadi.
Demak, faqat sonlar tenglamaning yechimi bo‘ladi.
|
